《計算機電子電路技術(shù)-電路與模擬電子部分》課件第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

第4章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.1正弦信號的基本概念4.2正弦信號的相量表示4.3基本元件VAR和基爾霍夫定律的相量形式4.4相量模型4.5相量法分析4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.7諧振電路4.8三相電路4.1正弦信號的基本概念4.1.1正弦信號的三要素正弦信號的大小與方向都是隨時間作周期性變化的，信號在任一時刻的值，稱為瞬時值。在指定的參考方向下，正弦電流、電壓的瞬時值可表示為

i(t)=Imsin(ωt+θi)(4―1)u(t)=Umsin(ωt+θu)(4―2)

現(xiàn)以i(t)為例，說明正弦信號的三要素。

式(4―1)中，Im是正弦信號在整個變化過程中可能達到的最大幅值，稱為振幅或最大值。(ωt+θi)是正弦信號的相位，t=0時的相位θi稱為初相位，簡稱初相，單位是弧度(rad)或度(°)。通常規(guī)定初相在|θi|≤π范圍內(nèi)取值。一個正弦信號，若與時間軸原點間隔最近的正向(信號值由負到正)過零點位于原點左側(cè)時，θi＞0；否則，θi≤0。ω=d(ωt+θi)/dt稱為角速度或角頻率，單位是弧度/秒(rad/s),它表示正弦信號變化的快慢程度。

式(4―1)表明，若知道了正弦信號的振幅、角頻率和初相，就能完全確定它隨時間變化的全過程，所以常稱振幅、角頻率和初相為正弦信號的三要素。由于正弦信號變化一周，其相位變化2π弧度，因此，角頻率ω也可表示為(4―3)

式中T為正弦信號的周期，單位是秒(s)。f為頻率，單位是赫茲(Hz)。當(dāng)頻率很高時，常用千赫茲(kHz)或兆赫茲(MHz)作單位，其轉(zhuǎn)換關(guān)系是

1MHz=103kHz=106Hz

正弦電流i(t)的波形圖如圖4.1所示。圖4.1(a)中橫坐標(biāo)變量是時間t;圖4.1(b)中橫坐標(biāo)變量是ωt。圖4.1正弦電流的波形4.1.2相位差正弦信號經(jīng)過微分、積分運算或幾個同頻率正弦信號相加、相減運算后的結(jié)果仍是同頻率的正弦信號。因而在相同頻率的正弦信號激勵下，線性非時變電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都是同頻率的正弦信號。兩個同頻率正弦信號在任一時刻的相位之差稱為相位差。假設(shè)同頻率的正弦電流和電壓為

i(t)=Imsin(ωt+θi)u(t)=Umsin(ωt+θu)

則其相位差

θ=(ωt+θi)-(ωt+θu)=θi-θu

如果θ=θi-θu＞0，如圖4.2(a)所示，則表示隨著t的增加，電流i要比電壓u先到達最大值或最小值。這種關(guān)系稱i超前于u或u滯后于i,其超前或滯后的角度都是θ；如果θ＜0,如圖4.2(b)所示，則結(jié)論恰好與上面情況相反。

圖4.2相位差

如果θ＜0,如圖4.2(b)所示，則結(jié)論恰好與上面情況相反。如果θ=0，則稱i與u同相。如圖4.2(c)所示，表示i與u同時達到最小值、零值與最大值。如果θ=±π，則稱i與u反相。此時，如圖4.1(d)所示，當(dāng)i達到最大值時，u卻為最小值，反之亦然。

例1已知正弦電流i1、i2和正弦電壓u3分別為

i1(t)=5sin(ωt+30°)Ai2(t)=-10sin(ωt+45°)AU3(t)=15cos(ωt+60°)V

試比較i1與i2、i1與u3間的相位關(guān)系。

解比較兩個正弦信號的相位關(guān)系時，除要求它們的頻率或角頻率相同外，還應(yīng)注意信號的函數(shù)類型為正弦函數(shù)，以及瞬時表達式前面負號對相位的影響。由于

i2(t)=-10sin(ωt+45°)=10sin(ωt-135°)u3(t)=15cos(ωt+60°)=15sin(ωt+150°)

所以，i1與i2間的相位差為

θ12=30°-(-135°)=165°i1與u3間的相位差為

θ13=30°-150°=-1204.1.3有效值為了直觀地比較正弦信號的大小，研究它們在電路中的平均效果，我們引入有效值的概念。先定義一般周期信號的有效值。設(shè)有兩個相同的電阻，分別通以周期電流和直流電流。如果在一周期內(nèi)，兩個電阻消耗的能量相同，就稱該直流電流值為周期電流的有效值。當(dāng)周期電流i通過電阻R時，一周期內(nèi)電阻消耗的電能為

