微積分求極限的方法(2·完整版)

專題一求極限的方法【考點(diǎn)】求極限近幾年來的考試必然會(huì)涉及求極限的大題目，一般為2—3題12—18分左右，而用極限的概念求極限的題目已不會(huì)出現(xiàn)。一般來說涉及到的方法主要涉及等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則和利用定積分的概念求極限，使用這些方法時(shí)要注意條件,如等價(jià)量代換是在幾塊式子乘積時(shí)才可使用，洛必達(dá)法則是在0比0,無窮比無窮的情況下才可使用，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算時(shí)要各部分極限存在時(shí)才可使用等.極限收斂的幾個(gè)準(zhǔn)則：歸結(jié)準(zhǔn)則（聯(lián)系數(shù)列和函數(shù)）、夾逼準(zhǔn)則（常用于數(shù)列的連加）、單調(diào)有界準(zhǔn)則、子數(shù)列收斂定理（可用于討論某數(shù)列極限不存在）要注意除等價(jià)量代換和洛必達(dá)法則之外其他輔助方法的運(yùn)用,比如因式分解，分子有理化，變量代換等等。一.sinx 1 14、兩個(gè)重要極限hm =1hm（1+—）=lim（1+x）x=e，注意變形，如將第二個(gè)式子x—0X x—<? X x—01lim（1+x）x=ex—0 中的x變成某趨向于0的函數(shù)f（x）以構(gòu)造“卜”的形式的典型求極限題目.5、5、（1）（2）（3）（1）（2）（3）函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是左右極限存在且相等.有時(shí)可以利用這點(diǎn)進(jìn)行解L-limex-1題,如x—1 因左右極限不相等而在這點(diǎn)極限不存在。（當(dāng)式子中出現(xiàn)絕對(duì)值和e的無窮次方的結(jié)構(gòu)時(shí)可以考慮從這個(gè)角度出發(fā)）遇到無限項(xiàng)和式求極限時(shí)想三種方法:①看是否能直接求出這個(gè)和式（如等比數(shù)列求和）再求極限②夾逼定理③用定積分的概念求解.（4）如果f（x）/g（x）當(dāng)xTx0時(shí)的極限存在，而當(dāng)xTx0時(shí)g（x）T0,則當(dāng)xTx0時(shí)f（x）也T0（5）一個(gè)重要的不等式：sinx<x（x>0）大其中方法②③考到的可能性較大.有關(guān)求極限時(shí)能不能直接代入數(shù)據(jù)的問題。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、根的存在性定理、介值定理）此部分題目屬于基本題型的題目，需要盡量拿到大部分的分?jǐn)?shù)?！纠}精解?求極限的方法】方法一:直接通過化簡(jiǎn),運(yùn)用極限的四則運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算.【例1】求極限lim【例1】求極限limx—1xm—1xn一1」 -Xm-1「(X-l)(Xm-1+Xm-2+1m解lirn 二hm =—Xf1Xn—1 Xf1(X—l)(xn-1+xn-2+ )n注：此題通過洛必達(dá)法則進(jìn)行求解也非常方便。還可通過變量代換構(gòu)造等價(jià)量?！纠?】求極限lim(xX2+1-\；X2-X)limXf+81limXf+81+XXX2+1+xX22-Xlim(\:X2+1-\:x2—x)=Xf+8注：1、遇到“根號(hào)加減根號(hào)”基本上有兩種方法一一有理化和采取倒變量的方法。 axn+axn-1+ +a一，一一，2、一個(gè)最基本的多項(xiàng)式極限lim1 2 產(chǎn)(系數(shù)均不為0)：Xf+gbxm+bXm-1+ +b1 2 n①若n>m，則極限為正無窮；②若n<m,則極限為0；③若n=m，則極限為親。(本質(zhì)為比較次數(shù))1要注意的是X是趨向于正無窮，而且分子分母遇到根號(hào)時(shí)要以根號(hào)里X的最高次的1次來計(jì)算，如JXT的次數(shù)為1。方法二：利用單調(diào)有界準(zhǔn)則來證明極限存在并求極限【例3】設(shè)u2-12，u尸J12+u(n=12..J，證明limu存在并求之

