2025屆云南省玉溪市峨山一中高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2025屆云南省玉溪市峨山一中高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．142．已知正項等比數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．3．命題“”的否定是（）A． B．C． D．4．設函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．16．若的內(nèi)角滿足，則的值為（）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．8．已知實數(shù)集，集合，集合，則（）A． B． C． D．9．已知雙曲線：（，）的焦距為.點為雙曲線的右頂點，若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．310．已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則11．設全集，集合，，則（）A． B． C． D．12．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)為____.14．已知，在方向上的投影為，則與的夾角為_________.15．過點，且圓心在直線上的圓的半徑為__________．16．若函數(shù)的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,,,則實數(shù)的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環(huán)保知識競賽.（1）設事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.18．（12分）已知矩形中，，E，F(xiàn)分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.20．（12分）已知都是大于零的實數(shù)．（1）證明；（2）若，證明．21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）記為數(shù)列的前項和，已知，等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

設等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題.2、D【解析】

由，可求出等比數(shù)列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.4、A【解析】

由求出范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.5、A【解析】

根據(jù)題意，求導后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ陨先我庖稽c處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.6、A【解析】

由，得到，得出，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內(nèi)角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.7、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.8、A【解析】

可得集合,求出補集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.9、A【解析】

由點到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎．10、D【解析】

利用空間位置關系的判斷及性質(zhì)定理進行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或．故選：D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.11、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成，由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側(cè)面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側(cè)面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、28【解析】

將已知式轉(zhuǎn)化為，則的展開式中的系數(shù)中的系數(shù)，根據(jù)二項式展開式可求得其值.【詳解】，所以的展開式中的系數(shù)就是中的系數(shù)，而中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為故答案為：28.【點睛】本題考查二項式展開式中的某特定項的系數(shù)，關鍵在于將原表達式化簡將三項的冪的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項式的形式，屬于基礎題.14、【解析】

由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值，從而得角的大小．【詳解】在方向上的投影為，即夾角為.故答案為：．【點睛】本題考查求向量的夾角，掌握向量投影的定義是解題關鍵．15、【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結(jié)合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標.由兩點間距離公式,即可得半徑.【詳解】因為圓經(jīng)過點則直線的斜率為所以與直線垂直的方程斜率為點的中點坐標為所以由點斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且圓心在直線上,設圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標為則圓的半徑為故答案為:【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關系,直線與直線交點的求法,直線與圓的位置關系,圓的半徑的求法,屬于基礎題.16、4【解析】

由題可分析函數(shù)與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為：4【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應用,考查求正弦型函數(shù)中的三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因為學生總數(shù)為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，，，，，的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎題18、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點R，連接，，則在中，，且，又Q是中點，所以，而且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)作交于點G，以E為原點，，，分別為x，y，x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，，，所以，，設平面的一個法向量為，則即，取，得，又平面的一個法向量為，所以.因此，二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運算求解能力,難度一般.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)，求導，令，用導數(shù)法求其最小值.設研究在處左正右負，求導，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因為，所以，令，則，所以是的增函數(shù)，故，即.因為所以，①當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，則若，則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則若，則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當時，，使得，即，但當時，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù))在上單調(diào)遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.20、（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用基本不等式可得，兩式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）兩式相加得（2）由（1）知于是，．【點睛】本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎題.21、（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）對a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對a分三種情況，先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值，再解不等式得解.【詳解】（1），當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：當時，，∴成立.