式中T為周期信號的周期。當(dāng)直流電流I通過電阻R時，在相同時間T內(nèi)，電阻消耗的電能為

WI=RI2T

然后，令Wi=WI,則有

于是，周期電流i的有效值為(4―4)

因為正弦電流是周期電流，所以可直接應(yīng)用式(4―4)求出它的有效值。設(shè)正弦電流

i(t)=Imsin(ωt+θi)

將它代入式(4―4),得(4―5)

同樣地，可求得正弦電壓u=Umsin(ωt+θu)的有效值為

在電工技術(shù)中，通常用有效值表示交流電的大小。例如交流電壓220V、交流電流50A，其電流電壓值都是有效值。各種交流電氣設(shè)備銘牌上標(biāo)出的額定值及交流儀表的指示值也都是有效值。

例2已知正弦電壓源的頻率為50Hz，初相為π6弧度，由交流電壓表測得電源開路電壓為220V。求該電源電壓的振幅、角頻率，并寫出其瞬時值表達式。解因為,所以電源電壓瞬時值表達式為4.2正弦信號的相量表示4.2.1復(fù)數(shù)及其運算在數(shù)學(xué)中，一個復(fù)數(shù)A可以表示成代數(shù)型、指數(shù)型或極型，即

A=a1+ja2(代數(shù)型)=aejθ(指數(shù)型)=a∠θ(極型)(4―7)

式中為復(fù)數(shù)單位；a1和a2分別為復(fù)數(shù)A的實部和虛部；a和θ分別是A的模和輻角。復(fù)數(shù)A也可以表示為復(fù)平面上的一個點或由原點指向該點的有向線段(矢量)，如圖4.3所示。由圖可知，復(fù)數(shù)代數(shù)型與指數(shù)型(或極型)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(4―8)和(4―9)

兩個復(fù)數(shù)相等時，其實部和虛部分別相等，或模和輻角分別相等。兩個復(fù)數(shù)相加(減)等于把它們的實部和虛部分別相加(減)。例如，若A=a1+ja2,B=b1+jb2,則

A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)(4―10)

兩個復(fù)數(shù)相乘(除)等于將它們的模相乘(除)、輻角相加(減)。例如，若

(4―11)4.2.2正弦信號的相量表示我們知道，正弦信號由振幅、角頻率和初相三個要素確定。由于在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各處的電流和電壓都是正弦信號，并且它們的角頻率與正弦電源的角頻率相同，因此，在進行正弦穩(wěn)態(tài)電路分析時，對于正弦電流、電壓的振幅和初相，是我們最為關(guān)心的兩個要素。為了簡化分析，現(xiàn)在以電流為例，介紹正弦信號的相量表示。根據(jù)歐拉公式，可將復(fù)指數(shù)函數(shù)

表示為

注意上式中的虛部即為正弦電流的表達式，于是有(4―12)式中(4―13)

式(4―13)中復(fù)數(shù)的模和輻角恰好分別對應(yīng)正弦電流的振幅和初相。在此基礎(chǔ)上，再考慮已知的角頻率，就能完全表示一個正弦電流。像這樣能用來表示正弦信號的特定復(fù)數(shù)稱為相量，并在符號上方標(biāo)記圓點“·”，以與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別。稱為電流相量，把它表示在復(fù)平面上，稱為相量圖，如圖4.4所示。圖4.4相量圖圖4.5旋轉(zhuǎn)相量

同樣地，正弦電壓可表示為(4―14)稱為電壓相量。由于正弦信號振幅是有效值的2倍，故有(4―15)

分別稱為電流、電壓的有效值相量，相應(yīng)地，將和分別稱為電流和電壓的振幅相量。顯然，振幅相量是有效值相量的倍。式中(4―16)

必須指出，正弦信號是代數(shù)量，并非矢量或復(fù)數(shù)量，所以，相量不等于正弦信號。但是，它們之間有相互對應(yīng)關(guān)系，即(4―17)或(4―18)

因此可以采用相量表示正弦信號。式(4―17)和(4―18)中，雙向箭頭符號“

”表示正弦信號與相量之間的對應(yīng)關(guān)系。下面介紹幾個正弦信號與相量之間的對應(yīng)規(guī)則。為了敘述方便，設(shè)正弦信號A(t)、B(t)與相量的對應(yīng)關(guān)系為(4―19)1.唯一性規(guī)則對所有時刻t,當(dāng)且僅當(dāng)兩個同頻率的正弦信號相等時，其對應(yīng)相量才相等。即(4―20)證明由于A(t)=B(t),所以有(4―21)式(4―21)對所有時刻t均成立。令t=0，有求得

當(dāng)令t=π/2ω時，,代入式(4―21)有或?qū)懗汕蟮糜谑怯蟹粗?，?則有

根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，可得也就是

故式(4―20)成立。它表明正弦信號與相量之間是一一對應(yīng)的。2.線性規(guī)則若K1和K2均為實常數(shù)，且則(4―22)證明設(shè)由于

