樊昌信通信原理課后答案

1章答案

1-1以無線廣播和電視為例，說明教材圖1-3模型中信源、信宿及信道包含的具體內(nèi)容是什么？

答：3）在無線電廣播中

①信源：從聲音等各種消息轉(zhuǎn)換而成的原始電信號；

②信宿：從復原的原始電信號轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的聲音；

③信道：載有聲音和影像的無線電波，以某種方式表示原始電信號。

（2）在無線電視系統(tǒng)中

①信源：從聲音、影像等消息轉(zhuǎn)換而成的原始電信號；

②信宿：從復原的原始電信號轉(zhuǎn)換成的聲音、影像等；

③信道：載有聲音和影像的無線電波，以某種方式表示原始電信號。

1-2何謂數(shù)字信號？何謂模擬信號？兩者的根本區(qū)別是什么?

答：（I）數(shù)字信號是指載荷消息的信號參量僅有有限個取值的信號；模擬信號是指載荷消息的信號參

量取值為連續(xù)（不可數(shù)、無窮多）的信號；

（2）兩者的根本區(qū)別在于載荷消息信號參量的取值是連續(xù)的還是離散可數(shù)的。時間域上的連續(xù)與否不能

作為區(qū)分模擬信號和數(shù)字信號的標準。

1-3何謂數(shù)字通信？數(shù)字通信有哪些優(yōu)缺點？

答：（1）利用數(shù)字信號來傳遞信息的通信系統(tǒng)稱為數(shù)字通信系統(tǒng)。其中主要有信源編碼與譯碼、數(shù)字

調(diào)制與解調(diào)、同步以及加密與解密等組成部分；

（2）數(shù)字通信的優(yōu)缺點：

①優(yōu)點：

a抗干擾能力強，且噪聲不積累。數(shù)字通信特有的抽樣判決再生的接收方式使得其擁有較強的抗干擾

能力；

h傳輸差錯可控。在數(shù)字通信系統(tǒng)中，可通過信道編碼技術(shù)進行檢錯與糾錯，降低誤碼率，提高傳輸

質(zhì)量；

易于加密處理，且保密性好；

d便于存儲、處理和交換；數(shù)字通信的信號形式和計算機所月的信號一致，都是二進制代碼，因此便

于與計算機聯(lián)網(wǎng)，也便于用計算機對數(shù)字信號進行存儲、處理和交換，可使通信網(wǎng)的管理和維護實現(xiàn)自

動化、智能化；

C易于集成，使通信設(shè)備微型化，重量減輕；

￡便于構(gòu)成綜合數(shù)字網(wǎng)和綜合業(yè)務(wù)數(shù)字網(wǎng)。采用數(shù)字傳輸方式，可以通過程控數(shù)字交換設(shè)備進行數(shù)字

交換，以實現(xiàn)傳輸和交換的綜合。

②缺點：

a,可能需要較大的傳輸帶寬；

b,對同步要求高，系統(tǒng)設(shè)備年。

1-4數(shù)字通信系統(tǒng)的一般模型中各組成部分的主要功能是什么？

答：數(shù)字通信系統(tǒng)的一般模型口各組成部分的主要功能是：

(1)信源編碼與譯碼功能是提高信息傳輸?shù)挠行院瓦M行模數(shù)轉(zhuǎn)換；

(2)信道編碼和譯碼功能是進行差錯控制，從而增強數(shù)字信號的抗干擾能力；

(3)加密與解密的功能是保證信息的安全傳輸；

(4)數(shù)字調(diào)制和解調(diào)功能是把數(shù)字基帶信號搬移到高頻處以便在信道中傳輸；

(5)同步的功能是在首發(fā)雙方時間上保持一致，保證數(shù)字通信系統(tǒng)的有序、準確和可靠的工作，

1-5按調(diào)制方式，通信系統(tǒng)如何分類？

答：按調(diào)制方式，通信系統(tǒng)分為：

(1)基帶傳輸系統(tǒng)?；鶐鬏斚到y(tǒng)是將未經(jīng)調(diào)制的信號直接傳送，如市內(nèi)電話、有線廣播，一般的無線

傳輸很少用到基帶傳輸系統(tǒng)；

(2)帶通傳輸系統(tǒng)。帶通傳輸是對各種信號調(diào)制后輸出的信號。帶通傳輸系統(tǒng)的應(yīng)用非常廣泛，無線傳

輸領(lǐng)域基本上都是利用帶通傳輸系統(tǒng)。

1-6按傳輸信號的特征，通信系統(tǒng)如何分類?

