專題05全等三角形章末重難點題型專訓(原卷版+解析)

專題05全等三角形章末重難點題型專訓【題型目錄】題型一全等圖形的識別題型二全等三角形的概念題型三全等三角形的性質(zhì)題型四全等三角形的判定題型五全等三角形的判定與性質(zhì)綜合題型六全等三角形中的動點問題題型七全等三角形中的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題題型八全等三角形中倍長中線模型問題題型九全等三角形中的多結論問題題型十全等三角形的綜合問題【經(jīng)典例題一全等圖形的識別】【例1】（2022秋·八年級課時練習）百變魔尺，魅力無窮，如圖是用24段魔尺（24個等腰直角三角形，把等腰直角三角形最長邊看做1）圍成的長為4寬為3的長方形．用該魔尺能圍出不全等的長方形個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓練】1．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）已知如圖，、為的平分線上的兩點，連接、、、；如圖，、、為的平分線上的三點，連接、、、、、；如圖，、、、為的平分線上的四點，連接、、、、、、、依此規(guī)律，第個圖形中有全等三角形的對數(shù)是A． B． C． D．2．（2022秋·八年級課時練習）如圖中有6個條形方格圖，圖上由實線圍成的圖形與（1）是全等形的有__________．3．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，沿著方格線，把下列圖形分割成四個全等的圖形．【經(jīng)典例題二全等三角形的概念】【例2】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，且與是對應角，和是對應角，則下列說法中正確的是（

）A．與是對應邊 B．與是對應邊C．與是對應邊 D．不能確定的對應邊【變式訓練】1．（2022秋·全國·八年級專題練習）羅同學學習了全等三角形后，利用全等三角形繪制出了下面系列圖案，第（1）個圖案由2個全等三角形組成，第（2）個圖案由4個全等三角形組成，第（3）個圖案由7個全等三角形組成，第（4）個圖案由12個全等三角形組成，則第（6）個圖案中全等三角形的個數(shù)為（

）A．25 B．38 C．70 D．1352．（2022春·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，則∠α＝____.3．（2022春·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，試把下面運用“疊合法”說明和全等的過程補充完整：說理過程：把放到上，使點A與點重合，因為，所以可以使，并使點C和在AB（）同一側，這時點A與重合，點B與重合，由于，因此，；由于，因此，；于是點C（射線AC與BC的交點）與點（射線與的交點）重合，這樣

．【經(jīng)典例題三全等三角形的性質(zhì)】【例3】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，，點B和點C是對應頂點，，記，，，當時，與之間的數(shù)量關系為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學?？茧A段練習）如圖，在銳角中，D，E分別是邊上的點，，且，交于點F．若，則的大小是（

）A．90° B．95° C．100° D．110°2．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，的延長線交于F，，，，則______°．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，點E在上，與相交于點F．(1)當，時，求線段AE的長；(2)已知，，求與的度數(shù)．【經(jīng)典例題四全等三角形的判定】【例4】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形與中，．下列條件中：①；②；③；④．添加上述條件中的其中一個，可使四邊形≌四邊形，上述條件中符合要求的有（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④【變式訓練】1．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，，點D是底邊BC上異于AC中點的一個點，，．運用以上條件（不添加輔助線）可以說明下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）甲乙兩位同學進行一種數(shù)學游戲．游戲規(guī)則是：兩人輪流對及對應的邊或角添加等量條件(點，，分別是點A，B，C的對應點)，某輪添加條件后，若能判定與全等，則當輪添加條件者失敗，另一人獲勝．輪次行動者添加條件1甲cm2乙cm3甲…上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是__________(填寫所有正確結論的序號)①若第3輪甲添加cm，則乙獲勝；②若甲想獲勝，第3輪可以添加條件；③若乙想獲勝，可修改第2輪添加條件為．3．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，、是邊上的點．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使得．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明．【經(jīng)典例題五全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例5】（2023春·重慶大渡口·七年級重慶市第三十七中學校?？计谥校┤鐖D，在中，，和的平分線、相交于點O，交于點D，交于點E，若已知周長為20，，，則長為（

）A． B．3 C． D．4【變式訓練】1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在和中，，是的中點，，垂足為點，且．若，則的長為(

)A．2cm B． C． D．2．（2023春·陜西西安·七年級西安市曲江第一中學?？计谥校┤鐖D，在中，分別以為邊向外作和，使，，，連接，為邊上的高線，延長交于點N，下列結論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的結論有____（填序號）．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）問題：已知中，，點D是內(nèi)的一點，且，．探究與度數(shù)的比值．請你完成以下探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．

(1)當時，依問題中的條件補全上圖；觀察圖形，與的數(shù)量關系為；當推出時，可進一步推出的度數(shù)為；可得到與度數(shù)的比值為；(2)當時，請你畫出圖形，研究與度數(shù)的比值是否與（1）中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明．【經(jīng)典例題六全等三角形中的動點問題】【例6】（2022春·七年級單元測試）現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測量，，，，，點E是邊的中點，小狗汪汪從點B出發(fā)沿以的速度向點C跑，同時小狗妞妞從點C出發(fā)沿向點D跑．要使與全等，則妞妞的運動速度為（

）

A． B． C．或 D．無法確定【變式訓練】1．（2023秋·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，，點在線段上以1cm/s的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，它們運動的時間為，當點的運動速度為（