所以，線性規(guī)則成立。一般而言，若干個正弦信號線性組合后的相量等于各正弦信號對應(yīng)相量的同一線性組合。作為一種特殊情況，在式(4―22)中，令K2=0,則有

表明正弦信號數(shù)乘K1后的相量等于原正弦信號對應(yīng)的相量數(shù)乘K1。3.微分規(guī)則若則(4―23)證明因為

例3已知電壓u1=4sin(ωt+60°)V,u2=6sin(ωt+135°)V和u3=8sin(ωt-60°)V。試寫出各電壓的振幅相量，并畫出相量圖。解設(shè)正弦電壓u1、u2和u3的振幅相量分別為,則圖4.6電壓相量圖

例4部分電路如圖4.7(a)所示，已知試求電流i。圖4.7例4圖

解由已知條件可得根據(jù)KCL，有

設(shè)正弦電流i的有效值相量為，則由線性和唯一性規(guī)則可得

因此，正弦電流i的表達式為

各電流的有效值相量如圖4.7(b)所示。圖中清楚地反映了各相量之間模及幅角或各正弦量之間振幅及初相的關(guān)系。4.3基本元件VAR和基爾霍夫定律

的相量形式4.3.1基本元件VAR的相量形式

1.電阻元件如圖4.8(a)所示，設(shè)電阻R的端電壓與電流采用關(guān)聯(lián)參考方向。當(dāng)正弦電流

通過電阻時，由歐姆定律可知電阻元件的端電壓為(4―24)

式中U和θu是電壓u的有效值和初相。上式表明，電阻元件的電流、電壓是同頻率的正弦量，兩者的有效值滿足U=RI，而初相是相同的。電流、電壓波形如圖4.8(b)所示。圖4.8電阻元件的i-u關(guān)系

設(shè)正弦電流i和電壓U對應(yīng)的有效值相量分別為和，即

,

，則根據(jù)4.2節(jié)線性規(guī)則和唯一性規(guī)則，式(4―24)對應(yīng)的相量表達式為(4―25)

該式表明了電阻R的電流、電壓相量關(guān)系，稱為電阻元件VAR的相量形式。將式(4―25)中的相量表示成指數(shù)型，可得

按照復(fù)數(shù)相等定義，上式等號兩邊復(fù)數(shù)的模及幅角分別相等，即(4―26)圖4.9電阻元件的關(guān)系

顯然，上述結(jié)果與式(4―24)表明的結(jié)論是完全一致的。根據(jù)式(4―25)畫出的電阻元件模型如圖4.9(a)所示。它以相量形式的伏安關(guān)系描述電阻元件特性，故稱為相量模型。電阻元件電流、電壓相量圖如圖4.9(b)所示。2.電感元件設(shè)電感L的端電壓與電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，如圖4.10(a)所示。當(dāng)正弦電流通過電感時，其端電壓為(4―27)

式中U和θu分別為電感電壓的有效值和初相。由式(4―27)可知電感電壓和電流是同頻率的正弦量，其波形如圖4.10(b)所示。若設(shè)電感電流、電壓與有效值相量的對應(yīng)關(guān)系為

則根據(jù)4.2節(jié)中的微分、線性和唯一性規(guī)則，可得式(4―27)的相量表達式為(4―28)圖4.10電感元件的i-U關(guān)系

該式稱為電感元件VAR的相量形式。它同時體現(xiàn)了電感電流、電壓之間的有效值關(guān)系和相位關(guān)系。因為式(4―28)可以寫為

根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的定義，可得(4―29)(4―30)圖4.11電感元件的關(guān)系3.電容元件設(shè)電容元件C，其電壓、電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，如圖4.12(a)所示。當(dāng)電容端電壓為u(t)=Usin(ωt+θu)時，通過C的電流為(4―31)

式中I和θi分別是電容電流的有效值和初相。式(4―31)表明，電容電壓、電流是同頻率的正弦量，其波形圖如圖4.12(b)所示。圖4.12電容元件的i-u關(guān)系

如果電容電壓、電流與相量之間的對應(yīng)關(guān)系為

則由4.2節(jié)中的微分、線性和唯一性規(guī)則，可得式(4―31)的相量表示式(4―32)(4―33)

式(4―32)和(4―33)稱為電容元件VAR的相量形式。若將式(4―33)中的電流、電壓相量表示成指數(shù)型，即則由復(fù)數(shù)相等定義，可得(4―34)和(4―35)

