江蘇省東外揚中省句容省溧中2017-2018學年高二下學期期中聯(lián)考試題數(shù)學

20172018年度第二學期高二年級期中測試卷數(shù)學2018420一、填空題（每小題5分，共14小題）1．已知（是虛數(shù)單位），則實數(shù)=▲．2．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是▲．3．某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取▲名學生．開始輸出結束YN4．從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機地選兩個數(shù)，則選中的兩個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)的概率是▲開始輸出結束YN5．右圖是一個算法流程圖，則輸出的值是▲.6．用一組樣本數(shù)據(jù)8，，10，11，9來估計總體的標準差，若該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則總體方差▲．7．用反證法證明命題：“若，則中至少有一個大于1”時，要做的假設是“假設▲”．8．由命題“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命題，求得m的取值范圍是（a，+∞），則實數(shù)a的值是▲．9．已知點P在圓上運動，那么點P到直線的距離的最小值為▲．10．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為▲.11.設、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則點到軸的距離為▲．12．觀察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜測第n個不等式為▲．13．若不等式∣ax3－lnx∣≥1對任意x∈(0，1]都成立，則實數(shù)a的取值范圍是▲．14.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為▲．二、解答題（共6大題，分值共90分）15．（4分+4分+6分）某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出40名學生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段后畫出如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求第四小組的頻率，并補全頻率分布直方圖；（2）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；（3）從成績是分及分的學生中選兩人，記他們的成績?yōu)椋鬂M足“”的概率.16.（文科）（4分+5分+5分）已知，命題對任意，不等式恒成立；命題：存在，使得成立（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）當，若且為假，或為真，求的取值范圍；（3）若且是的充分不必要條件，求的取值范圍。（理科）（7分+7分）ADBCPA1B1C1QADBCPA1B1C1QD1(1)試確定、兩點的位置；(2)求二面角大小的余弦值.17．（7分+7分）已知a，b為常數(shù)且a>0，f(x)＝x3＋eq\f(3,2)(1－a)x2－3ax＋b.(1)函數(shù)f(x)的極大值為2，求a、b間的關系式；(2)函數(shù)f(x)的極大值為2，且在區(qū)間[0,3]上的最小值為－eq\f(23,2)，求a、b的值.18．（6分+10分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．19．（4分+5分+7分）已知橢圓的離心率為，右焦點，左、右頂點分別為，，直線過點且與橢圓交于、兩點（點在軸上方），直線直線，的斜率分別為，．（1）求橢圓的方程；（2）若，求的面積；ABOFPQxy（3）ABOFPQxy20．（4分+5分+7分）已知函數(shù)（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點，求證：．期中考試答案一、填空題（每小題5分，共14小題）1．2．3．604．5．56．27．全部小于等于18．19．210.11．12．13．14．二、解答題（共6大題，分值14分+14分+14分+16分+16分+16分）15．（1）由頻率分布的直方圖可得，第四小組的頻率為110（0.01+0.015+0.015+0.025+0.05）=0.3．

故第四個小矩形的高為0.310=0.03．如圖所示：

（2）由于這次考試的及格的頻率為10×（0.015+0.03+0.025+0.005）=0.75，故及格率為0.75．

由頻率分布直方圖可得平均分為0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71．

（3）由頻率分步直方圖可得，成績是40～50分的有40×0.1=4人，90～100分的學生有40×0.05=2人，記取出的2個人的成績?yōu)閤，y，

“|xy|＞10”說明選出的2個人一個成績在[40，50）內(nèi)，另一個在[50，60）內(nèi)，

故滿足“|xy|＞10”的選法有4×2=8種，而所有的取法有C26=15種，

故滿足“|xy|＞10”的概率等于．16.（文科）（理科）解:(1)以為正交基底建立空間直角坐標系,設,則,,,∵,∴，∴，解得∴PC=1,CQ=1,即分別為中點(2)設平面的法向量為，∵,又，∴，令，則,17．解(1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，因為a>0，所以x1<x2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況見下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以當x＝－1時，f(x)有極大值2，即3a＋2b＝3.(2)當0<a<3時，由(1)知，f(x)在[0，a)上為減函數(shù)，在(a,3]上為增函數(shù)，所以f(a)為最小值，f(a)＝－eq\f(1,2)a3－eq\f(3,2)a2＋b.即－eq\f(1,2)a3－eq\f(3,2)a2＋b＝－eq\f(23,2)，又由b＝eq\f(3－3a,2).于是有a3＋3a2＋3a－26＝0，即(a＋1)3＝27，a＝2，b＝－eq\f(3,2).當a>3時，由(1)知，f(x)在[0,3]上為減函數(shù)，即f(3)為最小值，f(3)＝－eq\f(23,2)，從而求得a＝eq\f(107,48)，舍去.綜上a＝2，b＝－eq\f(3,2).18．解(1)因為蓄水池側面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元．所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．又根據(jù)題意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因為r>0，又由h>0可得r<5eq\r(3)，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5eq\r(3))．(2)因為V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因為r2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)．當r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當r∈(5,5eq\r(3))時，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上為減函數(shù)．由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8.即當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．ABOFPQxy19．ABOFPQxy（2），由得（3）設，，直線的方程為，代入橢圓方程，得，，，所以，由，，，，所以，故存在常數(shù)，使得．20、（1）因為點在曲線上，所以，解得．因為，所以切線的斜率為0，所以切線方程為．（