廣東省東莞市虎門外語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

虎門外語學(xué)校2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期10月月考高三數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.設(shè)全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可．【詳解】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，∵，∴．故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)為，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得.故選：C.3.已知直線，和平面（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】對A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對B，若，，則或異面，故B錯(cuò)誤；對C，若，，則由線面垂直的性質(zhì)可得，故C正確；對D，若，，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【詳解】∵等價(jià)于，當(dāng)或時(shí)，不成立；∴充分性不成立；又∵等價(jià)于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5.如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），O為AC的中點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：設(shè)，然后用，分別表示出，，從而由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算并結(jié)合的范圍求得結(jié)果；法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出，，從而由向量的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合m的范圍求得結(jié)果．【詳解】法一：設(shè)，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以，所以．又，所以，因?yàn)椋?，所以；法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，，所以．因?yàn)?，所以，?故選：A．6.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，曲線上存在一點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構(gòu)造方程求解即可.【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，運(yùn)用勾股定理，知道根據(jù)．由雙曲線定義，知道，即，解得，故離心率為：.故選：C.7.已知正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，體積為，則正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出相應(yīng)圖形，借助正四棱臺的性質(zhì)及體積公式可得其高，結(jié)合線面角定義計(jì)算即可得解.【詳解】如圖所示，作于點(diǎn)，則，即，，則，由正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角即為與底面所成角，設(shè)其為，則，即.故答案為：.8.若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將條件與只有1個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)換為函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，參數(shù)分離求出a，再構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解即可.【詳解】函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn).令，則，.當(dāng)時(shí)，h'x>0，所以hx當(dāng)時(shí)，h'x<0，所以hx在1,+所以，，.函數(shù)hx因?yàn)?，所?原不等式，即.令，顯然時(shí)，該函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，的解集為.故選：D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.）9.已知事件滿足，，則下列說法正確的是（）A.若事件A與事件B相互獨(dú)立，則它們的對立事件也相互獨(dú)立B.事件A與事件B可能對立事件C.若事件A與事件B相互獨(dú)立，則D.若事件A與事件B互斥，則【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用相互獨(dú)立事件的定義，即可求解；選項(xiàng)B，利用對立事件的概率和為1，即可求解；選項(xiàng)C，利用相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求解；選項(xiàng)D，利用互斥事件的概率公式，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義易知選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，對立事件的概率和為1，但．故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，事件A與事件B互斥，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD．10.已知函數(shù)的圖象上，對稱中心與對稱軸的最小距離為，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的一個(gè)對稱點(diǎn)為B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為C.若，則的值為D.要得到函數(shù)的圖象，只需要將的圖象向右平移個(gè)單位【答案】BC【解析】【分析】由周期求出ω，由圖象的對稱性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的圖象上，對稱中心與對稱軸x＝的最小距離為×＝，∴ω＝2．再根據(jù)，可得，故,令可得，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為，故B正確；若，則，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位，可得y＝2cos（2x﹣）的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定對稱中心，最值，利用三角恒等變換求值，根據(jù)平移得解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11.已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（）A.B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.D.【答案】BD【解析】【分析】用特殊值法，假設(shè)，可判斷選項(xiàng)A；對進(jìn)行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項(xiàng)B；對兩邊求導(dǎo)，可得，根據(jù)可判斷的周期性和對稱性，再根據(jù)特殊值關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)C；由特殊值關(guān)系得到，，化簡，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】假設(shè)，則，則，與都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，即，因?yàn)?