式(4―34)表明，對于給定的電容C，當(dāng)U一定時，ω愈高，電容進行充放電的速率愈快，單位時間內(nèi)移動的電荷量愈大，故I就愈大，表示電流愈容易通過。反之，ω愈低，電流將愈不容易通過。在直流情況下，ω=0,I=0，電容相當(dāng)于開路，所以，電容元件具有隔直流的作用。由式(4―35)可知，電容電壓的相位滯后電流90°。根據(jù)式(4―33)畫出電容元件的相量模型如圖4.13(a)所示。電容中電流、電壓的相量圖如圖4.13(b)所示。圖4.13電容元件的關(guān)系4.3.2KCL、KVL的相量形式

KCL指出：對于集總參數(shù)電路中的任意節(jié)點，在任一時刻，流出(或流入)該節(jié)點的所有支路電流的代數(shù)和恒為零。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路電流都是同頻率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示為(4―36)

式中n為匯于節(jié)點的支路數(shù)，ik為第k條支路的電流。設(shè)正弦電流ik對應(yīng)的相量為,即

根據(jù)4.2節(jié)線性規(guī)則和唯一性規(guī)則，可得式(4―36)對應(yīng)的相量關(guān)系表示為或(4―37)

這就是KCL的相量形式。它表明，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對任一節(jié)點，各支路電流相量的代數(shù)和恒為零。同理，對于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任一回路，KVL的相量形式為(4―３８)或

例5電路如圖4.14(a)所示。已知R=5Ω，L=5mH,C=100μF，Uab(t)=sin103tV。求電壓源電壓us(t)，并畫出各元件電流、電壓的相量圖。圖4.14例5用圖

解電壓Uab的有效值相量為

根據(jù)R、C元件VAR的相量形式，得

由KCL得由電感元件VAR相量形式，求得根據(jù)KVL，可得電壓源電壓

所以各元件電流、電壓相量圖如圖4.14(b)所示。4.4相量模型4.4.1阻抗與導(dǎo)納由上節(jié)討論可知，在電流、電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向的條件下，三種基本元件VAR的相量形式是(4―39)如用振幅相量表示，則為(4―40)

下面我們討論正弦穩(wěn)態(tài)時一般無源二端電路VAR的相量表示。設(shè)無源二端電路如圖4.15(a)所示，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，端口電流和電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向。我們定義無源二端電路端口電壓相量與電流相量之比為該電路

(4―41)圖4.15阻抗與導(dǎo)納

顯然，阻抗的量綱為歐姆(Ω)。將式(4―41)中的相量表示成指數(shù)型，可得(4―42)

式中R和X分別稱為阻抗的電阻和電抗；|Z|和φz分別稱為阻抗的模和阻抗角。它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(4―43)

式(4―43)表明，無源二端電路的阻抗模等于端口電壓與端口電流的有效值之比，阻抗角等于電壓與電流的相位差。若φz＞0,表示電壓超前電流，電路呈電感性；φz＜0，電壓滯后電流，電路呈電容性；φz=0時，電抗為零，電壓與電流同相，電路呈電阻性。將式(4―41)改寫為(4―44)或

上式與電阻電路中的歐姆定律相似，故稱為歐姆定律的相量形式。根據(jù)式(4―44)畫出的相量模型如圖4.15(b)所示。比較式(4―39)與(4―44)可得基本元件R、L和C的阻抗分別為(4―45)

它們是阻抗的特殊形式。其中(4―46)

上式中XL是電感的電抗，XC是電容的電抗，分別簡稱為感抗和容抗。它們隨角頻率變化的曲線如圖4.16(a)、(b)所示，分別稱為XL和XC的頻率特性曲線。圖4.16XL和XC的頻率特性曲線

我們把阻抗的倒數(shù)定義為導(dǎo)納，記為Y，即(4―47)或(4―48)

導(dǎo)納的量綱為西門子(S)。同樣將上式中的電流、電壓相量表示成指數(shù)型，可得(4―50)

將式(4―48)改寫為或(4―51)

該式也常稱為歐姆定律的相量形式。它的相量模型如圖4.15(c)所示。比較式(4―40)與(4―51)可知，元件R、L和C的導(dǎo)納分別為(4―52)式中(4―53)4.4.2正弦電源相量模型如果一個獨立電壓源Us(t)的輸出電壓為正弦電壓，即

就稱其為正弦電壓源。式中Us、ω和θu分別為正弦電壓us的有效值、角頻率和初相。圖4.17正弦電源的相量模型

同樣，如果一個獨立電流源is(t)的輸出電流為正弦電流，即

就稱它為正弦電流源。上式中Is、ω和θi分別表示正弦電流的有效值、角頻率和初相。正弦電流源的相量模型如圖4.17(b)所示，圖中為正弦電流is對應(yīng)的有效值相量，箭頭方向表示其參考方向。

