云南省瀘西縣瀘源普通高級中學2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

云南省瀘西縣瀘源普通高級中學2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知斜率為2的直線l過拋物線C：的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的中點M的縱坐標為1，則p＝（）A．1 B． C．2 D．42．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．3．設復數(shù)滿足，在復平面內對應的點的坐標為則（）A． B．C． D．4．設函數(shù)，當時，，則（）A． B． C．1 D．5．已知函數(shù)滿足：當時，，且對任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．6．在聲學中，聲強級（單位：）由公式給出，其中為聲強（單位：）.，，那么（）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．639．從集合中隨機選取一個數(shù)記為，從集合中隨機選取一個數(shù)記為，則在方程表示雙曲線的條件下，方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為（）A． B． C． D．10．在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．11．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-212．設全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于，若三角形的面積等于，則該橢圓的離心率為________.14．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為______.15．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實數(shù)_____.16．已知兩點，，若直線上存在點滿足，則實數(shù)滿足的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.（1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18．（12分）如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.19．（12分）正項數(shù)列的前n項和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.20．（12分）已知中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，且．（1）求角的大?。唬?）若的面積為，，求．21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，正實數(shù)、滿足，求證：.22．（10分）已知，，設函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設直線l的方程為x＝y(tǒng)，與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得p．【詳解】由已知得F（，0），設直線l的方程為x＝y(tǒng)，并與y2＝2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又線段AB的中點M的縱坐標為1，則y0（y1+y2）＝，所以p=2,故選C．【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題，利用韋達定理是解題的關鍵，屬中檔題．2、D【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于的方程，本題屬于難題.3、B【解析】

根據(jù)共軛復數(shù)定義及復數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)對應點坐標的幾何意義，復數(shù)模的求法及共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.4、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質求得參數(shù)值．【詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質，掌握正弦函數(shù)性質是解題關鍵．5、C【解析】

由題意可知，代入函數(shù)表達式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：C.【點睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應用，屬于基礎題.6、D【解析】

由得，分別算出和的值，從而得到的值.【詳解】∵，∴，∴，當時，，∴，當時，，∴，∴，故選：D.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算，屬于基礎題.7、C【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.8、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結構的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.9、A【解析】

設事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，分別計算出，再利用公式計算即可.【詳解】設事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，由題意，，，則所求的概率為.故選：A.【點睛】本題考查利用定義計算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.10、D【解析】

利用直線與圓相交求出實數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【點睛】本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.11、B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數(shù)性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.12、C【解析】∵集合，，∴點睛：本題是道易錯題，看清所問問題求并集而不是交集.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題得直線的方程為，代入橢圓方程得：，設點，則有，由，且解出，進而求解出離心率.【詳解】由題知，直線的方程為，代入消得：，設點，則有，，而，又，解得：，所以離心率.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關系，三角形面積計算與離心率的求解，考查了學生的運算求解能力14、【解析】

作出滿足約束條件的可行域，將目標函數(shù)視為可行解與點的斜率，觀察圖形斜率最小在點B處，聯(lián)立，解得點B坐標，即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，該目標函數(shù)視為可行解與點的斜率，故由題可知，聯(lián)立得,聯(lián)立得所以，故所以的最小值為故答案為：【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.15、1【解析】

根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進行數(shù)量積的運算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件．16、【解析】

問題轉化為求直線與圓有公共點時，的取值范圍，利用數(shù)形結合思想能求出結果．【詳解】解：直線，點，，直線上存在點滿足，的軌跡方程是．如圖，直線與圓有公共點，圓心到直線的距離：，解得．實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意，先求得為的中點，再證明平面平面，進而可得結論；（2）由題意，當點位于點時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.【詳解】（1）證明：當四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形，是矩形.，且平面平面.則，.則為四面體外接球的直徑.所以，即.由題意，，，所以.因為，所以為的中點.記的中點為，連接，.則，，，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.當四面體的體積最大時，的面積最大.所以當點位于點時，四面體的體積最大.以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，.所以，，，.設平面的法向量為.則令，得.設平面的一個法向量為.則令，得.設平面與平面所成銳二面角是，則.所以當四面體的體積最大時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運用平面與平面的平行、線面平行的判定，利用好空間向量是關鍵，屬于基礎題．18、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連結NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.19、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為數(shù)列的前項和滿足：，所以當時，，即解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，因為，所以，解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，當時，有，所以，解得，當時，，符合所以數(shù)列的通項公式，;（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：，當時，有，所以，所以對于任意，數(shù)列的前項和.20、（1）;（2）．【解析】試題分析：（1）利用已知及平面向量數(shù)量積運算可得，利用正弦定理可得，結合，可求，從而可求的值；（2）由三角形的面積可解得，利用余弦定理可得，故可得.試題解析：（1）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（2）∵，∴，又，即，∴，故．21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的的解集；（2）利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為，進而可得出，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式求得的最小值，進而可證得結論成立.【詳解】（1）當時，由，得，即，解得，此時；當時，由，得，即，解得，此時；當時，由，得，即，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2），當且僅當時取等號，所以，.所以，當且僅當，即，時等號成立，所以.所以，即.【