河北省石家莊正定中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁(yè)河北正定中學(xué)/河北正中實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題人：王姣姣審題人：時(shí)凱靜注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．答題時(shí)使用0.5毫米黑色簽字筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效．4．保持答題卡面清潔，不折疊，不破損．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：A2.已知命題p：，的否定（）A.， B.，C， D.，【答案】A【解析】【分析】直接利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可求出結(jié)果．【詳解】命題，，則，．故選：A．3.函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分離常數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得值域.【詳解】由已知函數(shù)定義域?yàn)?，且，則，即，故選：C.4.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.1 B. C.1或 D.0或1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意可得：，解得.故選：A.5.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)圖象求得函數(shù)定義域，利用函數(shù)值可得出其解析式，代入計(jì)算即求得函數(shù)值.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知和不在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此和是方程的兩根，因此可得，又易知，所以可得；即，所以.故選：D6.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】正實(shí)數(shù)x，y滿足，利用基本不等式的性質(zhì)可得，設(shè)，即可求出的最小值．【詳解】∵正實(shí)數(shù)x，y滿足，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)取等，設(shè)，∴，∴，即，，∴，故的最小值為2.故選：A．7.函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的，有，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件有在上單調(diào)遞減，函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，由對(duì)稱性和單調(diào)性可得的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)任意的，有,即對(duì)任意的,設(shè)，都有，所以在上單調(diào)遞減.又函數(shù)為偶函數(shù)，即.則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.所以,則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，屬于中檔題.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可由求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，由可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此對(duì)任意的都有為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，故在上單調(diào)遞減，故由得，故對(duì)任意的成立，故，解得或.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）.A.與B.與C.與D.與【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和解析式依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋皇峭缓瘮?shù)；對(duì)選項(xiàng)B：定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，，是同一函?shù)；對(duì)選項(xiàng)C：定義域?yàn)?，，定義域?yàn)?，是同一函?shù)；對(duì)選項(xiàng)D：，定義域?yàn)?，，定義域?yàn)?，是同一函?shù)；故選：BCD.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】通過(guò)賦值可判斷AB，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)奇偶性的定義可判斷CD.【詳解】令，可得，故A項(xiàng)正確；令，可得，令，可得，則，故B項(xiàng)正確；由，可得，令，則，令，可得，令，則，所以是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.B.，，都有成立C.當(dāng)，時(shí)，D.若滿足不等式的整數(shù)恰好有個(gè)，則的值僅有個(gè)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，將代入計(jì)算求解即可；對(duì)于B，取，，代入計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，利用作差法結(jié)合判斷即可；對(duì)于D，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】由題意可知，對(duì)于A，，故正確；對(duì)于B，取，，則有，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，故正確；對(duì)于D，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，，，因?yàn)榇藭r(shí)，當(dāng)時(shí)，可得和兩個(gè)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，可得，只有一個(gè)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，可得，只有一個(gè)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，可得，只有一個(gè)整數(shù)解；所以此時(shí)只有滿足題意；當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的圖象單調(diào)遞減，且，，，所以當(dāng)時(shí)，滿足題意，綜上，滿足題意的的值有個(gè)，故錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，化簡(jiǎn)：______．【答案】【解析】【分析】把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?故答案為：13.不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的解集求出的關(guān)系，再化簡(jiǎn)不等式，求出它的解集即可．【詳解】解：因?yàn)榈慕饧癁?，則，且對(duì)應(yīng)方程的根為-2和4，所以，，且，不等式可化為,則，即，解得或．故答案為．14.定義：若存在常數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)為，均有成立，則稱函數(shù)在定義域上滿足利普希茨條件．已知函數(shù)滿足利普希茨條件，則常數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)滿足利普希茨條件，分離參數(shù)，并化簡(jiǎn)，求得常數(shù)的范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由題意，不妨設(shè)，則，由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，即常?shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)，集合.（1）求的定義域；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義，從而求出其定義域；（2）根據(jù)“”是“”的充分不必要條件得出集合與集合間的關(guān)系，從而求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得解之得：，故集合的定義域?yàn)椋?故答案為：.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以得：集合是集合的真子集，所以得：或，解之得：或，故的取值范圍為.故答案為：.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求的解析式；（2）判斷的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論．【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由，，解方程求出，即可求出的解析式；（2）在上是增函數(shù)，由單調(diào)性的定義證明即可.【小問(wèn)1詳解】由在上是奇函數(shù)，所以，則，則，由，得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.【小問(wèn)2詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，且，則，又，所以，因?yàn)?，，所以，所以，則，故在上單調(diào)遞增.17.設(shè)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).（1）若，，求的最小值；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）8（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式計(jì)算即可；（2）含參討論解不等式即可.小問(wèn)1詳解】由題意可知：，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，，，所以?dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值8；【小問(wèn)2詳解】由上可知，得，即，即.當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式為，故解集為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)不等式為，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)，解集為；當(dāng)，解集為；當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)，解集為.18.已知函數(shù)，．（1）若，，求，的最小值；（2）若恒成立，（i）求證：；（ii）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最小值；（2）（i）由二次不等式恒成立，利用判別式建立關(guān)系，證明；（ii）由恒成立的不等式，分離出常數(shù)，利用函數(shù)思想求取值范圍【小問(wèn)1詳解】若，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以；【小問(wèn)2詳解】①證明：因?yàn)楹愠闪ⅲ春愠闪?，所以，即，所以，則，所以；②解：，即恒成立，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，則在上恒成立，又，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.若函數(shù)G在上的最大值記為，最小值記為，且滿足則稱函數(shù)G是在的“美好函數(shù)”（1）已知函數(shù)；①函數(shù)G是在上“美好函數(shù)”，求a的值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)G是在上的“美好函數(shù)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；（2）已知函數(shù)若函數(shù)G是在（為整數(shù)）上的“美好函數(shù)”，且存在整數(shù)k，使得，求的值.【答案】（1）①或；②0或1.（2）【解析】【分析】（1）①分和兩種情況求出二次函數(shù)在給定范圍上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后分，，和四種情況求函數(shù)在給定范圍上的最值，然后利用列方程可求出的值；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)G為增函數(shù)，從而可求出，，然后由為整數(shù)可求出，再由列方程可求出.【小問(wèn)1詳解】①因二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)G為增函數(shù)，依題意，由，解得；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)G為減函數(shù)，依題意，由，解得.綜上，或；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.(Ⅰ)若，則由，解得（舍去）；（Ⅱ）若，則由，解得或（舍去）；（Ⅲ）若，則由，解得或（舍