2025屆江蘇省蘇州大學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆江蘇省蘇州大學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件2.已知三棱錐中,為的中點(diǎn),平面,,,則有下列四個(gè)結(jié)論:①若為的外心,則;②若為等邊三角形,則;③當(dāng)時(shí),與平面所成的角的范圍為;④當(dāng)時(shí),為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若OM∥平面,則在內(nèi)軌跡的長(zhǎng)度為1.其中正確的個(gè)數(shù)是().A.1 B.1 C.3 D.43.如果直線與圓相交,則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是()A.點(diǎn)M在圓C上 B.點(diǎn)M在圓C外C.點(diǎn)M在圓C內(nèi) D.上述三種情況都有可能4.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.5.某校在高一年級(jí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)競(jìng)賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī):555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī),運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.126.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.7.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.409.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.10.已知集合,,則()A. B. C. D.11.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.12.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.請(qǐng)列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.14.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.15.如圖,直線是曲線在處的切線,則________.16.展開(kāi)式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,點(diǎn)是的中點(diǎn),將沿著折起,使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處,且滿足.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知點(diǎn)為圓:上的動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)作直線的垂線(當(dāng)、重合時(shí),直線約定為軸),垂足為,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)直線的極坐標(biāo)方程為,連接并延長(zhǎng)交于,求的最大值.20.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.21.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的滿足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前n項(xiàng)和為,求證:對(duì)于任意的正數(shù)n,總有.22.(10分)為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況,某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生,收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機(jī)抽取一人,抽到的男生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在的概率:(2)從參加公益勞動(dòng)時(shí)間的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當(dāng)時(shí),高中生和初中生相比,那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng).(直接寫(xiě)出結(jié)果)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯(cuò)誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫(huà)出圖形:若為的外心,則,平面,可得,即,①正確;若為等邊三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②錯(cuò)誤;若,設(shè)與平面所成角為可得,設(shè)到平面的距離為由可得即有,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).可得的最大值為,即的范圍為,③正確;取中點(diǎn),的中點(diǎn),連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上,而,可得④正確;所以正確的是:①③④故選:C【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷,處理這類問(wèn)題,可以用已知的定理或性質(zhì)來(lái)證明,也可以用反證法來(lái)說(shuō)明命題的不成立.屬于一般性題目.3、B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件,利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交,圓心到直線的距離,即.也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑.即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì),考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.5、D【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績(jī)大于等于90的人數(shù),的取值為成績(jī)大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查利用程序框圖計(jì)算統(tǒng)計(jì)量等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).6、C【解析】

由題意可知,,由可得出,,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得出,由此可得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域?yàn)?,?duì)恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,則,,則,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,有一定的難度.7、B【解析】

函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時(shí)的值,然后根據(jù)變化時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì),從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠(yuǎn)在的上方,設(shè)與的切點(diǎn),則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.8、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.9、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.10、B【解析】

求出集合,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

因?yàn)?,所以排除C、D.當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時(shí),,可得.故選A.12、A【解析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過(guò),即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、231,321,301,1【解析】

分個(gè)位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí),數(shù)字可以是231,321,301;(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是3時(shí)數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

求出切線的斜率,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知直線過(guò)點(diǎn),可求出直線的斜率,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.16、70【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為:70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接,,由,進(jìn)而,由,得.進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證(2)(方法一)過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面平面的法向量,由二面角公式求解即可(方法二)取的中點(diǎn),上的點(diǎn),使,連接,得,,得二面角的平面角為,再求解即可【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,由已知得,所以,又點(diǎn)是的中點(diǎn),所以.因?yàn)?,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?,所以,從而平面,所以,又,不平行,所以平?(2)(方法一)由(1)知,過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn),,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得.同理,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得.所以二面角的余弦值為.(方法二)取的中點(diǎn),上的點(diǎn),使,連接,易知,.由(1)得,所以平面,所以,又,所以平面,所以二面角的平面角為.又計(jì)算得,,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,考查空間向量求二面角,考查空間想象及計(jì)算能力,是中檔題18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線和長(zhǎng)度關(guān)系,為平行四邊形,進(jìn)而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;【詳解】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,,所以,,∴為平行四邊形,所以,又因?yàn)?,所以;?)由題及(1)易知,,兩兩垂直,所以以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角,所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)設(shè)的極坐標(biāo)為,在中,有,即可得結(jié)果;(2)設(shè)射線:,,圓的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立兩個(gè)方程,可求出,聯(lián)立可得,則計(jì)算可得,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】(1)設(shè)的極坐標(biāo)為,在中,有,點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為;(2)設(shè)射線:,,圓的極坐標(biāo)方程為,由得:,由得:,,,當(dāng),即時(shí),,的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.(2)由基本不等式得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加,可得,即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題..21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)公式得到,計(jì)算得到答案.(2),根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到,得到證明.【詳解】(1)由已知得時(shí),,故.故數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.又當(dāng)時(shí),,..(2)..【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和證明數(shù)列不等式,意在考查

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