）cm/s時，在某一時刻，、、三點構成的三角形與、、三點構成的三角形全等．A．1或 B．1或 C．2或 D．12．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校?？茧A段練習）如圖，中，，，．點P從A點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作于E、作于F，當點P運動______秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．3．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）在直角三角形中，，直線l過點C．

(1)當時，①如圖1，分別過點A和B作直線l于點D，直線l于點E．求證：；②如圖2，過點A作直線l于點D，點B與點F關于直線l對稱，連接交直線l于E，連接．求證：．(2)當，時，如圖3，點B與點F關于直線l對稱，連接、．點M從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿路徑運動，終點為C，點N以每秒的速度沿路徑運動，終點為F，分別過點M、N作直線l于點D，直線l于點E，點M、N同時開始運動，各自達到相應的終點時停止運動，設運動時間為t秒．當與全等時，求t的值．【經(jīng)典例題七全等三角形中的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題】【例7】（2022秋·福建廈門·九年級廈門雙十中學?？计谥校┤鐖D所示的正方形中，點在邊上，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，．旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（

）A．110° B．90° C．70° D．20°【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則∠BED的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．135° D．150°2．（2023春·七年級課時練習）如圖，在紙片中，，，且，P為BC上一點，將紙片沿AP剪開，并將、分別沿AB、AC向外翻折至、，連接DE，則面積的最小值為______．3．（2022秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點且，直接寫出圖中線段、、之間的數(shù)量關系，不必證明．（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以65海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且，試求此時兩艦艇之間的距離．【經(jīng)典例題八全等三角形中倍長中線模型問題】【例8】（2023春·黑龍江綏化·七年級綏化市第八中學校校考期中）如圖，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·山東日照·八年級期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD為BC邊的中線，則AD的長的取值范圍(

)A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習）已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D為AC的中點，則中線BD的取值范圍為___________.3．（2023春·廣東佛山·七年級?？计谥校鹃喿x理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點，使請根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題如圖，已知，，，為的中點．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．【經(jīng)典例題九全等三角形中的多結論問題】【例9】1（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長線于點E，連接，．則下列結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【變式訓練】1．（2023春·八年級課時練習）如圖，在直角三角形中，，的角平分線相交于點O，過點O作交的延長線于點F，交于點G，下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④2．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，于點，于點，與交于點，連接并延長交于點，延長至點，若平分，平分，則下列結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結論有______（寫序號）．3．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，過點作于點，則下列三個結論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是______．【經(jīng)典例題十全等三角形的綜合問題】【例10】（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、是的角平分線，、相交于點F，已知，則下列說法中正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練】1．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，垂足分別為、，、交于點，已知，，則的長是（

）A． B．1 C．3 D．22．（2023秋·河北邯鄲·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，為邊上的高，在直線上.（1）若，則_____________°；（2）若點從點出發(fā)，在直線上以每秒2cm的速度向一個?向移動，過點作的垂線交直線于點，當點運動____________秒時，.3．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學校?？计谥校┤鐖D1，是中邊上的高，點D是上一點，連接交于點F，．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長至點G，連接，，若，，求線段的長．（注：不能應用等腰三角形的相關性質(zhì)和判定）【重難點訓練】1．（2023春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離．我軍戰(zhàn)士想到一個辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點B；然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上；最后，他用步測的辦法量出自己與E點的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．2．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，要判斷一張紙帶的兩邊a，b是否相互平行，提供了如下兩種折疊與測量方案：

方案I：沿圖中虛線折疊并展開，測量發(fā)現(xiàn)．

方案II：先沿折疊，展開后再沿折疊，測得．對于方案I，II，下列說法正確的是（

）A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行C．I，II都不可行 D．I，II都可行3．（2023春·陜西西安·八年級陜西師大附中校考階段練習）如圖，的周長為26，點D，E都在邊上，的平分線垂直于，垂足為Q，的平分線垂直于，垂足為P．若，則的長為（

）A．2 B．3 C．6 D．84．（2022秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點C在線段上，于點B，于點D．，且，，點P以的速度沿向終點E運動，同時點Q以的速度從點E開始，在線段上往返運動（即沿運動），當點P到達終點時，點P，Q同時停止運動．過點P，Q分別作的垂線，垂足為M，N．設運動時間為，當以P，C，M為頂點的三角形與全等時，t的值不可能是（

）A．15 B．1 C． D．5．（2023春·全國·七年級期末）如圖，在和中，，，，，連接，交于點，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，是邊上的中線，則的取值范圍是__．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示，分別是銳角和中邊的高，且，若要使，可補充的條件是___________（只需要填寫一個你認為適當?shù)臈l件即可）

8．（2023秋·湖南益陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，cm，cm，點從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為____________時，與全等．9．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點在上，于點，交于點，，．若，則________________．10．（2022春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點P，點E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當AC＝6，BC＝8，AB＝10時，則△CEF的周長為_____．11．（2023春·河北邯鄲·七年級?？茧A段練習）已知：，，，，垂足分別為D，E．

(1)如圖1，把下面的解答過程補充完整，并在括號內(nèi)注明理由．①線段CD和BE的數(shù)量關系是：；②請寫出線段，，之間的數(shù)量關系并證明．解：①結論：．理由：∵，，∴，∴，，∴（

）在ACD和CBE中，，∴，（

）∴．②結論：．理由：∵，∴，∵，∴．(2)如圖2，上述結論②還成立嗎？如果不成立，請寫出線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．12．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知中厘米，厘米，點為的中點．