通常，把正弦電壓源和正弦電流源統(tǒng)稱為正弦獨立源，或簡稱為正弦電源。對于受控電源，應(yīng)用與正弦電源類似的定義方法，可以得到正弦穩(wěn)態(tài)情況下的正弦受控源，這里不再一一贅述，僅給出它們的相量模型如圖4.18所示。圖4.18正弦受控源的相量模型圖4.18正弦受控源的相量模型4.4.3正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型在前面幾章使用的電路模型中，涉及的電流和電壓都是時間域變量，故稱為時域模型。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，如果把時域模型中的電源元件用相量模型代替，無源元件用阻抗或?qū)Ъ{代替，電流、電壓均用相量表示(其參考方向與原電路相同)，這樣得到的電路模型稱為相量模型。例如，對于圖4.19(a)給出的正弦穩(wěn)態(tài)電路(時域模型)，設(shè)正弦電壓源角頻率為ω，其相量模型如圖4.19(b)所示。容易看出，相量模型與時域模型具有相同的電路結(jié)構(gòu)。

圖4.19時域模型和相量模型4.4.4阻抗和導(dǎo)納的串、并聯(lián)下面給出阻抗和導(dǎo)納串、并聯(lián)的有關(guān)結(jié)論，其證明方法與電阻電路相似，這里不再重復(fù)。設(shè)阻抗Z1=R1+jX1,Z2=R2+jX2;導(dǎo)納Y1=G1+jB1,Y2=G2+jB2。則當(dāng)兩個阻抗Z1和Z2串聯(lián)時，其等效阻抗Z為

Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2)(4―54)

分壓公式為(4―55)

式中為兩個串聯(lián)阻抗的總電壓相量。當(dāng)兩個導(dǎo)納Y1和Y2并聯(lián)時，其等效導(dǎo)納Y為

Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2)(4―56)

分流公式為(4―57)式中為通過并聯(lián)導(dǎo)納的總電流相量。當(dāng)兩個阻抗Z1、Z2相并聯(lián)時，它的等效阻抗Z為(4―58)其分流公式為(4―59)

對于同一無源電路，如圖4.20(a)所示，我們既可以把它等效成由電阻R和電抗X串聯(lián)組成的阻抗Z，如圖(b)所示；也可以將它等效成由電導(dǎo)G和電納B并聯(lián)組成的導(dǎo)納Y，如圖(c)所示。圖4.20阻抗與導(dǎo)納的等效轉(zhuǎn)換

顯然，阻抗Z與導(dǎo)納Y也是互為等效的，R、X與G、B之間滿足一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。若將阻抗等效轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納，由式(4―47)可得式中(4―60)同樣地，將導(dǎo)納等效轉(zhuǎn)換為阻抗時，有式中(4―61)圖4.21例6電路

例6RC串聯(lián)電路如圖4.21(a)所示，已知R=20Ω，C=2μF,電源角頻率ω=104Rad/s。要求將它等效成R′C′并聯(lián)電路，如圖(b)所示，試求R′和C′。解先計算圖(a)電路的阻抗。因為所以該電路的導(dǎo)納為即于是

例7如圖4.22(a)電路，已知R=10Ω，

L=50mH,R=50Ω，C=20μF,電源

us(t)=100sin(103t)V。求電路的等效阻抗和各支路的電流，并畫出電流相量圖。解電壓源相量和jXL、jXC分別為圖4.22例7電路

電路的相量模型如圖(b)所示。設(shè)R、L串聯(lián)支路的阻抗為ZrL,R、C并聯(lián)電路的阻抗為ZRC,可得電路總阻抗Z為

電路總電流由并聯(lián)電路分流公式，求得R、C支路電流圖4.23電流相量圖4.5相量法分析例8節(jié)點法。電路的相量模型如圖4.24所示，求各

圖4.24例8電路

解電路中含有一個獨立電壓源支路，可選擇連接該支路的節(jié)點4為參考點，這時節(jié)點1的電位是一已知量，從而用節(jié)點法分析時可少列一個方程。設(shè)節(jié)點2、3的電位為，列出相應(yīng)的節(jié)點方程為節(jié)點2:節(jié)點3:

將代入節(jié)點2方程，并整理得計算方程組的系數(shù)行列式故解得

例9網(wǎng)孔法。電路如圖4.25(a)所示，已知

us=10sin103tV,求電流i1、i2和電壓uab。

圖4.25例9電路

解畫出電路相量模型如圖(b)所示。圖中

設(shè)網(wǎng)孔電流如圖(b)所示。將電路中受控源看成大小為的獨立電壓源，列出網(wǎng)孔方程網(wǎng)孔1:網(wǎng)孔2:(4―62)(4―63)

由于受控源控制變量未知，故需增加一個輔助方程

(4―64)