1 n+1 、 n nfn解因?yàn)閝—=/=Ju；+12—J_r一,+12+l+12所以-a?的符號(hào)與nh—u—i的符號(hào)相同，也知與at—a.的符號(hào)相同.jifj~*~ 12+Qi-*"aI —(.LZi—趣事—01— 十?一外=―,. = - .J12+$+叫 yl2+fl1+0L(1)若占這0,則顯然的>aiJaJ單調(diào)增加,⑵著卬>0,則當(dāng)?V4時(shí)*>'al，｛%［單倜增加i當(dāng)即>4時(shí)，能<*M冊(cè)｝單調(diào)破少I當(dāng)生k4時(shí),小工況1=。?巾一］，？*3,…，考察 七_(dá)4檢一4=Ja.+12-4=-==—，口川+ 7b y露+12+4所以八、嘏師.C4E=】工,…，有上界，且此時(shí)2.畢隔增

加.由單蠲有界數(shù)列必有極限的性質(zhì)知物露存在.必有:謂“>4 >…i，2,…,小有下鼻也比吟為單蠲*少屈此赤（3）當(dāng)知=4時(shí)，％=4,紂=L2,….顯然極限存在總之可得當(dāng):存在.現(xiàn)設(shè)匕叫.兒則將—―F兩邊如一的樹陽得；a=WK一成解得A__3f舍去.因?yàn)樾?3用. 3,…八月?j綜上所搓jtn%極限存在*為，*方法三:利用夾逼定哼一適用于無限項(xiàng)求極限時(shí)可放縮的情況.lim一H+n：2+n.3+...+nln【例4】求極限 n\ ' \nf8解因1二—,n<11+n江+《3+...+啰百）<1?n《n'=《石nn n而lim1=limn^n=1nf8nf8故由夾逼定理lim-《+0+n3+…+nn=1nf8n方法四&方法五：等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則--未定式極限。（化加減為乘除?。〆tan%—exlim 【例5】求極限xf0tanx—x[.ex(etanx-x-1) [.ex(tanx-x)1TOC\o"1-5"\h\zlim =lim =1解 原式二xf0 tanx-x xf0tanx-x\o"CurrentDocument". 1 1【例6】求極限limx2(ax-ax+1)xf+8. 1 -±_ . -±_1」 1-limx2(ax-ax+1)=limx2ax+1(axx+1-1)=limx2-1?(ax(x+1)-1)xf+8 xf+8 xf+8「 I 1 1 1xf+8x(x+1)limx2-1--xf+8x(x+1)lim【例7】求極限0X—0tan原式=limX—0tanX-sinX=lim ^-4 X―0X+X2)--X2?23+sin尢+尢2)4-1)=lim—X—0Xtanx(1-cosx)(sinx=limX—0【例8】求極限【例8】求極限limX—01-cosxcos2xcos3x1-cosx解：直接運(yùn)用洛必達(dá)法則和等價(jià)量代換可得limX—01-cosxcos2xcos3x1-cosxlimX—0sinxcos2xcos3x+limX—0limX—01-cosxcos2xcos3x1-cosxlimX—0sinxcos2xcos3x+limX—04cosxsin2xcos3x2x+limX—09cosxcos2xsin3xlimX—0sinxcos2xcos3xlimX—0sinXsinXcos2Xcos3X+limX—02cosxsin2xcos3xlimX—0XsinXcos2Xcos3X+limX—0sinX2cosXsin2Xcos3X+limX—03x3cosxcos2xsin3x+limX—0X4cosXsin2Xcos3X+limX—0sinX3cosXcos2Xsin3X2x+limX—0X9cosXcos2Xsin3X3x=1+4+9=14【例9】求極限limlog(Xa+Xb)XXf+8解:由換底公式，=limXf+8ln(x=limXf+8ln(xa+xb)lnx(藝)=lim"a+bxb=iim8Xf+8Xa+Xb Xf+8axa+bxbxa+xb若a>b，則極限為a；若a<b，則極限為b，綜上，極限為max{a,b}方法六：冪指函數(shù)求極限——取對(duì)數(shù)再取指數(shù)。【例10】lim(nsin1T2【例10】lim(nsin1T2(18)「(.1Y2 「(.1/2limnsin_ =limxsin—n-8\n7 x.+8\X7-limt—0+(-lim1+t—0+ksint

t、t sint—t1\ - ?一sint—t t127「cost—1

lim =et-0+312【例11】limx-+8\—arctanxlx7(00)=e=eHm□x—+8If兀 ，)ln——arctanx2

lnxf兀 \—lim—arctanx12x—+8、乙 J(一 (一 )八1+x2 /0、lim 1+x——(-)兀 0x—+8——arctanx2limx—+8二e