(1)如果點在線段上以厘米秒的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動；①若點點的運動速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請說明理由；②若點點的運動速度不相等，當點的運動速度為多少時，能夠使與全等？(2)若點以①中的運動速度從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間，點與點第一次在的哪條邊上相遇？此時相遇點距到達點的路程是多少？13．（2022·山東青島·山東省青島實驗初級中學校考模擬預測）（1）如圖1，，E是的中點，平分，求證：平分．（2）如圖2，，和的平分線并于點E，過點E作，分別交于B、D，請猜想三者之間的數(shù)量關系，請直接寫出結論，不要求證明．（3）如圖3，，和的平分線交于點E，過點E作不垂直于的線段，分別交于B、D點，且B、D兩點都在的同側，（2）中的結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

專題05全等三角形章末重難點題型專訓【題型目錄】題型一全等圖形的識別題型二全等三角形的概念題型三全等三角形的性質(zhì)題型四全等三角形的判定題型五全等三角形的判定與性質(zhì)綜合題型六全等三角形中的動點問題題型七全等三角形中的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題題型八全等三角形中倍長中線模型問題題型九全等三角形中的多結論問題題型十全等三角形的綜合問題【經(jīng)典例題一全等圖形的識別】【例1】（2022秋·八年級課時練習）百變魔尺，魅力無窮，如圖是用24段魔尺（24個等腰直角三角形，把等腰直角三角形最長邊看做1）圍成的長為4寬為3的長方形．用該魔尺能圍出不全等的長方形個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能圍出不全等的長方形有3個．【詳解】解：∵長為4、寬為3的長方形，∴周長為2×（3+4）＝1414＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，∴能圍出不全等的長方形有3個，故選：A．【點睛】此題考查了平面圖形的規(guī)律變化，通過觀察圖形,分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用規(guī)律解決問題是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）已知如圖，、為的平分線上的兩點，連接、、、；如圖，、、為的平分線上的三點，連接、、、、、；如圖，、、、為的平分線上的四點，連接、、、、、、、依此規(guī)律，第個圖形中有全等三角形的對數(shù)是A． B． C． D．【答案】D【分析】通過觀察分析，找出圖形變換中，有全等三角形的對數(shù)規(guī)律：當有個點時，圖中有個全等三角形，然后把n=17代入計算即可求解．【詳解】解：圖中，當有點、時，有對全等三角形；圖中，當有點、、時，有對全等三角形；圖中，當有點時，有對全等三角形；圖中，當有個點時，圖中有個全等三角形，當時，全等三角形的對數(shù)是，故選：D．【點睛】本題考查圖形變換規(guī)律，全等三角形的判定，找出圖形變換規(guī)律是解題的關鍵．2．（2022秋·八年級課時練習）如圖中有6個條形方格圖，圖上由實線圍成的圖形與（1）是全等形的有__________．【答案】(2)(3)(6)【分析】根據(jù)全等形是可以完全重合的圖形并觀察對比圖形，進行判定即可．【詳解】(6)以左下角頂點為定點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，與(1)兩個實線圖形剛好重合，(3)可上下反轉(zhuǎn)成(1)的情況，與(1)兩個實線圖形剛好重合，(2)以右下角頂點為定點順時針旋轉(zhuǎn)90°后成圖(3)，然后反轉(zhuǎn)成(1)的情況，與(1)兩個實線圖形剛好重合，(4)為平行四邊形，而(1)為梯形，所以不能和(1)中圖形完全重合，(5)為直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中圖形完全重合，故答案是：(2)(3)(6)【點睛】本題主要考查學生對全等形的概念的理解及運用，認真對觀察對比是正確解答本題的關鍵．3．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，沿著方格線，把下列圖形分割成四個全等的圖形．【答案】見解析【分析】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進而求出答案．【詳解】解：如圖所示：紅色分割線即為所求．【點睛】此題主要考查了應用設計圖作圖，正確求出每部分面積是解題關鍵，考點：作圖—應用與設計作圖．【經(jīng)典例題二全等三角形的概念】【例2】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，且與是對應角，和是對應角，則下列說法中正確的是（

）A．與是對應邊 B．與是對應邊C．與是對應邊 D．不能確定的對應邊【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的概念即可得到答案．【詳解】解：與是對應角，和是對應角，和是對應角，與是對應邊，故選A．【點睛】本題考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，準確找出對應邊是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·全國·八年級專題練習）羅同學學習了全等三角形后，利用全等三角形繪制出了下面系列圖案，第（1）個圖案由2個全等三角形組成，第（2）個圖案由4個全等三角形組成，第（3）個圖案由7個全等三角形組成，第（4）個圖案由12個全等三角形組成，則第（6）個圖案中全等三角形的個數(shù)為（

