2025屆北京市西城區(qū)第四中學(xué)高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆北京市西城區(qū)第四中學(xué)高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．2．已知焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，點在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．3．下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖，為的中點，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．4．設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．若存在，且為函數(shù)的一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-16．已知集合，，則等于()A． B． C． D．7．的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則角的大小為（）A． B． C． D．8．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知是虛數(shù)單位，若，，則實數(shù)（）A．或 B．-1或1 C．1 D．10．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．11．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是3，點是上的動點，滿足到的距離與到點的距離相等，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．12．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知下列命題：①命題“?x0∈R，”的否定是“?x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則“”為真命題；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要條件；④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號是________．14．的展開式中常數(shù)項是___________.15．已知，若，則a的取值范圍是______．16．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若在第一象限，那么_______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設(shè)備？請說明理由.18．（12分）已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，對于符合題意的任意，當(dāng)時均有?若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．19．（12分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生．新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團(tuán)委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生，對是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根據(jù)上表說明，能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為，寫出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82820．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,有一個微型智能機(jī)器人（大小不計）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個單位長度,例如：該機(jī)器人在點處時,下一步可行進(jìn)到、、、這四個點中的任一位置．記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達(dá)式．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當(dāng)與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：22．（10分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.2、A【解析】

過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.3、C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點重合，記作，取中點，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點重合，記作：則為中點，取中點，連接，設(shè)正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.4、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數(shù)的一個零點，所以在時有一個零點因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.5、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

解不等式確定集合，然后由補(bǔ)集、并集定義求解．【詳解】由題意或，∴，．故選：B.【點睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型．7、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡，可求出解B.【詳解】由正弦定理可得，即，即有，因為，則，而，所以.故選：A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，可得有解，令，則，對分類討論，得出時，取得極大值，也即為最大值，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解：由題可知，曲線與有公共點，即方程有解，即有解，令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故時，取得極大值，也即為最大值，當(dāng)趨近于時，趨近于，所以滿足條件．故選：C.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力，屬于難題．9、B【解析】

由題意得，，然后求解即可【詳解】∵，∴.又∵，∴，∴.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因為函數(shù)過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價于在直角坐標(biāo)系中，點，是第一象限內(nèi)的動點，滿足到軸的距離等于點到點的距離，求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡得：，則，解得：，即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動點軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.12、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②【解析】命題“?x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯誤；“p∨q”為假命題說明p假q假，則(p)∧(q)為真命題，故②正確；a＞5?a＞2，但a＞2?/a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分條件，故③錯誤；因為“若xy＝0，則x＝0或y＝0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯誤．14、-160【解析】試題分析：常數(shù)項為.考點：二項展開式系數(shù)問題.15、【解析】

函數(shù)等價為，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增，即為，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】，等價為，且時，遞增，時，遞增，且，在處函數(shù)連續(xù)，可得在R上遞增，即為，可得，解得，即a的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16、2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過點B作于點E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因為,所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設(shè)備，理由見解析【解析】

（1）的可能取值為10000，11000，12000，的可能取值為9000，10000，11000，12000，計算概率得到分布列；（2）計算期望，得到，設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，，計算分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列為如下9000100001100012000（2）設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，的可能取值為2，3，4，5，，，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，，，則的分布列為3456由于，，因此需購買甲設(shè)備【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.18、(1)；(2).【解析】

（1）對求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得.（2）先根據(jù)，得，再根據(jù)零點解得，轉(zhuǎn)化不等式得，令，化簡得，因此，，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，確定對應(yīng)函數(shù)最值，即得取值集合.【詳解】（1），當(dāng)時，對恒成立，與題意不符，當(dāng)，，∴時，即函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∵和時均有，∴，解得：，綜上可知：的取值范圍；（2）由(1)可知，則，由的任意性及知，，且，∴，故，又∵，令，則，且恒成立，令，而，∴時，時，∴，令，若，則時，，即函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，與不符；若，則時，，即函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，與式不符；若，解得，此時恒成立，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，又，∴時，；時，符合式，綜上，存在唯一實數(shù)符合題意.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.19、（1）有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）計算得到，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù)，由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式計算可得期望.【詳解】（1）∵的觀測值，有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)．（2）根據(jù)分層抽樣方法得：男生有人，女生有人，選取的人中，男生有人，女生有人．則的可能取值有，，，，，的分布列為：．【點睛】本題考查獨(dú)立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解；關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布，進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個取值所對應(yīng)的概率.20、（1）,,,（2）【解析】

（1）根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值；（2）首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項式定理及展開式的通項公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）,,（2）設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)（每一步長度為1）,則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,（其中為不超過的最大整數(shù)）總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇（向上或向下）,即等價于求中含項的系數(shù),為其中含項的系數(shù)為故．【點睛】本題考查組合數(shù)、二項式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類討論的思想.21、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由短軸長可知，設(shè)，，由設(shè)而不求法作差即可求得，將相應(yīng)值代入即求得，橢圓方程可求；（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候