答：按傳輸信號的特征，通信系統(tǒng)分為：

(1)模擬通信系統(tǒng)。模擬通信系統(tǒng)是指系統(tǒng)信道中所傳輸?shù)男盘枮槟M信號的通信系統(tǒng)；

(2)數(shù)字通信系統(tǒng)。數(shù)字通信系統(tǒng)是指系統(tǒng)信道中所傳輸?shù)男盘枮閿?shù)字信號的通信系統(tǒng)。

1-7按復用方式，通信系統(tǒng)如訶分類？

答：按復用方式,通信系統(tǒng)分為：

(1)頻分復用。頻分復用是用頻譜搬移的方法使不同信號占據(jù)不同的頻率范圍；

(2)時分復用。時分復用是用脈沖調(diào)制的方法使不同信號占據(jù)不同的時間區(qū)間；

(3)碼分復用。碼分復用是用正交的編碼分別攜帶不同的信號；

(4)波分復用。波分復用是將兩種或多種不同波長的光載波信號經(jīng)復用器匯合在一起并耦合到光線路中

同一根光纖中進行傳輸；

(5)空分復用。空分復用是指讓同一個頻段在不同的空間內(nèi)得到重復利用。

1-8單工、半雙工及全雙工通信方式是按什么標準分類的？解釋它們的工作方式并舉例說明。

答：(1)單工、半雙工及全雙工通信方式是按照消息傳遞的方向與時間關(guān)系分類的；

(2)工作方式：

①單工11信是摘肖息只能單向傳輸?shù)墓ぷ鞣绞?，通信雙方只有行發(fā)送，另T只能接受，如廣播,

遙測，無線尋呼等；

②半雙工通信尉旨通信雙方都能講行收發(fā)信息，但是不能同時講行收發(fā)的工作方式，如使用同一載頻的

普通對講機、問詢及檢索等；

③全雙工通信是指通信雙方能同時進行收發(fā)i肖息的工作方式，如電話和計算機之間的高速通信等。

1-9并行傳輸和串行傳輸?shù)倪m用場合及特點？

答：(1)并行傳輸和串行傳輸?shù)倪m用場合分別為：

①并行傳輸一般適用于設(shè)備之間的近距離通信。比如一般的計算機內(nèi)部通信；

②串行傳輸一般適用于遠距離/專輸。普通的通信系統(tǒng)都是采用串行傳輸。

(2)并行傳輸和串行傳輸?shù)奶攸c分別為：

①并行傳輸

a.優(yōu)點：傳輸速度快，節(jié)省時間，無需附加設(shè)備就能實現(xiàn)收發(fā)雙方字符同步；

b.缺點：需要多條通信線路，成本高。

②串行傳輸

a.優(yōu)點：只需一條通信線路，成本低；

b.缺點：傳輸速度慢，需要外加同步措施解決收發(fā)雙方碼組或字符同步。

MO通信系統(tǒng)的主要性能指標是什么？

答：通信系統(tǒng)的主要性能指標是有效性和可靠性。有效性是指信息傳輸?shù)男蕟栴}，在模擬通信系統(tǒng)

中，用有效傳輸頻寬表示，數(shù)字通信中用信息傳輸速率來衡量；可靠性是指系統(tǒng)接收消息的準確程度,

即質(zhì)量的好壞。

1-11衡量數(shù)字通信系統(tǒng)有效性和可靠性的性能指標有哪些？

答：(1)衡量數(shù)字通信系統(tǒng)的有效性的性能指標：碼元傳輸速率和頻帶利用率。傳輸同樣的信源信

號，所需的傳輸帶寬越小，頻芍利用率越高，有效性越好；傳輸同樣的信源信號，所需的時間越少，即

碼元傳輸速率越大，則有效性越高；

(2)衡量數(shù)字通信系統(tǒng)的可靠性的性能指標：差錯概率。差錯概率常用誤碼率和誤信率表示。誤碼率是

指錯誤接收的碼元數(shù)在傳輸總碼元數(shù)中所占的比例，更確切地說，誤碼率是碼元在傳輸過程中被傳錯的

概率；誤信率又稱誤比特率，是指錯誤接收的比特數(shù)在傳輸總比特數(shù)中所占的比例。

1-12何謂碼元速率和信息速率？它們之間的關(guān)系如何?