）A．25 B．38 C．70 D．135【答案】B【分析】仔細觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第個圖形有個三角形，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：第一個圖形有個全等三角形；第二個圖形有個全等三角形；第三個圖形有個全等三角形；第四個圖形有個全等三角形；第個圖形有個全等三角形；當時，（個．故選：B．【點睛】本題考查了全等的定義，圖形類規(guī)律題，正確找到規(guī)律是解題的關鍵．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，按照什么規(guī)律變化的．2．（2022春·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，則∠α＝____.【答案】70°【詳解】∵△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，∴∠BAE=∠BAC=145°，∠DAC=∠BAC=145°，∠E=∠ACD=∠ACB，∴∠DAE=∠BAC+∠BAE+∠DAC-360°=145°+145°+145°-360°=75°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=145°-75°=70°，∵∠E+∠α+∠EMD=180°，∠EAC+∠AMC+∠ACD=180°，∠EMD=∠AMC，∴∠α=∠EAC=70°，故答案為70°.【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和是180度等，掌握翻折前后的兩個三角形是全等的，對應角是相等的是解題的關鍵．3．（2022春·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，試把下面運用“疊合法”說明和全等的過程補充完整：說理過程：把放到上，使點A與點重合，因為，所以可以使，并使點C和在AB（）同一側，這時點A與重合，點B與重合，由于，因此，；由于，因此，；于是點C（射線AC與BC的交點）與點（射線與的交點）重合，這樣

．【答案】見解析．【分析】根據(jù)“疊合法”說明兩三角形全等即可．【詳解】說理過程：把放到上，使點A與點重合，因為，所以可以使AB與重合，并使點C和在AB（）同一側，這時點A與重合，點B與重合，由于，因此，射線AC與射線疊合；由于，因此，射線BC與射線疊合；于是點C（射線AC與BC的交點）與點（射線與的交點）重合，這樣重合，即全等．【點睛】本題主要考查三角形全等的定義，掌握“疊合法”說明三角形全等，是解題的關鍵．【經(jīng)典例題三全等三角形的性質(zhì)】【例3】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，，點B和點C是對應頂點，，記，，，當時，與之間的數(shù)量關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，利用，即可解答．【詳解】解：，，，，，，，，，化簡得：．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，結合圖形和題意找到角之間的關系是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考階段練習）如圖，在銳角中，D，E分別是邊上的點，，且，交于點F．若，則的大小是（

）A．90° B．95° C．100° D．110°【答案】C【分析】延長交于H．利用全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)證明，再求出即可解決問題．【詳解】解：延長交于H．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關鍵．2．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，的延長線交于F，，，，則______°．【答案】20【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求，由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形外角求出性質(zhì)，在和中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，設與交于點M，∵，，∴，又∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：20．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，掌握全等三角形的對應角相等是解決問題的關鍵．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，點E在上，與相交于點F．(1)當，時，求線段AE的長；(2)已知，，求與的度數(shù)．【答案】(1)3(2)，【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，結合圖形計算，即可得到答案；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，計算即可求得．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【經(jīng)典例題四全等三角形的判定】【例4】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形與中，．下列條件中：①；②；③；④．添加上述條件中的其中一個，可使四邊形≌四邊形，上述條件中符合要求的有（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④【答案】B【分析】連接，通過證明，，故①符合要求，同理可得③④符合要求，即可得到結論．【詳解】解：連接，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴四邊形與中，，，，，∴四邊形≌四邊形．故①符合要求；同理根據(jù)③④的條件證得四邊形≌四邊形．綜上所述，符合要求的條件是①③④，故選：B．【點睛】此題主要考查了全等形，全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：．【變式訓練】1．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，，點D是底邊BC上異于AC中點的一個點，，．運用以上條件（不添加輔助線）可以說明下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)SAS可證明，得出，，再根據(jù)，得出，根據(jù)AAS再證明，從而得出，．【詳解】解：在和中，，（SAS），故A正確，不符合題意；，，故B正確，不符合題意，在，，（AAS），，故C錯誤，符合題意；，，，，，故D正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、以及直角三角形的判定HL是解題的關鍵．2．（2022秋·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）甲乙兩位同學進行一種數(shù)學游戲．游戲規(guī)則是：兩人輪流對及對應的邊或角添加等量條件(點，，分別是點A，B，C的對應點)，某輪添加條件后，若能判定與全等，則當輪添加條件者失敗，另一人獲勝．輪次行動者添加條件1甲cm2乙cm3甲…上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是__________(填寫所有正確結論的序號)①若第3輪甲添加cm，則乙獲勝；②若甲想獲勝，第3輪可以添加條件；③若乙想獲勝，可修改第2輪添加條件為．【答案】①③【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：①∵如果甲添加cm，又cm，cm，∴（SSS），∴乙獲勝，故結論①正確；②∵如果甲添加，又，∴是直角三角形，且，∴這兩個三角形的三邊長度就確定下來，且必然對應相等，這兩個三角形全等，故甲會輸，故結論②錯誤，③如果第二條條件修改為，甲在第三條填入，那么乙可能獲勝，故結論③正確．【點睛】本題考查全等三角形的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．3．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，、是邊上的點．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使得．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明．【答案】(1)①（答案不唯一）(2)見解析【分析】（1）利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解即可；（2）結合（1）進行求解即可．【詳解】（1）解：可選取①或③（只選一個即可），故答案為：①（答案不唯一）；（2）證明：當選?、贂r，，，在與中，，，；當選取③時，，，在與中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活運用．【經(jīng)典例題五全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例5】（2023春·重慶大渡口·七年級重慶市第三十七中學校?？计谥校┤鐖D，在中，，和的平分線、相交于點O，交于點D，交于點E，若已知周長為20，，，則長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】在上，截取，根據(jù)角平分線定義求出，求出，證明，得出，，求出，證明，得出，求出，根據(jù)三角形周長20求出，根據(jù)，求出結果即可．【詳解】解：在上，截取，如圖所示：∵，∴，∵和的平分線、相交于點O，∴，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴，，，∴，∴，∴，∵周長為20，∴，∵，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，證明，．【變式訓練】1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在和中，，是的中點，，垂足為點，且．若，則的長為(