將該式代入式(4―63)，整理后與式(4―62)聯(lián)列成如下方程組(4―65)由于故式(4―65)方程組解為

電感支路電流

電感支路電壓因此

例10等效電源定理。電路相量模型如圖4.26(a)所示

，求負載電阻RL上的電壓。

圖4.26例10電路

圖4.26例10電路

解將負載RL斷開，電路如圖(b)所示。由于電阻與電容的并聯(lián)阻抗為故開路電壓與等效內(nèi)阻抗分別為畫出戴維南等效電路如圖(c)所示。由圖求得

例11交流電橋工作原理。圖4.27(a)是交流電橋的組成電路，a、b端接正弦電源,c、d端接平衡指示器毫伏表，阻抗Z1、Z2、Z3和Zx是電橋的四個臂。電橋工作時，調(diào)整橋臂阻抗，若毫伏表指示為零，稱電橋平衡。利用電橋平衡條件，可以用來測量阻抗參數(shù)。斷開毫伏表支路，則其余部分電路是一單口電路，如圖4.27(b)所示。在外接電壓源作用下，開路電壓(4―66)圖4.27交流電橋

根據(jù)等效電源定理，若,則連接毫伏表支路后，毫伏表指示為零，此時電橋平衡。由式(4―66)可知，電橋平衡條件是(4―67)或表示為(4―68)

式(4―67)是一復(fù)數(shù)方程，它包含了兩個條件，即要求方程兩端的實部和虛部(或模和輻角)同時相等。因此，實際使用時，至少應(yīng)調(diào)節(jié)兩個元件參數(shù)才能使電橋達到平衡。適當(dāng)選擇橋臂阻抗性質(zhì)，可得到不同測量用途的電橋。例如，圖4.27(c)所示電橋，常用來測量電感元件參數(shù)，稱為麥克斯韋電橋。其中Rx和Lx表示待測電感元件的等效電阻和電感量。R2和R3為電阻元件，其阻值已知，R1和C1為調(diào)節(jié)元件。將各元件參數(shù)代入式(4―68),得

根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，可得(4―69)

使用時，將待測電感接入ZX支路，反復(fù)調(diào)整R1和C1，使毫伏表指示為零，此時電橋平衡，讀出R1和C1值并由式(4―69)計算出電感元件的電感量和等效電阻。4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.6.1單口電路的功率單口電路N如圖4.28(a)所示，其端口電流i、電壓U采用關(guān)聯(lián)參考方向。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，設(shè)端口電流、電壓為(4―71)

式中φ=θu-θi是端口電壓與電流的相位差。在任一時刻t,電路N的吸收功率

p(t)=u(t)i(t)=2UIsin(ωt+θi)sin(ωt+φ+θi)=UIcosφ-UIcos(2ωt+2θi+φ)=UIcosφ+UI［sinφsin2(ωt+θi)-cosφcos2(ωt+θi)］(4―72)

畫出i、u和p的波形如圖(b)所示。由圖可見，隨電流i和電壓u的變化，瞬時功率p(t)有時為正，有時為負。當(dāng)u＞0,i＞0或u＜0,i＜0時，p(t)＞0,說明在此時電路N從外電路吸收功率；當(dāng)u＞0,i＜0或u＜0,i＞0時，p(t)＜0,此時電路N向外電路發(fā)出功率。圖4.28單口電路的正弦穩(wěn)態(tài)功率1.平均功率P

單口電路的平均功率也稱有功功率，它是瞬時功率在一周期內(nèi)的平均值，即(4―73)

式中T為正弦電流(或電壓)的周期。由上式可見，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，平均功率除與電壓、電流的有效值有關(guān)外，還與電壓、電流的相位差有關(guān)。平均功率的單位是瓦(W)。

如果電路N為無源電路，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，可將它等效成阻抗Z，此時電壓、電流相位差φ等于阻抗角φz,式(4―73)可寫為(4―74)(4―75)(4―76)式中2.無功功率Q

為了描述單口電路內(nèi)部與外電路交換能量的規(guī)模，我們定義式(4―72)中正弦項UIsinφsin2(ωt+θi)的最大值為無功功率，即(4―77)無功功率的單位是(V·A)。如果電路N為無源電路，φ=φZ，則式(4―77)可寫為(4―78)

顯然，對于電阻性電路N，φz=0,Q=0,表示N與外電路沒有發(fā)生能量互換現(xiàn)象，流入N的能量全部被電阻消耗；N為電感性電路時，φz＞0,Q＞0;N為電容性電路時，φz

＜0,Q＜0。后兩種情況中，Q≠0，表示電路N與外電路之間存在能量互換現(xiàn)象。

3.復(fù)功率工程上為了計算方便，將有功功率P與無功功率Q組成復(fù)功率，用表示，其定義為

(4―79)將式(4―73)和(4―77)代入上式，可得(4―80)(4―81)(4―82)

例12圖4.29(a)所示負載電路接在220V，50HZ的正弦電源上。已知R1=50Ω，R2=2Ω，L=10mH。

(1)求負載電路的平均功率、無功功率、視在功率、功率因數(shù)和電源電流；

(2)若功率因數(shù)λ＜0.85,則應(yīng)在負載電路a、b端并接多大電容C，才能使功率因數(shù)提高到0.85?并計算此時的電源電流(要求保持負載電路平均功率不變)。圖4.29例12用圖

