上海市奉賢區(qū)2025屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題含答案

2024學(xué)年第一學(xué)期奉賢區(qū)高三學(xué)科質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（完卷時間120分鐘，滿分150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接寫結(jié)果，1~6題每個空格填對得4分，7~12題每個空格填對得5分．1．設(shè)全集，集合，則_______．2．若直線：與直線：互相垂直，則_______．3．已知，則不等式的解集為_______．4．設(shè)若，則_______．5．若，，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法共_______種．6．的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______．（用數(shù)字作答）7．已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______．8．在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為、，其中為虛數(shù)單位，則的大小為_______．9．、兩人下棋，每局兩人獲勝的可能性一樣．某一天兩人要進(jìn)行一場三局兩勝的比賽，最終勝者贏得100元獎金．第一局比賽勝，后因?yàn)橛衅渌轮兄贡荣悾疄榍蠊剑瑒t應(yīng)該分得______元獎金．10．申輝中學(xué)高一（8）班設(shè)計(jì)了一個“水滴狀”班徽的平面圖（如圖），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所圍成的弓形所組成，其中，劣弧所在的圓為三角形的外接圓，圓心為．已知，，外接圓的半徑是，則該圖形的面積為_______．（用含的表達(dá)式表示）11．上海市奉賢區(qū)奉城鎮(zhèn)的古建筑萬佛閣（左圖1）的屋檐下常系掛風(fēng)鈴（中間圖2），風(fēng)吹鈴動，悅耳清脆，亦稱驚鳥鈴．一般一個驚鳥鈴由銅鑄造而成，由鈴身和鈴舌組成．為了知道一個驚鳥鈴的質(zhì)量，可以通過計(jì)算該驚鳥鈴的體積，然后由物理學(xué)知識計(jì)算出該驚鳥鈴的質(zhì)量．因此我們需要作出一些合理的假設(shè)：假設(shè)1：鈴身且可近似看作由一個較大的圓錐挖去一個較小的圓錐；假設(shè)2：兩圓錐的軸在同一條直線上；假設(shè)3：鈴身內(nèi)部有一個掛鈴舌的部位的體積忽略不計(jì)．截面圖如下（右圖3），其中，，，則制作100個這樣的驚鳥鈴的鈴身至少需要_______千克銅．（銅的密度為）（結(jié)果精確到個位）12．已知集合，是由函數(shù)，的圖像上兩兩不相同的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,集合,其中、．若集合中的元素按照從小到大的順序排列能構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,當(dāng)時，計(jì)算符合條件的點(diǎn)集的個數(shù)為____________．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14選對每個得4分，15-16選對每個得5分，否則一律零分．13．在中，“”是“”的（

）A．充分非必要條件；B．必要非充分條件；C．充要條件；D．既非充分又非必要條件．14．函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)； B．函數(shù)定義域是；C．函數(shù)最大值；D．函數(shù)的最小正周期為．15．在四棱錐中，若，則實(shí)數(shù)組可能是（）A．； B．； C．；D．．16．已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項(xiàng)和為，．若對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱是“可控數(shù)列”．現(xiàn)給出兩個命題：①若各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列滿足：，則是“可控數(shù)列”；②若等比數(shù)列是“可控數(shù)列”，則其公比為．則下列判斷正確的是（

）A．①與②均為真命題；B．①與②均為假命題；C．①為假命題，②為真命題；D．①為真命題，②為假命題．三、解答題（第17~19題每題14分，第20~21題每題18分，滿分78分）17．已知函數(shù)，其中．（1）若函數(shù)的圖像過點(diǎn)，求關(guān)于的不等式的解集；（2）存在，使得數(shù)列、、是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行檢測，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）求頻率分布直方圖中的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）已知甲型芯片指標(biāo)在為航天級芯片，乙型芯片指標(biāo)在標(biāo)在為航天為航天級芯片．現(xiàn)分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在內(nèi)取4件，再從這6件中任取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率．19．如圖為正四棱錐，為底面的中心．（1）求證：∥面，平面⊥平面；（2）設(shè)為上的一點(diǎn)，．在下面兩問中選一個，若都選，只按第=1\*GB3①問閱卷，第=1\*GB3①問滿分5分，第=2\*GB3②問滿分7分=1\*GB3①若，求直線平面所成角的大?。?2\*GB3②已知平面與平面所成銳二面角的大小為，若，求的長．20．橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，的延長線分別交橢圓于點(diǎn)．（1）若橢圓的離心率，求的值；（2）若，，求；（3）若，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則當(dāng)時，判斷符合要求的直線有幾條，說明理由？21．若函數(shù)的圖像上存在個不同點(diǎn)、、、處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的一條點(diǎn)切線，該函數(shù)具有點(diǎn)切線性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)，的奇偶性并寫出它的一條點(diǎn)切線方程（無需理由）；（2）設(shè)，判斷函數(shù)是否具有點(diǎn)切線性質(zhì)，并說明理由；（3）設(shè)，證明：對任意的，函數(shù)具有點(diǎn)切線性質(zhì)，并求出所有相應(yīng)的切線方程.