)A．2cm B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，由直角三角形兩銳角互余，可得，由，由直角三角形兩銳角互余，可得，根據(jù)同角的余角相等，可得，然后根據(jù)判斷，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得到，由是的中點，得到，即可求解．【詳解】解：，可得，在和中，∵E是的中點，，故C正確．故選：C．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，找準全等的三角形是解決本題的關鍵．2．（2023春·陜西西安·七年級西安市曲江第一中學?？计谥校┤鐖D，在中，分別以為邊向外作和，使，，，連接，為邊上的高線，延長交于點N，下列結論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的結論有____（填序號）．【答案】②③④【分析】由不一定是直角三角形可判斷（1）；由余角的性質(zhì)可判斷（2）；作，交于點H，，交延長線于點G，構造三對全等三角形，利用全等三角形的判定與性質(zhì)可判斷（3）和（4）．【詳解】解：∵為邊上的高線，∴是直角三角形，∵不一定是直角三角形，∴與不一定全等，故①錯誤；∵，∴，∴，故②正確；作，交于點H，，交延長線于點G，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，同理可得：，∴，∴，在和中，，∴，∴，故③正確．∵，∴，即，故④正確；其中正確的結論有②③④．故選：②③④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）問題：已知中，，點D是內(nèi)的一點，且，．探究與度數(shù)的比值．請你完成以下探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．

(1)當時，依問題中的條件補全上圖；觀察圖形，與的數(shù)量關系為；當推出時，可進一步推出的度數(shù)為；可得到與度數(shù)的比值為；(2)當時，請你畫出圖形，研究與度數(shù)的比值是否與（1）中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明．【答案】(1)見解析，相等，，1：3(2)與度數(shù)的比值與（1）中結論相同，見解析【分析】（1）利用題中的已知條件，計算出，所以（等角對等邊）；由等腰三角形的性質(zhì)知，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是，找出圖中角的等量關系，解答即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作，過B點作交于點K，連接，構建四邊形是等腰梯形，根據(jù)已知條件證明≌（SAS），再證明是正三角形，最后根據(jù)是等腰梯形與正三角形的性質(zhì)，求得與的度數(shù)并求出比值．【詳解】（1）解：補全圖形如下：

①當時，∵，∴，在中，，∴，∴（等角對等邊）；②當時，，∵，∴，∴，∴，即，∴的度數(shù)為；③∵，，∴，，∴，∴與度數(shù)的比值為．（2）猜想：∠DBC與度數(shù)的比值與（1）中結論相同．證明：如圖2，作，過B點作交于點K，連接．

∴四邊形是等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，∴≌，∴，∴．∵，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴與度數(shù)的比值為．【點睛】本題綜合考查了是等腰梯形的判定與性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和．【經(jīng)典例題六全等三角形中的動點問題】【例6】（2022春·七年級單元測試）現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測量，，，，，點E是邊的中點，小狗汪汪從點B出發(fā)沿以的速度向點C跑，同時小狗妞妞從點C出發(fā)沿向點D跑．要使與全等，則妞妞的運動速度為（

）

A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【分析】設它們運動時間為，妞妞的運動速度為，則，，，分兩種情況，當時，當時，求出結果即可．【詳解】解：∵點E是邊的中點，∴，設它們運動時間為，妞妞的運動速度為，則，，，當時，，，∴，解得：；當時，，，∴，解得：；綜上分析可知，妞妞的運動速度為或．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形全等的應用，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，注意分類討論．【變式訓練】1．（2023秋·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，，點在線段上以1cm/s的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，它們運動的時間為，當點的運動速度為（

）cm/s時，在某一時刻，、、三點構成的三角形與、、三點構成的三角形全等．A．1或 B．1或 C．2或 D．1【答案】A【分析】設點的運動速度是cm/s，有兩種情況：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．【詳解】設點的運動速度是cm/s，∵，∴、、三點構成的三角形與、、三點構成的三角形全等，有兩種情況：，，則，解得：，∴，解得：，，，則，，解得：，，故選：A【點睛】本題考查了全等三角形的判定的應用，能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．2．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校?？茧A段練習）如圖，中，，，．點P從A點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作于E、作于F，當點P運動______秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．【答案】1或或12【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，代入得出關于t的方程，解方程即可．【詳解】解：設點運動秒時，以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形全等，分為五種情況：①如圖1，P在上，Q在上，則，，，，，，，，，，，即，；②如圖2，P在上，Q在上，則，，由①知：，，；因為此時，所以此種情況不符合題意；③當P、Q都在上時，如圖3，，；④當Q到A點停止，P在上時，如圖4，，時，解得．，符合題意；⑤因為P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3，P和Q都在上的情況不存在；綜上，點P運動1或或12秒時，以P、E、C為頂點的三角形上以Q、F、C為頂點的三角形全等．故答案為：1或或12．【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關鍵．3．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）在直角三角形中，，直線l過點C．

