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2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中抽測(cè)數(shù)學(xué)試題1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將各答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式解出集合,再求交集即可;詳解】,解得,所以,所以,故選:B.2.復(fù)數(shù)的虛部為()A.1 B. C. D.【答案】A【解析】分析】化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,虛部1,故選:A.3.若向量,則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用投影向量的公式求解即可.【詳解】在上的投影向量,故選:A.4.已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為13,側(cè)面積為,則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐的特征先計(jì)算其高與底面圓半徑,再利用相似的性質(zhì)計(jì)算內(nèi)切球半徑,計(jì)算其表面積即可.【詳解】設(shè)該圓錐底面圓半徑為r,高為h,根據(jù)題意有,設(shè)其內(nèi)切球半徑,所以?xún)?nèi)切球的表面積,故選:C.5.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),若,則()A.588 B.448 C.896 D.548【答案】B【解析】【分析】由已知等式結(jié)合等比數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)解出,再利用下標(biāo)的性質(zhì)求解即可;【詳解】由,可得,因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),則(舍)或2,,故選:B.6.在直角坐標(biāo)系中,已知直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn),則的面積的最大值為()A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得圓心到直線(xiàn)的距離,利用勾股定理可表示出弦長(zhǎng),代入面積公式,結(jié)合二次函數(shù)求最值即可求解.【詳解】圓心到直線(xiàn)的距離,,又,所以,即.故選:D.7.已知,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用降冪公式,再用和差化積公式即可.【詳解】.故選:D.8.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,且,則()A. B.C.是增函數(shù) D.是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】先將等式兩邊同時(shí)除以,得到,利用賦值法判斷AB,舉反例為判斷CD,從而得解.【詳解】對(duì)于A,,則,令,則,故錯(cuò)誤;故,則,對(duì)于B,令,則,則,同理可得,令,則,故正確;對(duì)于CD,令,顯然滿(mǎn)足在,,,得,令得,顯然當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減,故C錯(cuò)誤;此時(shí),顯然在定義域上單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題CD選項(xiàng)的判斷關(guān)鍵在于,根據(jù)的性質(zhì)舉反例,從而得解.二?多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù),則()A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到C.在區(qū)間單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí),的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】對(duì)于A:直接代入可得,即可判斷對(duì)稱(chēng)中心;對(duì)于B:根據(jù)三角函數(shù)圖像變換分析判斷;對(duì)于C:以為整體,結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷;對(duì)于D:以為整體,結(jié)合正弦函數(shù)值域分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱(chēng),故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:向左平移個(gè)單位,可得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?,則,且在內(nèi)單調(diào)遞減,所以在區(qū)間單調(diào)遞減,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)椋瑒t,所以的值域?yàn)?,故D錯(cuò)誤.故選:AC.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn),則()A.直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為B.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為C.點(diǎn)到平面的距離為D.三棱錐的外接球的半徑為【答案】ABD【解析】【分析】由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可得與的夾角為與的夾角即再由為正三角形可得A正確;建立如圖所示坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量,代入線(xiàn)面角公式求解可得B正確;求出平面的法向量,代入空間點(diǎn)面距離公式可得C錯(cuò)誤;畫(huà)出圖形,找到球心,由勾股定理列方程組可得D正確;【詳解】對(duì)于A,由點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn),所以,所以與的夾角為與的夾角即為正三角形,,故A正確;對(duì)于B,以為原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,則,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取,則,設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為,則,與平面所成角的正弦值為,故B正確;對(duì)于C,,設(shè)平面的法向量不放設(shè),則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,的外接圓是以為直徑的圓,設(shè)圓心為則,易得,設(shè)三棱錐的外接球的半徑為,球心為,故D正確;故選:ABD.11.如圖,由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線(xiàn),則()A.有對(duì)稱(chēng)軸B.的弦長(zhǎng)的最大值為C.直線(xiàn)被截得弦長(zhǎng)的最大值為D.的面積大于【答案】ACD【解析】【分析】利用反函數(shù)概念可判斷;聯(lián)立方程,求出交點(diǎn)即可判斷;找出過(guò)與曲線(xiàn)相切且與平行的點(diǎn)即可;由,計(jì)算即可判斷.【詳解】由,的反函數(shù)為,兩者關(guān)于對(duì)稱(chēng),故A正確.,令hx在上單調(diào)遞減;0,+∞注意到,在和有一個(gè)零點(diǎn),另一個(gè)零點(diǎn)為,,故B錯(cuò)誤.與曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸垂直,如圖,只需考察曲線(xiàn)上到距離大最大值即可,找出過(guò)與曲線(xiàn)相切且與平行的點(diǎn)即可,令,令,此時(shí)到的距離,直線(xiàn)被截得弦長(zhǎng)最大值為,故正確.,,故D正確.故選:ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:圓錐曲線(xiàn)中的三角形面積,通常將三角形分成兩個(gè)底位于坐標(biāo)軸上的小三角形,如本題中.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,若,則__________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式以及期望的性質(zhì)可得出關(guān)于的等式,即可解得的值.【詳解】因?yàn)椋啥?xiàng)分布的期望公式可得,由期望的性質(zhì)可得,解得.故答案為:.13.在四面體中,是正三角形,是等腰直角三角形,,平面平面,點(diǎn)在棱上,使得四面體與四面體的體積之比為,則二面角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】##0.5【解析】【分析】畫(huà)出二面角,計(jì)算三角形邊長(zhǎng),然后利用余弦定理求解即可.【詳解】設(shè),則,取中點(diǎn)所以,,因?yàn)?,所以點(diǎn)為中點(diǎn),因?yàn)槠矫嫫矫妫?所以所以平面所以,,又因?yàn)樗远娼堑钠矫娼菫樗?故答案為:114.已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為,把【答案】4【解析】【分析】根據(jù)曲線(xiàn)方程確定曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,結(jié)合雙曲線(xiàn)性質(zhì)確定實(shí)軸所在直線(xiàn),進(jìn)而求頂點(diǎn)坐標(biāo),最后求出雙曲線(xiàn)參數(shù),即可得答案.【詳解】設(shè)Px,y在曲線(xiàn)上,也在曲線(xiàn)上且也在曲線(xiàn)上,曲線(xiàn)的兩條對(duì)稱(chēng)軸分別為,而與曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn),為曲線(xiàn)實(shí)軸所在的直線(xiàn),聯(lián)立,則實(shí)軸端點(diǎn)為,,而雙曲線(xiàn)離心率為,的虛軸長(zhǎng)為4.故答案為:4四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.下表提供了某廠進(jìn)行技術(shù)改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)能(單位:)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(單位:標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):3456標(biāo)準(zhǔn)煤3.5455.5(1)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)已知該廠技術(shù)改造前產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(1)中求出的經(jīng)驗(yàn)回經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)該廠技術(shù)改造后產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了多少標(biāo)準(zhǔn)煤.參考公式:【答案】(1)(2)【解析】【分析】直接利用公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】,即改造后預(yù)測(cè)生產(chǎn)能耗為.預(yù)測(cè)該廠改造后100t產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了標(biāo)準(zhǔn)煤.16.已知橢圓的離心率為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4.(1)求的方程;(2)設(shè)直線(xiàn)與交于兩點(diǎn),點(diǎn),求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由離心率的定義、橢圓的性質(zhì)結(jié)合題意求出即可;(2)聯(lián)立直曲方程,解出坐標(biāo),再由向量的數(shù)量積求出即可;【小問(wèn)1詳解】由題意,所以方程為:.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立,解得或,所以,所以.17.已知數(shù)列滿(mǎn)足為常數(shù).(1)若,求;(2)若的各項(xiàng)均為正數(shù),證明:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)由題中遞推關(guān)系求出公差,再由基本量法求出,然后由裂項(xiàng)相消法求和即可;(2)由遞推關(guān)系求出,再通過(guò)通分和平方差的運(yùn)算即可證明;【小問(wèn)1詳解】,,,.【小問(wèn)2詳解】,要使,即,即,整理得顯然成立,.18.在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求;(2)點(diǎn)分別在邊上,且平分平分,.①求證:;②求.【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析;②【解析】【分析】(1)由正弦定理邊化角,再結(jié)合輔助角公式和特殊角的正弦值求出即可;(2)①在和中分別使用正弦定理,再結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得;②由正弦定理和比例的性質(zhì)可得和,再結(jié)合題中邊長(zhǎng)等式由兩角差的余弦公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn),最終得到結(jié)果;【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得,.【小問(wèn)2詳解】(1)證明:在和中分別使用正弦定理(2)設(shè),,同理,,,,,,19.設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),使得,其中對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).(1)求證:函數(shù)具有性質(zhì);(2)已知函數(shù)具有性質(zhì),給定實(shí)數(shù),,其中.證明:;(3)對(duì)于函數(shù)和點(diǎn),令,若點(diǎn)滿(mǎn)足在處取得最小值,則稱(chēng)是的“點(diǎn)”.已知函數(shù)具有性質(zhì),點(diǎn).若對(duì)任意的,都存在曲線(xiàn)上的一點(diǎn),使得既是的“點(diǎn)”,又是的“點(diǎn)”,求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)題中條件計(jì)算并判斷即可;(2)易知單調(diào)遞增,然后利用單調(diào)性,去絕對(duì)值符號(hào)求解即可;(3)先寫(xiě)出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù),然后求導(dǎo),利用兩點(diǎn)具有相同的“點(diǎn)”,建立等式,化簡(jiǎn)得到,由題易知,得到恒成立,
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