備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破練22　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(提升篇)

專題突破練(分值:87分)學(xué)生用書P203主干知識達(dá)標(biāo)練1.(2024貴州遵義一模)已知橢圓C:y26+x22=1,過點P12,32的直線與橢圓C交于A,B兩點且線段AB的中點為P,則坐標(biāo)原點A.1 B.2C.2 D.22答案B解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y兩式相減得(y(x1由條件可知,x1+x2=1,y1+y2=3,即y1-y22+x1-x22=0,因為點P縱坐標(biāo)不為0,并且由對稱性可知,x1≠x2,所以y1-y2x1-x2=-1,所以直線AB的斜率為-1,所以直線AB的方程為y-2.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點P作雙曲線C的切線l,若直線OP與直線l的斜率均存在,且斜率之積為A.295 B.303 C.35答案C解析設(shè)P(x0,y0),則直線OP的斜率為y0由于雙曲線C在點P(x0,y0)處的切線方程為xx0a2-yy0因為k·kOP=25,則b2x0a2y0·y0x03.(多選題)(2022新高考Ⅰ,11)已知O為坐標(biāo)原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點,則()A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2答案BCD解析∵點A(1,1)在拋物線C上,∴1=2p,∴p=12∴拋物線C的方程為x2=y.∴拋物線C的準(zhǔn)線為y=-14,故A錯誤∵點A(1,1),B(0,-1),∴直線AB的方程為y=2x-1,聯(lián)立拋物線C與直線AB的方程,得y=2x-1,x2=y,消去y整理得x2-2x+1=0,Δ∴直線AB與拋物線C相切,故B正確;由題意可得,直線PQ的斜率存在,則可設(shè)直線PQ的方程為y=kx-1,聯(lián)立直線PQ與拋物線C的方程,得y=kx-1,x2=y,消去y整理得x2-kx+1=0,設(shè)點P(x1,y則Δ2=k2-4>0,x1+x2=k,x1又|OP|=x1|OQ|=x2∴|OP|·|OQ|=y1kx1·kx2=|k|>2=|OA|∵|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正確.故選BCD.4.(5分)(2024湖南婁底一模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,下頂點為A,過A,F的直線l與橢圓C交于另一點B,若直線l的斜率為1,且|AB|=8答案x24解析如圖,設(shè)F(c,0),則A(0,-b),kAF=bc=1,所以b=c,a=2c,直線l的方程為y=x-c,與橢圓C的方程聯(lián)立消去y得3x2-4cx=0,所以xA=0,xB=43故|AB|=2·|xB-xA|=423c=83,解得c=2,所以b=2,a=2,橢圓C的方程為x5.(15分)(2024浙江麗水模擬)設(shè)雙曲線Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),斜率為1的直線l與Γ交于A,B兩點,當(dāng)l過Γ的右焦點F時,l與Γ的一條漸近線交于點P((1)求Γ的方程;(2)若l過點(-1,0),求|AB|.解(1)設(shè)Γ的右焦點為F(c,0),當(dāng)l過Γ的右焦點F時,直線l的方程為y=x-c,易知點P(-5,-25)在漸近線y=bax上,所以ba又點P(-5,-25)在直線l上,所以-25=-5-c,得c2=5,且c2=a2+b2,所以a=1,b=2,所以雙曲線的方程是x2-y24=(2)(方法一)因為l過點(-1,0)且斜率為1,所以直線AB:y=x+1,聯(lián)立4x2-y2-4=0,y=x+1,消去y整理得3x2當(dāng)x=-1時,y=x+1=0,故A(-1,0);當(dāng)x=53時,y=x+1=83,故B53所以|AB|=(-(方法二)因為l過點(-1,0)且斜率為1,故直線AB:y=x+1,聯(lián)立4x2-y2-4=0,y=x+1,消去y即3x2-2x-5=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=23,x1x2=-5所以|AB|=(x關(guān)鍵能力提升練6.(多選題)(2024江西上饒模擬)已知雙曲線C:x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,左、右頂點分別為A1,A2,P為雙曲線右支上的一點,且直線PA1與PA2的斜率之積等于2,過點P的切線與雙曲線的漸近線交于M,N兩點,則下列說法正確的有A.雙曲線C的漸近線方程為y=±3xB.|PM|=|PN|C.離心率e=3D.S△OMN=2答案BCD解析如圖,設(shè)點P(x0,y0),則y0≠0,且y02=b2(x易知點A1(-1,0),A2(1,0),則kPA1kPA2=y0x0+1·y0x0-1=雙曲線C:x2-y22=1在點P處的切線方程為x0x-y0y2=1,聯(lián)立y=聯(lián)立y=-2x,x所以xM+xN=22x0-y0+22x0+y0=4x0因為離心率e=ca=1+b2因為|OM|=1+(2)2|xM-0|=6|2x0-y0|,點P到直線2x-y=0的距離為d=|2x0-y0|3,所以S△OMN7.