(1)當時，①如圖1，分別過點A和B作直線l于點D，直線l于點E．求證：；②如圖2，過點A作直線l于點D，點B與點F關于直線l對稱，連接交直線l于E，連接．求證：．(2)當，時，如圖3，點B與點F關于直線l對稱，連接、．點M從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿路徑運動，終點為C，點N以每秒的速度沿路徑運動，終點為F，分別過點M、N作直線l于點D，直線l于點E，點M、N同時開始運動，各自達到相應的終點時停止運動，設運動時間為t秒．當與全等時，求t的值．【答案】(1)見解析(2)或5或6.5【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等得到，根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可；②由對稱及可知，，，結合即可證明結論；（2）分點沿路徑運動、點沿路徑運動、點沿路徑運動、點沿路徑運動四種情況計算即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∵直線，∴，∴，在和中，，∴；②證明：點與點關于直線對稱，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：由題意得，由（1）可得，，∴當時，，當點沿路徑運動時，，解得，，不合題意，當點沿路徑運動時，，解得，，當點沿路徑運動時，，解得，，當點沿路徑運動時，，解得，，綜上所述，當或5或6.5時，．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．【經(jīng)典例題七全等三角形中的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題】【例7】（2022秋·福建廈門·九年級廈門雙十中學?？计谥校┤鐖D所示的正方形中，點在邊上，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，．旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（

）A．110° B．90° C．70° D．20°【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAD=，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=，由旋轉(zhuǎn)得≌，∴∠FAB=∠EAD，∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠FAE=∠BAD=，∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是，故選：B．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則∠BED的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】連接BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可證△ABD為等邊三角形，由“SSS”可證△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接BD，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE（SSS）∴∠ABE＝∠DBE＝30°∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°，∴∠BED＝135°．故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解決本題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握三角形全等的判定方法，能夠根據(jù)題意對圖形進行旋轉(zhuǎn).2．（2023春·七年級課時練習）如圖，在紙片中，，，且，P為BC上一點，將紙片沿AP剪開，并將、分別沿AB、AC向外翻折至、，連接DE，則面積的最小值為______．【答案】【分析】由將、分別沿AB、AC向外翻折至、可得：AP=AD=AE,由易得∠DAE=90°，面積=AD×AE=，當x取最小值時面積的最小即可求解．【詳解】解：∵、分別沿AB、AC向外翻折至、∴，∴AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE，∵所以∠DAE=∠DAP+∠PAE=2（∠BAP+∠PAC）=2∠BAC=90°，面積=AD×AE=，當AP取最小值時的面積最小，在中，當AP為BC邊的高，即AP垂直BC時，AP最小，此時，，，解得：AP=，面積的最小值為：．【點睛】本題考查了三角形的折疊問題、全等三角形的性質(zhì)和三角形的最小面積，解題的關鍵是弄清楚什么時候三角形的面積最小．3．（2022秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點且，直接寫出圖中線段、、之間的數(shù)量關系，不必證明．（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以65海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）220海里【分析】（1）如圖1，延長到點．使．連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得，證明結論；（2）如圖2，延長到點．使．連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得，證明結論；（3）如圖3，連接，延長、相交于點，根據(jù)題意得到，，，根據(jù)圖2的結論計算．【詳解】解：（1），理由如下：如圖1，延長到點．使．連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）結論仍然成立；理由如下：延長到點．使．連接，如圖2，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）如圖3，連接，延長、相交于點，，，，又，，符合（2）中的條件，結論成立，即（海里）．兩艦艇之間的距離為220海里．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造全等三角形．【經(jīng)典例題八全等三角形中倍長中線模型問題】【例8】（2023春·黑龍江綏化·七年級綏化市第八中學校?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長AD至點E，使得DE＝AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根據(jù)三角形三邊關系即可求得AE的取值范圍，從而得到的取值范圍．【詳解】如圖，延長AD至點E，使得DE＝AD，∵是邊上的中線，∴，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD△CDE（SAS），∴AB＝CE=5，AD＝DE，∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故選：C．【點睛】本題主要考查倍長中線法解題，能夠做出輔助線證出三角形全等再結合三角形三邊關系是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·山東日照·八年級期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD為BC邊的中線，則AD的長的取值范圍(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】要求AD的范圍，看到AD為中線，為此利用中線加倍的方法，構造全等三角形，AD的2倍線段在△AEC中，利用任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可求2AD的范圍即可．【詳解】延長中線AD到E，使DE=AD，連結CE，∵AD為BC中線，∴BD=CD，∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB=5，∵AE=2AD，在△AEC中，CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<8，∴1<AD<4．故選擇：C．【點睛】本題考查求線段的取值范圍問題，關鍵是把與AD有關的線段和AB與AC構成一個三角形，為此延長AD，構造全等實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，掌握構成三角形的條件．2．（2022秋·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習）已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D為AC的中點，則中線BD的取值范圍為___________.【答案】2.5<BD<12.5【分析】延長BD到E，使BD=DE，連接AE，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=BC=15，在中利用三角形三邊關系可求得BE的范圍，可求得BD的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長BD到E，使BD=DE，連接AE，∵D為AC的中點，∴AD=CD，在和中，∵∴（SAS），∴AE=BC=15，在中，由三角形三邊關系可得，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了添加輔助線，全等三等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的三邊關系，輔助線——中線倍長是本題的關鍵．3．（2023春·廣東佛山·七年級校考期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點，使請根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題如圖，已知，，，為的中點．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析；（4）【分析】（1）根據(jù)三角形三邊之間的關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進行解答；（2）延長交延長線于點，證即可；（3）延長至點，使得，連接、、，證即可；（4）過點作交于點，由（3）可得，證，用含的代數(shù)式表示出即可．【詳解】（1）為邊上的中線，，在和中