答：(1)碼元速率(RB)是指每秒鐘傳送碼元的數(shù)目，單位為波特；信息速率(Rb)是指每秒鐘傳送

的平均信息量，單位是bit/s;

(2)碼元速率與信息速率的關(guān)系為：Rb=R/og2M(M進制碼元攜帶log2M比特的信息量)。信息速率

總是碼元速率的整數(shù)倍。

M3何謂誤碼率和誤信率？它們之間的關(guān)系如何？

答：(1)誤碼率和誤信率的定義分別為：

①誤碼率是指碼元在傳輸系統(tǒng)中被傳錯的概率，即錯誤接收的碼元數(shù)在傳輸總碼元數(shù)中所占的比例，Pe

二錯誤碼元數(shù)/傳輸總碼元數(shù)；

②誤信率是指碼元在傳輸系統(tǒng)中被丟失的概率，即錯誤接收的比特數(shù)在傳輸總比特數(shù)中所占的比例，Pb

二錯誤比特數(shù)/傳輸總比特數(shù)；

(2)誤碼率和誤信率的關(guān)系：它們是描述差錯率的兩種不同表述。在二進制中，二者數(shù)值相等，

1-14消息中包含的信息量與以下哪些因素有關(guān)？

(1)消息出現(xiàn)的概率；

(2)消息的種類；

(3)消息的重要程度。

答：由信息論以及概率論可知,信息量的度量為：

H(X)=￡{Z[P(x,)])=磯-log。")]

=-^P(x/)logP(x,)

i?1

這種度量消息中信息量的方式必須能夠用來度量任何消息，而與消息的種類無關(guān)。同時，這種度量方法

也應(yīng)該與消息的重要程度無關(guān)。因此消息中包含的信息量與(1)有關(guān)。

習題

1-1已知英文字母C出現(xiàn)的概率為().105,x出現(xiàn)的概率為0.002,試求c和x的信息量。

解：e的信息量為：

Ie=log2(1/P(e))=-log2P(e)=-log20.105=3.25(bit)

x的信息量為：

Ix=log2(LP(x))=-log2P(x)=-Iog20.002=8.97(bit)

1-2設(shè)有四個符號，其中前三個符號的出現(xiàn)概率分別為1/4,1/8,1/8,且各符號的出現(xiàn)是相互獨立

的。試計算該符號集的平均信息量。

解：因為各符號的概率之和等于1,所以第四個符號的概率為1/2,故該符號集的平均信息量為：

H=；=1.75(b/符號)

1-3某信源符號集由字母A、B、C、D組成，若傳輸每一個字母用二進制碼元編碼，“00”代替

A「01”代替B,“10”代替C,“11”代替D,每個二進制碼元寬度為

(1)不同的字母是等可能出現(xiàn)時，試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾剩?/p>

(2)若每個字母出現(xiàn)的可能性分別為PA=1/5,PB=1/4,Pc=1/4,PD=3/10,試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺?/p>

率。

解：(1)由于每個二進制碼元寬度為5ms,又一個字母由兩個二進制碼元組成，所以一個字母的持續(xù)

時間為：

Tg=2x5ms

則傳送字母的符號速率為：

3

RB=l/TB=l/(2x5xW)=100(Baud)

故不同字母等可能出現(xiàn)時，傳輸?shù)钠骄畔⑺俾蕿椋?/p>

Rb=RBlog2M=RB<og24=200(b/s)

(2)該信號源符號集的平均信息量為：

^=ilogllog4ilog4Alog^

25+2+2+=1.985◎符號)

