專題13 函數(shù)中的三角形、四邊形存在性問題（原卷版）

專題13函數(shù)中的三角形、四邊形存在性問題函數(shù)中三角形、四邊形的存在性問題是中考中的?？键c，考查內(nèi)容主要包括等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、特殊的平行四邊形以及三角形全等和相似的存在性。在解決此類問題時，首先要用坐標(biāo)把三角形或四邊形的邊長表示出來（可以根據(jù)勾股定理），在設(shè)坐標(biāo)時，通常只設(shè)一個未知數(shù)橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)，另一個坐標(biāo)一般根據(jù)函數(shù)解析式進(jìn)行表示，其次根據(jù)等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等的判定定理列出方程，并求出未知數(shù)。 （2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作ACx軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時，求出P點坐標(biāo)；(3)將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；(4)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（1）利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）過P作PGy軸，交OE于點G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得△OPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；（3）求出原拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)以及對稱軸與OE的交點坐標(biāo)、與AE的交點坐標(biāo)，用含h的代數(shù)式表示平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，列出不等式組求出h的取值范圍；（4）存在四種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)|OM|＝|PN|，列方程可得點P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點P的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3(2)P點坐標(biāo)為（，）(3)h的取值范圍為3≤h≤4(4)存在，點P的坐標(biāo)是（，）或（，）或（，）或（，）【詳解】（1）解：∵拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖1，過P作PGy軸，交OE于點G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），設(shè)直線OE的解析式為y＝kx，把點（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，∴直線OE的解析式為：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG?AE3×（﹣m2+5m﹣3）（m2﹣5m+3）（m）2，∵0，∴當(dāng)m時，△OPE面積最大，此時m2﹣4m+3＝，∴P點坐標(biāo)為（，）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線l的對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，﹣1），拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為F（2，﹣1+h）．設(shè)直線x＝2交OE于點M，交AE于點N，則N（2，3），如圖2，∵直線OE的解析式為：y＝x，∴M（2，2），∵點F在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）設(shè)P（m，m2﹣4m+3），分四種情況：①當(dāng)P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合題意，舍去，∴m，此時m2﹣4m+3＝，∴P的坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1或m2，∵＞2，不合題意，舍去，∴m＝，此時m2﹣4m+3＝，∴P的坐標(biāo)為（，）；③當(dāng)P在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；∵＜2，不合題意，舍去，∴m＝，此時m2﹣4m+3＝，P的坐標(biāo)為（，）；④當(dāng)P在對稱軸的右邊，且在x軸上方時，如圖5，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m或（舍），P的坐標(biāo)為：（，）；綜上所述，點P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及圖形的平移，全等三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，運用分類討論思想和方程的思想是解決問題的關(guān)鍵．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo)；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（1）先求得A，C，B三點的坐標(biāo)，將拋物線設(shè)為交點式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據(jù)點D和點E坐標(biāo)可表示出DE的長，進(jìn)而表示出三角形ADC的面積，進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PC，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點Q坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4(2)S最大＝，D（﹣，5）(3)存在，Q（﹣2，）【詳解】（1）解：當(dāng)x＝0時，y＝4，∴C（0，4），當(dāng)y＝0時，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴B（1，0），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時，S最大＝，當(dāng)m＝﹣時，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；（3）設(shè)P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì)（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸相交于點，，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點O的直線MN．點D是直線MN上任意一點．