，，，，即，，，，故答案為：（2）如下圖，交延長線于點

，（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），，，為的中點，，，，又，，即，在和中，（全等三角形的對應角相等），即平分（3）延長至點，使得，連接、、

由（1）同理易知，，，，且，，，，，，，，（4）過點作交于點，由（3）可得，，，，

，，和互余，，，，，，又，，故答案為：【點睛】本題考查了三角形的三邊關系、全等三角形的判定和性質(zhì)，畫出輔助線推理論證是解題的關鍵．【經(jīng)典例題九全等三角形中的多結論問題】【例9】1（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長線于點E，連接，．則下列結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】D【分析】先證得，從而推得①正確；利用及三角形內(nèi)角和與對頂角，可判斷②正確；證明，得出，同理，得出，，則，證明，得出．則可得出④正確，由可得出結論③正確，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到⑤正確．【詳解】解：∵，∴，即，又∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，又∵與所交的對頂角相等，∴與所交角等于，即等于，∴，故②正確；過點F作于點M，過點G作交的延長線于點N，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，同理，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故④正確，∵，∴．故③正確．∵，，，∴，故⑤正確．故選：D．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互余、對頂角，三角形內(nèi)角和等幾何基礎知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·八年級課時練習）如圖，在直角三角形中，，的角平分線相交于點O，過點O作交的延長線于點F，交于點G，下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)可以判斷①是否正確；延長交于H，通過證明，，利用全等的性質(zhì)來判斷②是否正確；通過證明，利用性質(zhì)判斷③是否正確；根據(jù)同高的兩個三角形的面積比等于它們的底邊長之比，直接判斷④是否正確；從而得解．【詳解】解：的角平分線相交于點O，，，===故①正確；延長交于H，如圖所示：，又，，，，，，，，故②正確；，，，，，，又，，，，，故③錯誤；同高的兩個三角形面積之比等于底邊長之比，，故④正確；因此正確的有：①②④；故選A．【點睛】此題是直角三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、同高的兩個三角形面積之比等于底邊長之比等知識，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是解題的關鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，于點，于點，與交于點，連接并延長交于點，延長至點，若平分，平分，則下列結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結論有______（寫序號）．【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)三角形三條高交于一點可得，即可利用三角形內(nèi)角和定理證明，則①正確；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理得到，，再由三角形外角的性質(zhì)得到，進而得到，則，則②正確；證明，得到，則③正確；證明，得到，得到，再由，得到，則④錯誤；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明，則⑤正確．【詳解】解：于點，于點，與交于點，連接并延長交于點，，，，；故①正確．，，平分，平分，，，，，，，；故②正確．在和中，，，；故③正確．，，，，在和中，，，，，，，；故④錯誤．，，，，，；故⑤正確．綜上所述，正確的結論有①②③⑤，故答案為：①②③⑤．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．3．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，過點作于點，則下列三個結論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是______．【答案】①②【分析】由角平分線的定義結合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關系，進而判定①；在AB上取一點H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，進而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可判定③．【詳解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正確；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴點O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，③錯誤．故答案為：①②．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問題的關鍵．【經(jīng)典例題十全等三角形的綜合問題】【例10】（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、是的角平分線，、相交于點F，已知，則下列說法中正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當AF=FC、△AEF≌△CDF時，需要滿足條件∠BAC=∠BCA，據(jù)此可判斷①②；在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結論，據(jù)此可判斷③④．【詳解】解：①假設AF=FC．則∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴當∠BAC≠∠BCA時，該結論不成立；故①不一定正確；②假設△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．同①，當∠BAC=∠BCA時，該結論成立，∴當∠BAC≠∠BCA時，該結論不成立；故②不一定正確；③如圖，在AC上取AG=AE，連接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF與△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，則∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC與△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正確；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正確；綜上所述，正確的結論有2個．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．【變式訓練】1．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，垂足分別為、，、交于點，已知，，則的長是（

）A． B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】由垂直于，垂直于，利用垂直的定義得到一對角為直角，再由一對對頂角相等，利用三角形的內(nèi)角和定理得到一對角相等，再由一對直角相等，以及一對邊相等，利用得到三角形與三角形全等，由全等三角形的對應邊相等得到，由，即即可求出的長．【詳解】解：，，，，，在和中，，，，則．故選：B．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．2．（2023秋·河北邯鄲·八年級校考期末）如圖，在中，，，，為邊上的高，在直線上.（1）若，則_____________°；（2）若點從點出發(fā)，在直線上以每秒2cm的速度向一個?向移動，過點作的垂線交直線于點，當點運動____________秒時，.【答案】402或5【分析】（1）由已知條件和直角三角形的性質(zhì)可得，進而可得答案；（2）分點E沿射線BC方向運動和點E沿射線BG方向運動兩種情況，利用AAS證明△ABC≌△CFE，可得，再利用線段的和差求出BE，即可解決問題.【詳解】（1）∵，∴，∴，∵為邊上的高，∴，∴，∴，故答案為：40；（2）若點E沿射線BC方向運動，如圖1，∵，∴，由（1）知，此時若，則△ABC≌△CFE（AAS），∴cm，∴cm，則點E運動的時間為=5秒；若點E沿射線BG方向運動，如圖2，∵，∴，∵，，∴，此時若，則△ABC≌△CFE（AAS），∴cm，∴cm，則點E運動的時間為=2秒；故答案為：2或5.【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，正確分類、熟練掌握上述知識是解題的關鍵.3．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學校?？计谥校┤鐖D1，是中邊上的高，點D是上一點，連接交于點F，．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長至點G，連接，，若，，求線段的長．（注：不能應用等腰三角形的相關性質(zhì)和判定）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）首先根據(jù)高的意義得出，，再結合已知條件可得到，據(jù)此得出結論；（2）首先根據(jù)高的意義及（1）的結論可得出，然后再結合已知條件可得出，據(jù)此可證明和全等，進而可得出結論；（3）首先根據(jù)四邊形的面積的面積面積可得出，過點作交的延長線于點，再證和全等，從而得，由（2）可知，據(jù)此可得，然后根據(jù)可求出的長，進而可得出的長．【詳解】（1）證明：是中邊上的高，，，，，，即：；（2）證明：由（1）知：，，，，，又∵，，即：，，即：，∵，，在和中，，，；（3）解：∵是中邊上的高，，，，∵，，，即：，，由（2）知：，，，過點作交的延長線于點，則，由（1）知：，，，由（2）知：，即：，在和中，，，，由（2）知：，，，