故傳輸?shù)钠骄畔⑺俾蕿椋?/p>

Rb=RBH=100x1.985=198.5(b/s)

1-4一部電話機鍵盤上有1()個數(shù)字鍵(0-9).設(shè)發(fā)送數(shù)字I的概率為0.3,發(fā)送數(shù)字3和8的廨分別為

0.14,發(fā)送數(shù)字2,4,5,6,7,9和0的概率分別為0.06，試求：

(1)每鍵的平均信息量(燧)；

(2)如果按鍵速率為2個/s,試計算傳送的信息速率。

解：(I)每鍵的平均信息量為：

^=-Z^)log:P(x,)

j-1

=-0.3log；0.3-2x0.141og:0.14-7x0.06log；0.06

=-3.32x(0.31g0.3+2x0.141g0.14+7x0.061g0.06)

=3.02(b/鍵)

(2)由題可知,RB=2^/S,故傳送的信息速率為：

Rb=RBH=2x3.02=6.04(b/s)

1-5設(shè)某信源的輸出由128個不同的符號組成。其中16個出現(xiàn)的概率為1/32,其余112個的出現(xiàn)概率為

1/224.信源每秒發(fā)出1000個符號，且每個符號彼此獨立。試計算該信源的平均信息速率。

解：每個符號的平均信息量為

H=16x《log232+112xmlog?224=6.405(b/符號)

又已知符號速率RB=lOOOBaud,故平均信息速率為：

3

Rb=RBH=1000x6.405=6.405x|0(b/s)

1-6設(shè)二進制數(shù)字傳輸系統(tǒng)每隔0.4ms發(fā)送一個碼元。試求：

(1)該系統(tǒng)的信息速率；

(2)若改為傳送十六進制信號碼元，發(fā)送碼元間隔不變，則系統(tǒng)的信息速率變?yōu)槎嗌伲?設(shè)各碼元獨立

等概率出現(xiàn))

解：(1)由題可知，碼元寬度'「3=0.4ms,則碼元速率RB=l"B=2500Baud0又二進制系統(tǒng)的信息速

率等于碼元速率，故該系統(tǒng)的信息速率為：

Rb=RBlog22=2500(b/s)

(2)由于碼元間隔(碼元寬度)不變，則碼元速率也不變，仍為25(X)Baud,故傳送十六進制碼元時，系

統(tǒng)的信息速率為：

Rb=RBlog216=2500x4=K)O(X)(b/s)

1-7某信源符號集由A,B,C,D和E組成，設(shè)每一符號獨立出現(xiàn)，其出現(xiàn)概率分別為1/4,1/8,1/8,

3/16和5/16。若每秒傳輸1000個符號，試求：

(1)該信源符號的平均信息量；

(2)lh內(nèi)傳送的平均信息量；

(3)若信源等概率發(fā)送每個符號,求lh傳送的信息量。

解：(1)該信源符號的平均信息量(熔)為：

?(x)=-工尸(%)1。2：尸(為)

i-1

42482881621616*16

=223(b/符號)

(2)已知RB=lOOOBaud,所以該信源符號的平均信息速率為：

3

Rb=RB-H=1000x2.23=2.23X19(b/s)

貝(Jlh傳送的平均信息量為：

I=Rb-t=2.23x1()3x3600=8.028x1()6(bit)

(3)等概率發(fā)送時的信源燧為：

Hmax-log2M=log25=3.32lg5=2.33b/^^

此時平均信息速率最大，故lh傳送的信息量為：

6

I=Rblllax-t=(RBHinax)t=1000x2.33x3600=8.352x10(bit)

1-8設(shè)某四進制數(shù)字傳輸系統(tǒng)的信息速率為2400b/s,按收端在0.5h內(nèi)共收到216個錯誤碼元，試計算該

系統(tǒng)的誤碼率已。

解：已知信息速率Rb=2400b/s,則碼元速率為：

RB二RJIog2M-2400/log24=1200(Baud)

所以0.5h(1800s)內(nèi)傳送的碼元個數(shù)為：

6

N=RBt=1200xl800=2.16xl0(個)

又錯誤碼元數(shù)4=216個,所以誤碼率E為：

6-4

Pe=Ne/N=216/(2.I6X10)=10

2章答案

思考題

2-1何謂確知信號？

答：確知信號是指其取值在任何時間都是確定和可預知的信號，通常可以用數(shù)學公式表示它在任何時間

的取值。例如，振幅、頻率^相位都是確定的一段正弦波，它就是一個確知信號.