，所以，所以，則，故，所以，所以，又，，所以，所以無法確定的值，所以C錯(cuò)誤；又，，所以，由，得，則，所以，由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則，所以D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對稱性有關(guān)結(jié)論：若，則關(guān)于直線對稱；若，則關(guān)于直線對稱；若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；周期性結(jié)論：若，則函數(shù)的周期為.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】寫出二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：當(dāng)，解得的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，再求出的值.【詳解】等差數(shù)列an中，由，得，解得，于是數(shù)列an的公差，，所以.故答案為：14.如下圖，對大于或等于2的自然數(shù)的次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：仿此，的“分裂”中最大的數(shù)是___________；的“分裂”中最大的數(shù)是___________；【答案】①.11②.【解析】【分析】分析“分裂”所得到的數(shù)，由此確定出最大的數(shù)；歸納“分裂”時(shí)最大的數(shù)的規(guī)律，由此確定出的“分裂”中最大的數(shù).【詳解】因?yàn)椤胺至选笨傻玫降臄?shù)為：，所以的“分裂”中最大的數(shù)是；由“分裂圖”可歸納出：(為奇數(shù))的“分裂”的最大數(shù)是，所以的“分裂”中最大的數(shù)為：，故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析“分裂”的方式，注意的奇偶對分裂的影響，對“分裂”所得到數(shù)字個(gè)數(shù)的影響.四.解答題：（本題共5小題，共77分.）15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間和，單調(diào)減區(qū)間為（2）極大值16，極小值【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，令，解得，則，隨的變化情況如下表：200取極大值取極小值故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為;【小問2詳解】由小問1知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值16;當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．16.中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）已知，由正弦定理和輔助角公式可得，解得.（2）由余弦定理和三角形面積公式，可解求，，則得到周長.【小問1詳解】中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，△ABC中，，∴，∴.【小問2詳解】，的面積為，∴，解得.由余弦定理可得：化為.聯(lián)立，解得∴，所以周長為6.17.如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面PAB；（2）線段PC上是否存在點(diǎn)N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可得證；（2）過點(diǎn)M作垂足為F，根據(jù)線面垂直的判定可證平面BMN，然后根據(jù)平面幾何知識求出，進(jìn)而求出即可得.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面，，平面平面ABC，所以平面ABC，平面ABC，所以，又，，所以,又，所以，所以，又，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面PAB【小問2詳解】存，當(dāng)時(shí)，平面BMN，過點(diǎn)M作垂足為F，由（1）知平面ABC，平面ABC，所以，又點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，，所以，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，，是平面BMN內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BMN，由已知得，又，即，又，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，平面BMN，18.已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)，并且與圓外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C.（1）直線與圓相切于點(diǎn)Q，求的值；（2）求曲線C的方程；（3）過點(diǎn)的直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)M，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2），；（3）證明見解析，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求解；（2）由圓與圓的位置關(guān)系，構(gòu)造雙曲線的定義，即可求解；（3）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，并聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示，即可求解定點(diǎn).【小問1詳解】由直線與圓的位置關(guān)系可知，，所以點(diǎn)；【小問2詳解】由題意可知，設(shè)動(dòng)圓半徑為，，，，即，所以點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，，則，所以曲線的方程為，；【小問3詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，直線，當(dāng)，得，即，直線，此時(shí)直線過點(diǎn)1,0，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，直線，當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立，得，，，，下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，，把，代入整理得，即，所以直線經(jīng)過點(diǎn)1,0，綜上可知，直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為1,0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.題目：給定一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增正項(xiàng)數(shù)列，任意給定，稱滿足的三元子集為數(shù)列的一個(gè)集，其個(gè)數(shù)記作，出現(xiàn)集的概率記為.（1）已知是數(shù)列A：1，2，3，4，5，6的一個(gè)集，求j；（2）已知，，，并且都是數(shù)列的集，求數(shù)列A的通項(xiàng)公式；（3）已知，，，并且都是數(shù)列的集，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的集定義，將已知代入等式求解；（2）利用集的定義建立數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)出通項(xiàng)公式；（3）先求出表達(dá)式，再通過分析數(shù)列的性質(zhì)來證明其范圍.【小問1詳解】根據(jù)集的定義，已知是數(shù)列的一個(gè)集，，，，，，未知.由，即.設(shè)，則.等式兩邊同乘，得，解得，所以.【小問2詳解】因?yàn)槎际菙?shù)列