解(1)畫出電路相量模型如圖4.29(b)所示。設(shè)電源=220∠0°的共軛值為復(fù)功率所以電路的平均功率、無功功率和視在功率分別為電路功率因數(shù)(2)設(shè)電路并接電容后的功率因數(shù)角為φ′z,總電流為，則

由P=UI′cosφ′z可得根據(jù)相量圖4.29(c)，求得電容電流由于所以4.6.2最大功率傳輸條件如圖430(a)所示，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，一個有源單口電路向等效阻抗為ZL的負載傳輸功率。根據(jù)戴維南定理，圖4.30(a)電路可等效為圖4.30(b)的電路。圖4.30最大功率傳輸條件

設(shè)等效電源的電壓相量為,等效內(nèi)阻抗為Zs=Rs+jXs,負載阻抗ZL=RL+jXL?，F(xiàn)在討論負載阻抗?jié)M足什么條件時才能從給定等效電源獲得最大功率。由圖4.30(b)可知，電路中的電流(4―83)其有效值為(4―84)負載吸收功率

在式(4―84)中，若RL一定，僅調(diào)節(jié)XL，那么當(dāng)Xs+XL=0，即

XL=-Xs

時，PL有極大值，其值為(4―85)

在XL=-Xs條件下，再調(diào)節(jié)RL,使負載獲得最大功率。為此，將式(4―85)對RL求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得

時負載獲得最大功率。綜合上述兩種情況，若RL和XL均可調(diào)節(jié)時，負載吸收最大功率，或電路傳輸最大功率的條件為或(4―86)

可見，當(dāng)負載阻抗等于電源內(nèi)阻抗的共軛值時，負載獲得最大功率，稱為最大功率匹配或共軛匹配。將式(4―86)代入式(4―84)，求得最大功率為(4―87)

例13電路如圖4.31(a)所示，試問ZL為何值時能獲得最大功率，最大功率為多少?

解將圖(a)中除ZL以外的部分等效成戴維南電路，如圖4.31(b)中的虛線方框所示。由4.5節(jié)例10分析結(jié)果可知

根據(jù)最大功率傳輸條件，當(dāng)負載ZL為時可得最大吸收功率。其最大功率值為圖4.31例13電路4.7諧振電路4.7.1串聯(lián)諧振電路

RLC串聯(lián)電路如圖4.32(a)所示，設(shè)圖中正弦電壓源的角頻率為ω、初相為零。串聯(lián)電路的等效阻抗為(4―88)式中(4―89)電路中電流(4―90)其模和初相為(4―91)

此時，電路呈電阻性，與同相，我們稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。式(4―92)是電路發(fā)生串聯(lián)諧振的條件。根據(jù)式(4―92)諧振條件，可得(4―92)(4―93)圖4.32串聯(lián)諧振圖4.33|Z|、X及I隨ω的變化曲線

在上面討論中，我們保持電路參數(shù)不變，即ω0一定，通過改變電源角頻率ω，使之與ω0相等，電路產(chǎn)生諧振。實際上，若固定電源角頻率ω，調(diào)節(jié)電路參數(shù)L或C，ω0發(fā)生變化，使ω0=ω,則電路也會發(fā)生諧振。串聯(lián)諧振電路具有以下特點：

(1)諧振時，電抗X=0,故電路阻抗(4―94)電路呈電阻性。阻抗模達最小。(2)由式(4―90)可知，諧振時電路電流(4―95)(3)諧振時電路元件上電壓(4―96)

在電子技術(shù)中，常用串聯(lián)諧振電路選擇特定頻率的信號并輸出較高的電壓。例如，收音機的天線輸入回路就是一個由線圈(其電感為L，電阻為R)與可調(diào)電容C組成的串聯(lián)等效電路，如圖4.34所示。圖4.34收音機的輸入電路

例14收音機輸入回路的等效電路如圖4.35所示。已知線圈電阻R=8Ω，線圈電感L=0.3mH，C為可調(diào)電容。U1(f1)、U2(f2)分別是中央人民廣播電臺(f1=560kHZ)和西安人民廣播電臺(f2=790kHZ)廣播信號在輸入回路中的等效信號源。求

(1)計算收音機接收到中央人民廣播電臺信號時電容C的大小。若信號源U1(f1)為1.5μV，計算它在電容上產(chǎn)生的電壓UC1。

(2)保持(1)中的C值不變，且設(shè)U2(f2)=1.5μV，計算U2(f2)在電容上產(chǎn)生的電壓UC2。

圖4.35

解(1)串聯(lián)諧振時，，所以收音機接收中央人民廣播電臺時電容C的值為電路諧振電流電容上電壓(2)對于信號U2(f2)而言，輸入電路工作在非諧振狀態(tài)，可應(yīng)用相量法計算出電容上的輸出電壓。因為信號U2(f2)的頻率f2=790kHZ,故有4.7.2并聯(lián)諧振電路

