山東省煙臺(tái)市2025屆高三上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題含答案

2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】由可得，所以，所以，或，所以.故選：B.2.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】主要利用正切函數(shù)的性質(zhì)，即可解答本題.【詳解】當(dāng)時(shí)，；反之，當(dāng)時(shí)，.則“”是“”的充要條件.故選：C.3.已知，，，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出的值，然后投影向量的計(jì)算公式為，再計(jì)算向量在上的投影向量.【詳解】，可得.展開得到.，則；，則.將和代入中，得到，移項(xiàng)可得，解得.根據(jù)投影向量公式，得到.故選：B4.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用抽象函數(shù)求定義域的相關(guān)概念，即可求解.【詳解】由x<2，得，且，所以，因此，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式可求出，利用齊次式即可得到結(jié)果.【詳解】由得，，∴.故選：A.6.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)且，得到在區(qū)間上上單調(diào)遞減，從而得到，求出答案.【詳解】時(shí)，，顯然，令得，當(dāng)?shù)?，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又是定義在R上的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故在R上為連續(xù)函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知關(guān)于對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，根據(jù)的對(duì)稱性和單調(diào)性解不等式即可得出答案.【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，所以關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以f'x<0所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，由，則，可得：，即或，所以不等式的解集為.故選：D.8.魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，若，，，，則海島的高為（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用作差法結(jié)合平方差公式判斷A正確；利用不等式的性質(zhì)可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤；通分之后判斷分子和分母的符號(hào)可得選項(xiàng)C正確；舉反例說明選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.，由，得，因，所以，即，選項(xiàng)A正確.B.由，，，即，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.由，得，因?yàn)椋?，選項(xiàng)C正確.D.令，則不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.若，則D.將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到的圖象【答案】ABD【解析】【分析】利用輔助角公式和正弦函數(shù)的最小正周期可得，利用代入法驗(yàn)證對(duì)稱軸及對(duì)稱中心可判斷，利用和差公式及同角關(guān)系式計(jì)算判斷；利用圖象平移變換可判斷.【詳解】，又相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，所以，所以，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確；，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故正確；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故錯(cuò)誤；將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得，故正確；故選：.11.設(shè)在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”；又當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，稱函數(shù)為區(qū)間上的“上凸函數(shù)”.則（）A.任何一個(gè)三次函數(shù)均有“拐點(diǎn)”B.函數(shù)為區(qū)間上的“上凸函數(shù)”C.若函數(shù)的“拐點(diǎn)”在軸的右側(cè)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若函數(shù)存在拐點(diǎn)，且為定義域上的“上凸函數(shù)”，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：運(yùn)用拐點(diǎn)概念計(jì)算即可；對(duì)于B選項(xiàng)：對(duì)求導(dǎo)，，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，求導(dǎo)得到，再求導(dǎo)令，得拐點(diǎn)，因?yàn)椤肮拯c(diǎn)”在軸右側(cè)，得到.進(jìn)而得到遞減區(qū)間判斷即可；對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)拐點(diǎn)概念，結(jié)合“上凸函數(shù)”概念，求出,可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：對(duì)于三次函數(shù)，，再求導(dǎo)得到.令，則，解得，所以任何一個(gè)三次函數(shù)均有“拐點(diǎn)”，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)：，，.當(dāng)時(shí)，，，得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)是區(qū)間上的“上凸函數(shù)”，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)：，，.令，得，因?yàn)椤肮拯c(diǎn)”在軸右側(cè)，所以，即.令可得，所以，的遞減區(qū)間是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)：，，.令，即在有解.即則有正解.則Δ=a2并且因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的“上凸函數(shù)”，所以在定義域上單調(diào)遞減.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保證拐點(diǎn)，則.D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】先求出的值，再將這個(gè)值作為自變量代入函數(shù)求出的值.【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，所以，根?jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則.因?yàn)椋?根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則.故答案為：.13.已知平行四邊形ABCD中，，，，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再求函數(shù)的值域解即可.【詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)P在邊AB上，所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，故答案為：14.函數(shù)，，.若時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，試寫出滿足條件的b的一個(gè)值為_____；若當(dāng)時(shí)，對(duì)，，，則a的取值范圍為___________.【答案】①.1（答案不唯一）②.【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可寫出的值，由題意得，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值及絕對(duì)值不等式即可求解.【詳解】若時(shí)，為偶函數(shù)，則，即，所以或0，對(duì)，，，所以，因?yàn)闀r(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無解，所以a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立、存在性問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，（1）若，有成立，則；（2）若，有成立，則；（3）若，有成立，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則和三角恒等變換得到，整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求出，數(shù)形結(jié)合得到，，故，得到答案【小問1詳解】，令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】，故，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)且與函數(shù)圖象相切的直線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的切線過點(diǎn)，可得切線方程為，可得，求解可得切線方程；（2）求導(dǎo)得，分，，三種情況討論可得單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的切線過點(diǎn)，所以，又，所以，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，所以，解得，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，可得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，某地一公園ABCD為等腰梯形，其中，，，（單位：百米），公園出入口分別為C，D和AB中點(diǎn)Q，公園管理部門準(zhǔn)備在公園內(nèi)部（不含邊界）距離C，D兩點(diǎn)相等的一點(diǎn)P處修建連接三個(gè)出口的道路PQ，PC，PD.設(shè)，，道路總長度為y.（單位：百米）（1）分別求y關(guān)于x和y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)選用（1）中的一個(gè)關(guān)系式，求：當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)三條道路的總長度最小.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）借助等腰梯形的性質(zhì)和勾股定理，以及銳角三角函數(shù)求出關(guān)系式即可；（2）運(yùn)用三角關(guān)系式，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而來求最值即可.【小問1詳解】如圖，過A作于E,過B作于F,延長交于G.由于距離C，D兩點(diǎn)相等的一點(diǎn)P，則.根據(jù)題意，，，由等腰梯形性質(zhì)，知道,,在中,求得,且，則.在中,求得.故y關(guān)于x的關(guān)系式為：，即.在中，，且，則.并且,則.則y關(guān)于θ的關(guān)系式為：，即.【小問2詳解】用,求導(dǎo)得到.令，則，，則.當(dāng),,單調(diào)遞減；當(dāng),,單調(diào)遞增；故當(dāng)，y取得最小值.且綜上所得，當(dāng)時(shí),三條道路的總長度最小.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足，是邊上的點(diǎn)，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等變換可得，進(jìn)而可求；（2）由已知可得，計(jì)算可得，利用基本不等式可求面積的最大值.【小問1詳解】由，可得，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以，兩邊平方可得，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以所以面積的最大值為.19.已知函數(shù)，，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與有且只有兩條公切線；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）直線與相切于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，進(jìn)而可得，利用換元法得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)證明在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.（2）由函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得有兩個(gè)大于2且不等的實(shí)根，變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得有兩個(gè)實(shí)根，再換元利用方程有解可求的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，求導(dǎo)得，，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則切線斜率，直線與相切于點(diǎn)，則切線斜率，則，整理得，由題意可得：，消去可得：，令，則，則，可得，令，要證曲線與有且只有兩條公切線，即證在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)可得，可得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，，故在上有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的最小值為，又因?yàn)?，則，注意到趨近0時(shí)，趨近，趨近時(shí)，趨近，所以在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，故在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故原命題得證.【小問2詳解】由函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩個(gè)不等的實(shí)根，因?yàn)?，所以，所以，所以，即有兩個(gè)大于2且不等的實(shí)根，由，可得，所以，令，求導(dǎo)