參考答案一、填空題1．2．3．4．5．6．7．8．（或）9．10．11．120（119也可以）12．二、選擇題13．A14．C15．A16．D三、解答題（第17~19題每題14分，第20~21題每題18分，滿分78分）17．解：（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得：，因?yàn)?，所?…………2分因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格增函數(shù)，所以，…………3分解得或，所以原不等式的解集為.…………2分由題意，數(shù)列、、是等比數(shù)列，得：，…………2分即：，化簡得…………1分，所以…………1分因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格減函數(shù)，…………1分所以，所以的取值范圍是.…………2分若，化簡得的解法最多扣一分…1分18．解：（1）由題意，解得：.…………3分乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為………3分（2）由題意：甲型芯片根據(jù)分層抽樣取1件，取1件；……………2分乙型芯片根據(jù)分層抽樣取3件，取1件.……………2分從6件中任取2件的情況有……………2分則至少有一件為航天級芯片的概率為.……………2分19．解：（1）證明：∥，平面，不在平面內(nèi)，…………2分由線面平行判定定理得∥面…………1分由題意：四棱錐為正四棱錐，為底面的中心所以底面，所以，…………1分，又因?yàn)椋ㄟ@一步必需有）…………1分由線面垂直的判定定理得平面…………1分又因?yàn)槠矫嫠杂擅婷娲怪钡呐卸ǘɡ淼闷矫嫫矫?…………1分（2）選=1\*GB3①若，求直線與面所成角的大?。桑?）知道平面，點(diǎn)在上，所以面與面是同一個平面連，則是直線與面所成的角……………1分，可以計(jì)算，可以計(jì)算，可以得到，利用余弦定理得：……………3分所以直線與面所成角的大小…………1分選=2\*GB3②已知平面與平面所成銳二面角的大小為，，可以計(jì)算…………1分在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)根據(jù)底面得，所以∥…………1分所以底面…………1分過點(diǎn)作交于點(diǎn)連，根據(jù)三垂線定理得到：…………1分是平面與平面所成的二面角的平面角…………1分，可以得到，所以平面…………1分…………1分，可以計(jì)算…………1分在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)根據(jù)底面得，所以∥…………1分所以底面…………1分過點(diǎn)作交于點(diǎn)連，根據(jù)三垂線定理得到：…………1分是平面與平面所成的二面角的平面角…………1分，可以得到，所以平面…………1分…………1分第（2）問另解：如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.選=1\*GB3①若，求直線與面所成角的大?。c(diǎn)，點(diǎn)因?yàn)?，………?分由（1）可得平面所以平面的一個法向量…………1分所以…………2分所以直線與面所成角的大小…………1分若選=2\*GB3②已知平面與平面所成二面角的大小為點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)因?yàn)?，得………?分易得，設(shè)平面的一個法向量為得：，求得：…………2分又平面的一個法向量為所以，…………2分又因?yàn)槠矫媾c平面所成二面角的大小為所以，解得…………1分…………1分20．解：（1）橢圓的離心率…………2分所以…………2分（2）顯然直線的斜率是存在的，…………1分…………1分直線，過點(diǎn)的直線方程為，……1分它與橢圓聯(lián)立得到，……1分…………1分…………1分時，橢圓方程為斜率不存在時，過任意點(diǎn)的唯一的直線：與橢圓交于、兩點(diǎn)坐標(biāo)，此時恒成立…………………2分斜率存在時，設(shè)過任意點(diǎn)的直線的方程為聯(lián)立它與橢圓聯(lián)立得到……………1分…………………1分時，方程方程無解…………………1分時，當(dāng)時，存在直線斜率為的直線，使得使得………………1分當(dāng)時，即存在的兩條直線，使得………1分所以：存在3條直線，使得存在2條直線，使得………1分或存在1條直線，使得21．解：（1）函數(shù)，是偶函數(shù)…………2分其一條點(diǎn)切線方程為：…………2分（2）因?yàn)?，所?…………2分記，則由，知函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù).…