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文檔簡介
浙江教育綠色評價聯(lián)盟2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.52.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.4.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.5.已知,,為圓上的動點,,過點作與垂直的直線交直線于點,若點的橫坐標(biāo)為,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是().A. B.C. D.7.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.8.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點是()A.E B.F C.G D.H9.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知直四棱柱的所有棱長相等,,則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.11.設(shè)是雙曲線的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點,使(為坐標(biāo)原點),且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,且,則__________.14.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺,術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),則由此可推得圓周率的取值為________.15.三個小朋友之間送禮物,約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同),則三人都收到禮物的概率為______.16.若隨機變量的分布列如表所示,則______,______.-101三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4—5;不等式選講.已知函數(shù).(1)若的解集非空,求實數(shù)的取值范圍;(2)若正數(shù)滿足,為(1)中m可取到的最大值,求證:.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式的解集包含,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點.(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求λ的值.20.(12分)[選修4-5:不等式選講]:已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)設(shè),,且的最小值為.若,求的最小值.21.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進行了一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下:等級不合格合格得分頻數(shù)624(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);(2)其他條件不變,在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意的和恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖,關(guān)鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.2、B【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系,即可得出?!驹斀狻吭O(shè)對應(yīng)的集合是,由解得且對應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。3、A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算得出點的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,由,可得,即,化簡得點的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,.故選:A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標(biāo)化,將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.4、A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質(zhì).5、A【解析】
由題意得,即可得點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖,連接OP,AM,由題意得,點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,.故選:A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.6、B【解析】
奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點對稱且,在上即可.【詳解】A:因為定義域為,所以不可能時奇函數(shù),錯誤;B:定義域關(guān)于原點對稱,且滿足奇函數(shù),又,所以在上,正確;C:定義域關(guān)于原點對稱,且滿足奇函數(shù),,在上,因為,所以在上不是增函數(shù),錯誤;D:定義域關(guān)于原點對稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號零點,所以在上不是增函數(shù),錯誤;故選:B【點睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點對稱,屬于簡單題目.7、C【解析】
先計算出總的基本事件的個數(shù),再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由于在復(fù)平面內(nèi)點的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡后可找到其對應(yīng)的點.【詳解】由,所以,對應(yīng)點.故選:C【點睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
對分類討論,當(dāng),函數(shù)在單調(diào)遞減,當(dāng),根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
以為坐標(biāo)原點,所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱,,取中點,以為坐標(biāo)原點,所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,.設(shè)平面的法向量為,則取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則,,∴直線與平面所成角的正切值等于故選:D【點睛】本題考查了向量法求解線面角,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】
利用向量運算可得,即,由為的中位線,得到,所以,再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點,則由得,即;在中,為的中位線,所以,所以;由雙曲線定義知,且,所以,解得,故選:D【點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),難度一般.12、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:因,故,所以,,應(yīng)填.考點:三角變換及運用.14、3【解析】
根據(jù)圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),可得,進而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.15、【解析】
基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù).由此能求出三人都收到禮物的概率.【詳解】三個小朋友之間準備送禮物,約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同),基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù).則三人都收到禮物的概率.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計算性質(zhì)得.【點睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計算公式,方差的計算公式,方差的性質(zhì)等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】試題分析:(1)討論三種情況去絕對值符號,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因為,要證,只需證,即證,只需證即可得結(jié)果.試題解析:(1)去絕對值符號,可得所以,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.(2)由(1)知,,所以.因為,所以要證,只需證,即證,即證.因為,所以只需證,因為,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy設(shè):證明:x+y-2xy==令,∴原式====當(dāng)時,18、(1)(2)【解析】
(1)按進行分類,得到等價不等式組,分別解出解集,再取并集,得到答案;(2)將問題轉(zhuǎn)化為在時恒成立,按和分類討論,分別得到不等式恒成立時對應(yīng)的的范圍,再取交集,得到答案.【詳解】解:(1)當(dāng)時,等價于或或,解得或或,所以不等式的解集為:.(2)依題意即在時恒成立,當(dāng)時,,即,所以對恒成立∴,得;當(dāng)時,,即,所以對任意恒成立,∴,得∴,綜上,.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式,分類討論研究不等式恒成立問題,屬于中檔題.19、(1).(2)1【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.(2,由AN=λ,設(shè)N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一個法向量,利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,由|cos〈,〉|===求解.【詳解】(1)因為PA⊥平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因為∠BAD=90°,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因為M為PC的中點,所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.(2)因為AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).設(shè)平面PBC的法向量為=(x,y,z),則即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1)是平面PBC的一個法向量.因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,所以|cos〈,〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值為1.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角,線面角的求法及應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時,,原不等式可化為,分類討論即可求得不等式的解集;(2)由題意得,的最小值為,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【詳解】(1)當(dāng)時,,原不等式可化為,①當(dāng)時,不等式①可化為,解得,此時;當(dāng)時,不等式①可化為,解得,此時;當(dāng)時,不等式①可化為,解得,此時,綜上,原不等式的解集為.(2)由題意得,,因為的最小值為,所以,由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,的最小值為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式問題,對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運用零點分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運用分類討論思想,法二是運用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動向.21、(1)64,65;(2);(3).【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出,平均數(shù),中位數(shù);(2)設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件,由條件概率公式可求出;(3)從評定等級為“合格”和“不合格”
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