2-2試分別說明能量信號和功率信號的特性。

答：3)能量信號的能量為一個有限正值，但其平均功率等于零；

(2)功率信號的能量為無窮大,其平均功率為一個有限正值。

2-3試用語言(文字)描述單立中激函數(shù)的定義。

答：單位沖激函數(shù)是指寬度無窮小，高度為無窮大，積分面積為1的脈沖，目頻譜密度為1。其僅有理論

上的意義，是不可能物理實現(xiàn)的一種信號。

2-4試畫出單位階躍函數(shù)的曲線。

答：如圖2-2-1所示。

必)

0

圖221

2-5試述信號的四種頻率特性分別適用于何種信號。

答：(1)功率信號的頻譜適用于周期性的功率信號；

(2)能量信號的頻譜密度適用亍能量信號；

(3)能量信號的能量譜密度適用于能量信號；

(4)功率信號的功率譜密度適用于功率信號。

2-6頻譜密度S(f)和頻譜C(jno)0)的量綱分別是什么？

答：頻譜密度的量綱是伏特/赫茲(V/Hz)；頻譜的量綱是伏特(V)。

2-7自相關(guān)函數(shù)有哪些性質(zhì)？

答：自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：

(1)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)；

(2)與信號的能量譜密度函數(shù)或功率譜密度函數(shù)是傅立葉變換對的關(guān)系；

(3)當尸0時，能量信號的自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信號的能量，功率信號的自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信

號的平均功率。

2-8沖激響應(yīng)的定義是什么？沖激響應(yīng)的傅里葉變換等于什么？

答：3)沖激響應(yīng)的定義：輸入為單位;中激函數(shù)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),一般記作h(t)；

(2)沖激響應(yīng)的傅里葉變換等于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即H(f)。

習題

2-1試判斷下列信號是周期信號還是非周期信號，能量信號還是功率信號：

(I)Si(t)=e-lu(t)

(2)S2(t)=sin(6m)+2cos(1(hrt)

(3)S3(t)=e-2t

解：若0<E<8,而功率P—0,則為能量信號；若能量ETO，而0<P<8,則為功率信號。

(1)si(t)=c-lu(t)的能量為：

￡=J*52(r)dr=J；e_2,dr=—e~2r=-

f°22

而功率為：

1rT/2_

P=lim—I52(r)dr=0

7T8TJ-T/l

所以(t)是能量信號，也是非周期信號。

(2)滿足兩個周期信號相加后仍是周期信號的條件為T=+nT2,其中m、n為正整數(shù)。

該信號中sin(67rt)的周期為2W(6的=1/3,2cos(10nt)的周期為T?=2/(10兀)=1/5,則「和

心的最小公倍數(shù)為：

T=mT1+n72=3T)+5T2=2

因此，S2(l)是周期為2的周期信號，而周期信號必然是功率信號。

(3)S3(t)=e?2i的能量為：

2r-2r

E=匚S?(,)山=lim?7出_ijml(e-e)^|=oo

而功率為：

E7-272R2/T

P=lim-=lim-——=limE—=lim---=℃

r->aT7fg477-MC4TTfg4

由上可知，S3(l)既不是能量信號也不是功率信號，也是非周期信號。

2-2試證明圖2-2-2中周期性信號可以展開為

4工f-nn

s(r)=-y3-cos(2?+1)0

兀仁2勿+1

圖222

證明：取區(qū)間?1/2SS3/2作為一個周期進彳帝算，并令周期T。=2。

由教材式(2.2-1)可得：

=第：e-^dr-窘e"可

=——但-網(wǎng)2_^皿？]——!_[e-"R2_e-J?2j

-j2,加-j2n;r

i.,〃冗、i_而.”江、

=—sm(——)-——e叩sm(——)

rm2)m2

21mt〃=4左11

=—[1-cos(??7t)]sm(—)=<-2/H7tn=4k+3

nn2w,

0”偶數(shù)