①當(dāng)點D在拋物線的對稱軸l上時，連接CD，關(guān)x軸相交于點E，水線段OE的長；②如圖2，在拋物線的對稱軸l上是否存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F與點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(1)把，代入即可得出拋物線的表達(dá)式；（2）①求出直線BC解析式：，再由直線MN：及拋物線的對稱軸：，即可得出．進(jìn)而得出直線CD的解析式為：，即可得出答案；②分以BC為邊時，即，，以及分以BC為對角線時，進(jìn)行討論即可得出答案．【答案】(1)(2)①；②在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點F的坐標(biāo)為時，點D的坐標(biāo)：或；當(dāng)點F的坐標(biāo)為時，點D的坐標(biāo)：．【詳解】（1）解：將點，代入得：解得∴拋物線的表達(dá)式為．（2）①由（1）可知：，設(shè)直線BC：，將點，代入得：解得∴直線BC：，則直線MN：．∵拋物線的對稱軸：，把代入，得，∴．設(shè)直線CD：，將點，代入得：解得∴直線CD：．當(dāng)時，得，∴，∴．②存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為項點的四邊形是平行四邊形．理由如下：（I）若平行四邊形以BC為邊時，由可知，F(xiàn)D在直線MN上，∴點F是直線MN與對稱軸l的交點，即．由點D在直線MN上，設(shè)．如圖2-1，若四邊形BCFD是平行四邊形，則．過點D作y軸的垂線交對稱軸l于點G，則．∵，∴，∵軸，∴，∴．又∵，∴，∴，，

∵，，∴，解得．∴，如圖2-2，若四邊形BCDF是平行四邊形，則．同理可證：，∴，∵，，∴，解得．∴（II）若平行四邊形以BC為對角線時，由于點D在BC的上方，則點F一定在BC的下方．∴如圖2-3，存在一種平行四邊形，即．設(shè)，，同理可證：，∴，∵，，，∴．解得∴，．綜上所述，存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點F的坐標(biāo)為時，點D的坐標(biāo)：或；當(dāng)點F的坐標(biāo)為時，點D的坐標(biāo)：．本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.1．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M）已知如圖，直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點、，點關(guān)于軸的對稱點是點，直線經(jīng)過點，且與軸相交于點，點是直線上一動點，過點作軸的平行線交直線于點，再以為邊向右邊作正方形．(1)①求的值；②判斷的形狀，并說明理由；(2)連接、，當(dāng)?shù)闹荛L最短時，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，在軸上是否存在一點，使得是等腰三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．2．（2022·山東日照·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，是拋物線軸下方的拋物線上一點，連接、、，若的面積是面積的3倍，求點的坐標(biāo)(3)如圖3，連接?，在拋物線上是否存在點（不與點重合），使得？若存在求出點的橫坐標(biāo)，若不存在說明理由3．（2022·四川德陽·模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點和點，與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式及點的坐標(biāo)；(2)如圖，點為線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作軸的平行線交拋物線于點，求線段長度的最大值．(3)動點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動，同時動點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動，在平面內(nèi)是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2022·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于、兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動，設(shè)的面積為S，點M運動時間為t秒，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使為直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．5．（2021·貴州遵義·校考模擬）如圖，直線與軸、軸分別交于B、C兩點，拋物線經(jīng)過點B、C的，與軸另一交點為A，頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線對稱軸是否存在一點E，使得是等腰三角形，若存在，求出E的點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．6．（2022·四川瀘州·?？寄M）如圖1，已知拋物線過三點)，過線段的中點，若點為所在圓的圓心．(1)求拋物線的解析式；(2)求的度數(shù)；(3)求圓心點的坐標(biāo)，并判斷點是否在這條拋物線上；(4)若弧的中點為，是否在軸上存在點，使得與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在說明理由．7．（2022·山東日照·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，直線與拋物線在第一象限交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，若過點O的直線交線段于點P，將三角形的面積分成的兩部分，請求出點P的坐標(biāo)；(3)若Q是直線上方拋物線上一個動點（不與點A、C重合），當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積時，求出Q點的坐標(biāo)；(4)在拋物線的對稱軸上有一動點H，在拋物線上是否存在一點N，使以點A、H、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．8．（2022·重慶·重慶八中?？寄M）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點，，與y軸交于點C．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，點P是線段上方拋物線上的一個動點，過點P作PZx軸交于點Z，過點P作PQCB交直線于點Q，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，將該拋物線向下平移個單位，向右平移3個單位，使得P點對應(yīng)點．點S是新拋物線對稱軸上一點，在平面上否存在一點N，使以、S、A、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．（2022·甘肅平?jīng)觥ば？级＃┤鐖D，拋物線交軸于點，交軸于點、C兩點，點為線段上的一個動點（不與重合)，過點作軸，交于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接和，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求出點的坐標(biāo)及的最大面積；(3)在平面內(nèi)是