∵，，即：，，．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積計算公式等，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與技巧，理解全等三角形的性質(zhì)，難點是在解答（3）時，過點作交的延長線于點，從而構成全等三角形．【重難點訓練】1．（2023春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離．我軍戰(zhàn)士想到一個辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點B；然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上；最后，他用步測的辦法量出自己與E點的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定定理即可得到結論．【詳解】解：∵士兵的視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點B，然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上，∴，∵，，∴，∵，∴判定的理由是．故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的應用，分析題意找到相等的角和邊判定三角形的全等是解題的關鍵．2．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，要判斷一張紙帶的兩邊a，b是否相互平行，提供了如下兩種折疊與測量方案：

方案I：沿圖中虛線折疊并展開，測量發(fā)現(xiàn)．

方案II：先沿折疊，展開后再沿折疊，測得．對于方案I，II，下列說法正確的是（

）A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行C．I，II都不可行 D．I，II都可行【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定定理求解即可．【詳解】解：方案I：，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），方案II：在和中，，，，,故選：D．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定是解題的關鍵．3．（2023春·陜西西安·八年級陜西師大附中?？茧A段練習）如圖，的周長為26，點D，E都在邊上，的平分線垂直于，垂足為Q，的平分線垂直于，垂足為P．若，則的長為（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】C【分析】證明，得到，同法得到，，再根據(jù)的周長為26，列式求出的長即可．【詳解】解：∵的平分線垂直于，垂足為Q，∴，，∵，∴，∴，∵的平分線垂直于，垂足為P，同法可得：，∴，∴的周長，∵，∴；故選C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關鍵是證明三角形全等．4．（2022秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點C在線段上，于點B，于點D．，且，，點P以的速度沿向終點E運動，同時點Q以的速度從點E開始，在線段上往返運動（即沿運動），當點P到達終點時，點P，Q同時停止運動．過點P，Q分別作的垂線，垂足為M，N．設運動時間為，當以P，C，M為頂點的三角形與全等時，t的值不可能是（

）A．15 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后分三種情況根據(jù)分別得出關于t的方程，解方程即得答案．【詳解】解：當點P在上，點Q在上時，如圖，∵以P，C，M為頂點的三角形與全等，∴，∴，解得：；當點P在上，點Q第一次從點C返回時，∵以P，C，M為頂點的三角形與全等，∴，∴，解得：；當點P在上，點Q第一次從E點返回時，∵以P，C，M為頂點的三角形與全等，∴，∴，解得：；綜上所述：t的值為1或或．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的應用，正確分類、靈活應用方程思想、熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023春·全國·七年級期末）如圖，在和中，，，，，連接，交于點，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由全等三角形的判定及性質(zhì)對每個結論推理論證即可．【詳解】∵∴∴又∵，∴∴故①正確∵∴由三角形外角的性質(zhì)有則故②正確作于，于，如圖所示：則°，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴∴平分故④正確假設平分則∵∴即由④知又∵為對頂角∴∴∴∴在和中，∴即AB=AC又∵故假設不符，故不平分故③錯誤．綜上所述①②④正確，共有3個正確．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，靈活的選擇全等三角形的判定的方法是解題的關鍵，從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊角迅速、準確地確定要補充的邊角，有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路．6．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，是邊上的中線，則的取值范圍是__．【答案】【分析】延長到E，使，證明，則，根據(jù)三角形三邊關系得到，即可得到的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長到E，使，

∵是邊上的中線，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延長，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示，分別是銳角和中邊的高，且，若要使，可補充的條件是___________（只需要填寫一個你認為適當?shù)臈l件即可）

【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)推出全等即可．【詳解】解：，理由是：∵分別是銳角和中邊的高，∴，在和中，，∴，∴，在和中，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，能熟練地掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有：，此題是一道開放型的題目，答案不唯一．8．（2023秋·湖南益陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，cm，cm，點從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為____________時，與全等．【答案】2或【分析】設運動時間為t，根據(jù)題意求出對應線段的長度，然后分兩種情況討論：①當，時；②當，時；利用全等三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：設點Q從點C出發(fā)ts，同時點P從點B出