RLC并聯(lián)電路如圖4.36(a)所示。圖中正弦電流源的角頻率為ω，設(shè)其電流相量的初相為零。

圖4.36并聯(lián)諧振電路

并聯(lián)電路的等效導(dǎo)納為(4―97)式中

當(dāng)電納B=0時，電路端電壓與電流源電流同相，稱電路發(fā)生并聯(lián)諧振。滿足B=0的角頻率稱為并聯(lián)諧振電路的諧振角頻率，記為ω0。根據(jù)B=0，可得(4―98)

該式稱為并聯(lián)電路的諧振條件。從諧振條件可得并聯(lián)諧振電路的諧振角頻率為或(4―99)RLC并聯(lián)電路諧振時有以下特點：(1)由式(4―97)可見，諧振時并聯(lián)電路導(dǎo)納(4―100)其值最小，且為純電導(dǎo)。若轉(zhuǎn)換為阻抗，即(4―101)(2)由圖4.36(a)，可知諧振時電路端電壓(4―102)其數(shù)值達最大值，且與電流源同相位。

圖4.37(3)并聯(lián)電路諧振時各支路電流(4―103)

可見，并聯(lián)電路諧振時，激勵源電流全部流經(jīng)電導(dǎo)支路。電容與電感支路電流大小相等，相位相反，在LC回路中形成量值為激勵源電流的ω0CR倍的回路電流，所以，并聯(lián)諧振又稱電流諧振。諧振時各支路電流相量如圖4.36(b)所示。另一種常見的并聯(lián)諧振電路如圖4.38(a)所示，其中R是電感線圈的損耗電阻。圖4.38另一種并聯(lián)諧振電路設(shè)正弦電流源的角頻率為ω，則并聯(lián)電路導(dǎo)納

在實際應(yīng)用中，損耗電阻值較小，通常滿足R2

(ωL)2條件，故上式可近似為(4―104)(4―105)

滿足式(4―105)的角頻率就是電路的諧振角頻率，記為ω0,即求得諧振角頻率(4―105)(4―106)

如果電路工作在諧振頻率附近，利用式(4―106)關(guān)系，可將式(4―104)改寫為(4―107)(4―108)式中

式(4―107)表明，在諧振頻率附近，可將圖4.38(a)電路近似等效為G、L、C的并聯(lián)電路，其中電感、電容元件參數(shù)與原電路相同，電導(dǎo)元件參數(shù)由式(4―108)確定。這樣，關(guān)于圖4.36(a)并聯(lián)諧振電路的討論結(jié)果也同樣適用于圖4.38(a)電路。

例15圖4.38(a)所示RLC電路，已知，R=10Ω，L=100μH，C=100pF，試確定電路的諧振角頻率，并計算諧振時各支路電流和電路端電壓。解由式(4―106)求得諧振角頻率為諧振時可將電路等效成圖4.38(b)所示，圖中

由式(4―102)得諧振時電路端電壓電阻、電感串聯(lián)支路諧振電流4.8三相電路4.8.1三相電源三相電源是三相交流發(fā)電機的電路模型。它由三個頻率、振幅相同而初相互差120°的正弦電源按一定連接方式組成。圖4.39三相發(fā)電機示意圖

圖4.39是三相發(fā)電機的示意圖。發(fā)電機定子內(nèi)側(cè)嵌入三個完全相同而彼此相隔120°的繞組ax、by和cz,分別稱為a相、b相和c相。其中a、b、c表示繞組的始端，x、y、z為末端。發(fā)電機轉(zhuǎn)子由鍛鋼制成，上面有繞組，通以直流后在周圍空間產(chǎn)生磁場。當(dāng)轉(zhuǎn)子在外力驅(qū)動下以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)時，將分別在繞組ax、by和cz上感應(yīng)出正弦電壓ua、ub和uc。設(shè)各電壓的參考方向如圖4.40(a)所示，并以ua為參考電壓(令其初相為零)，則各電壓可表示為

式中up為各相電壓的有效值。這組電源稱為對稱三相電源，簡稱三相電源。式(4―109)的相量表示為(4―109)(4―110)

三相電源各相電壓的波形圖和相量圖分別如圖4.40(b)和(c)所示。容易證明，對稱三相電源三相電壓的瞬時值之和等于零，其相量之和也為零，即(4―111)(4―112)

三相電源的每相電壓可以獨立向外電路供電，這樣需要六條輸電線，很不經(jīng)濟。實際使用中，三相電源的三相電壓按星形(Y形)或三角形(△形)方式