1K一一arctanx2limex—+81—x21+x2(arccotx Ix人J*注意x是趨向正無窮，此時(shí)需要先分析底數(shù)和指數(shù)分別趨向于多少,分析底數(shù)易知底數(shù)趨向于正無窮。但是指數(shù)arccotx這個(gè)函數(shù)不是很熟，可以通過圖像先分析cotx再分析arccotx趨向于多少，最后得出結(jié)論是指數(shù)趨于0。故是一個(gè)"80"型，所以要用“先取對(duì)數(shù)

再取指數(shù)”的方法。對(duì)于之后arccotx的處理，若用羅比達(dá)對(duì)其求導(dǎo)則會(huì)發(fā)現(xiàn)再接下來比較難做，這里給出一個(gè)轉(zhuǎn)化為熟悉的,可等加量代換的式子的方法，方法較靈活，需要對(duì)三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有很深的熟悉度.arccotxln—lime解原式一Xarccotxln—lime解原式一Xf+8eX-1limarccotxln二exf+slimarctan1Inrex-1)lneXlim ex-limex-+?ex 1ex-1X1TOC\o"1-5"\h\z*關(guān)于第三個(gè)等號(hào)左右的變化：令y=arccotx，則x=coty= ，tany\o"CurrentDocument"1 1y=arctan—,綜上，arccotx=arctan—X X方法七：運(yùn)用泰勒定理求極限一適用于直接洛必達(dá)不好算時(shí)考慮的方法.【例13】【例13】求極限limX-0x2+2-2J1+x2x2(cosX-ex2)7—1,x2x4 x21+X2=1+——一+o(X4)，Xf0cosX=1一一+o(X3)，X-02 8 ， 2!ex2=1+x2+o(x2)，xf0代入原式可得，lim原式【。X4 /、x2lim原式【。X4 /、x2+2-2-x2+—+o(x4)4X2X21-5+o(X3)-1-X2-o(X2)x4,，人+o(X4)=lim_4 =-1Xf0-2X4+o(X4) 6方法八:通過定積分的概念來求極限【例14】求lim(nf+8解由于此題無法直接對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，解，即n+...+ )n2+n2也無法用夾逼定理，故想到用定積分的概念來求1n2原式二lim—( -nf+snn2+1n2+ + +...+ )n2+4 n2+9n2+n2=lim1nf+8n1(1、21+—In)1+ (2、21+—I=lim1nf+8n1(1、21+—In)1+ (2、21+—In)1+1+=lim￡此時(shí)由定積分的概念可將上面的和式看成被積函數(shù)以x)=占在［°，1］上的定積分，故lim(nf+8【例15】求極限limn9+s1 1(n!)n=lim1[n(n-1)(n—2)...2-1]；lim1￡ln-=en一+8n nI=1n9+811 1 [n(n-1)(n-2)...2.1]；lim_(n!)n=lim nf+sn n—+s nlimnf+s—i1n(n-1)(n-2)...2.1；nn【例16】limnf+s123lim(—?—.—nf+snnnlim—￡ln—=enf+sn nI=1Ek2-sin2k, lnk=11 「123n-1n、lim—ln( ... )nf+sn=Jjnxdx=e(xlnx-x冊(cè)=e-1【分析】此題看似復(fù)雜，其實(shí)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)仍為無限項(xiàng)的和式求極限，故再次想到用定積分的概念求解.故我們需要找到定積分概念中和式極限的“1”和“f化)”。TOC\o"1-5"\h\zn i“1”我們可以類似【例5】，自己把這一項(xiàng)構(gòu)造出來，而f化)這一項(xiàng)不同于我們以往做過n 1i—13 i的題目中f化)經(jīng)常取小區(qū)間的左端點(diǎn) 或右端點(diǎn)一，而是取了中間一個(gè)點(diǎn)，但是無論i n ni--1