(多選題)(2024山東菏澤模擬)已知拋物線y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線與x軸的交點為C,過點C的直線l與拋物線交于A,B兩點,A點位于B點右方,若∠AFB=∠CFB,則下列結(jié)論一定正確的有()A.|AF|=8 B.|AB|=8C.S△AFB=1633 D.直線AF答案ABC解析由題意得,如圖,F(2,0),C(-2,0),當(dāng)直線l的斜率為0時,與拋物線只有1個交點,不符合題意.故設(shè)直線l的方程為x=my-2,不妨設(shè)m>0,聯(lián)立y2=8x,可得y2-8my+16=0,由l與拋物線交于A,B兩點,所以Δ>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1>0,y2>0,則y1+y2=8m,y1y2=16,則|AB|=1+m2·|y1-y2|,|BC|=1+m2·|y2|=1+在△CBF與△ABF中,由正弦定理得|CF|sin∠CBF=|BC|sin∠CFB,|AF|sin∠ABF=|AB|sin∠AFB,又由拋物線的性質(zhì)可知|AF|=x1+2=my1-2+2=my1,則4m即my1y2=4y1-4y2=4(y即16m=464m2-64,則y1+y2=1633,y1y2=16,解得y1=43,y2=433,故|AF|=my1=23當(dāng)m<0時,同理可得到|AF|=8,故A正確;又|AB|=1+m2·|y1-y2|=1+m2·64m2-64=S△AFB=S△ACF-S△BCF=12×|CF|×|y1-y2|=2|y1-y2|=264m2-64=16m當(dāng)m>0時,y1=43,則x1=(43)28=6,即A(6,43),此時由對稱性可得,當(dāng)m<0時,kAF=-3,故直線AF的斜率為±3,故D錯誤.故選ABC.8.(5分)(2024福建龍巖一模)斜率為-1的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B兩點,點T是橢圓上的一點,且滿足TA⊥TB,點P,Q分別是△OAT,△OBT的重心,點R是△TAB的外心.記直線OP,OQ,OR的斜率分別為k1,k2,k3,若k1k2k3答案2解析如圖,取AT,BT的中點C,D,依題意,點R是AB中點,點P,Q分別在OC,OD上.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b易知x1≠x2,直線AB斜率kAB=y1-y2x1-x2=-1,直線OR斜率k3=kOR=y1+y2x1+x2,由(*)得y1+y2x1+x2=b2a2,則k3kAB=-b2a2,直線AT,BT的斜率分別為kAT,kBT,同理k1kAT=-b2a2,k2kBT=-b2a2,又kATkBT=-1,因為k9.(17分)(2024浙江湖州模擬)已知長為22的線段PQ的中點為原點O,圓T經(jīng)過P,Q兩點且與直線y+2=0相切,圓心T的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點D(1,b)且互相垂直的直線l1,l2分別與曲線C交于點E,H和點M,N,且|ED|=|DH|,四邊形MENH的面積為156,求實數(shù)b的值.解(1)由題意知圓心T在線段PQ的垂直平分線上(異于點O),設(shè)T(x,y),圓T的半徑為r,則OT2+OP2=TP2,則r=x2+y2+(222)

2=x2+y2+2,又圓T與直線y+2=0相切,故r=|y+2|,于是|y+2|=x(2)設(shè)E(x1,y1),H(x2,y2),根據(jù)|ED|=|DH|可得D為EH的中點,則x1即kl1=12,所以直線l1:y=聯(lián)立y=12(x-1)+b,x2=4y+2,消去y整理得x2-2x-4b=0,由Δ1=(-2)所以x1+x2=2,x1·x2=-4b,所以|EH|=1+(1設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),因為l1,l2互相垂直,易知直線l2:y=-2(x-1)+b,聯(lián)立y=-2(x-1)+b,x2由Δ2=82-4(-4b-10)=16b+104>0,得b>-132所以x3+x4=-8,x3·x4=-4b-10,所以|MN|=1+(-2)2則四邊形MENH的面積為12|EH|·|MN|=12×5×4令5(4b+1)(4b+26)=156,化簡得4解得b=-7(舍去)或b=14,符合Δ1>0,Δ2>0,所以實數(shù)b的值為1核心素養(yǎng)創(chuàng)新練10.(17分)(2024廣東汕頭一模)已知點M(x0,y0)為雙曲線x22-y2=1(1)判斷直線x0x2-y0y=1與雙曲線的公共點個數(shù)(2)①如果把(1)的結(jié)論推廣到一般雙曲線,你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論?請寫出你的結(jié)論,不必證明;②將雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”,其方程為x2a2-y2b2=0,請利用該方程證明如下命題:若T(m,n)為雙曲線C上一點,直線l:(1)解由點M(x0,y0)在雙曲線x22-y2=1上,得x022-聯(lián)立x22-y2=1,x0x2-y0y=1,消去y得y022-x024x2+x0x-(1+y02)=0,(2)①解由(1)知,直線x0x2-y0y=1與雙曲線x22-y2=1相切于點(x所以過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點(x0,y0因為點(x0,y0)在雙曲線上,所以x02a2-y02b2=1,即b由x0xa2-y0yb2=1,x2a2于是