將上式代入教材式（222)，得：

金2舊4

n=-x

2Jii5x

=±（^-e--(e*"-c^)+±(e加-c-)--

n3乃5n

4」、44

=-COS（^f）-——cos(3^z)+——cos(57tr)—

7t3冗5冗

二4￡（W

cos(27?+l)7rr

7TZo2w+1

所以

400J1)舞

s(r)=-y^-cos(2n+l>

兀標2〃+1

得證。

2-3設(shè)信號s（t）可以表示成

s（（:)=2cos(2兀t+0)-oo<t<oo

試求：

（i）信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)a；

（2）信號的功率譜密度.

解：（1）由題可知，信號的振幅A=2,基頻電:1,周期To:1,且由教材式(2.2-1)得信號s(1)的

傅里葉級數(shù)的系數(shù)為：

2j212

-『s(/)e-^dz=f285(2"+你-^市

工^J-J^/2J—1/2

丁sin(l-〃)冗+3Jsin(l+〃)7r

n=0,±L±2.-??

(1-W)7t(1+H)7t

得：

ei0n=+1

I—Ln--\

0n=其他

由上式可知，只有n=±l時，G#),可以得出|CJ=i,n=±l,

(2)由教材式(2.2-44)可得sI：t)的功率譜密度為：

尸⑺=￡圖2%~班)=貿(mào)/—為+5(/+/)

2-4設(shè)有一信號如下：

2exp(-f)t>0

x(t)=

0t<0

試問它是功率信號還是能量信號，并求出其功率譜密度或能量譜密度。

解：(1)x(t)的能量為：

￡=Jx2(r)d/=4J。e_2zdr

=-2[叫:=-2(0-1)=2值限值)

因此x(t)是能量信號。

(2)對x(t)進行傅里葉變換，可得其頻譜密度為：

X(J)次山二2,e-g2rf"山

=2]re-(l+p^)rT=2

-(1+j275nL」。1+j27y

所以

故X(t)的能量譜密度為：

|X(f)|2=4/(1+4712f2)

2-5求圖223所示的單個矩形脈沖(門函數(shù))的頻譜(密度)、能量譜密度、自相關(guān)函數(shù)及其波形、

信號能量。

圖223

解：對s(I)進行傅里葉變換，可得其頻譜函數(shù)為：

T

S(0)=匚s?)e-wdr=任加7”由

V-2

2A.皿丁、4m/以\

=—sin(—)=A7Sa(—)

CD22

則S(l)的能量譜密度為：

E(co)=|S(G)『=^?Sa(—)=^TSa(—)J7Sa(—)

AMAM4

已知能量信號的自相關(guān)函數(shù)和其能量譜密度是一對傅里葉變換。利用時域卷積特性可得，S(t)的自相

關(guān)函數(shù)R(T)為高為A、寬為T的兩個門函數(shù)的卷積，即

f^27'(l-|r|/7')|r|<r

R(r)=sQ)*sQ)N1M.

0其他

其波形如圖2-2-4所示

所以s(t)的能量為：A*T

-T0T

圖224

上二匚$2⑺由=H(0)=/T

2-6設(shè)信號s(t)的傅里葉變換為S(f)=sin(nf)/(nf),試求此信號的自相關(guān)函數(shù)R、(T)。

解：方法1：該信號的能量譜密度為：

E(/)=|SS「=|咪卜皿.啦

其中

sinM八ri昨1/2

——os(f)=?

01伸/2

顯然s(t)是一個門函數(shù)。利用時域卷積定理，可得自相關(guān)函數(shù)RJ工)為：

o-M)|r|?l

凡⑺-s(f)*s(f)-

0其他

方法2：由自相關(guān)函數(shù)定義式，并參照圖2-2-5。

可得：

圖225

「id,-l<r<0

7?(r)=L5(r)s(r+r)dr=

l/2-r

Lf0<r<l

■A=

1-r,0<r<l11

2-7已知信號s(t)的自相關(guān)函數(shù)為

4(r)=ge-期左=常數(shù)

(1)試求其功率譜密度匕(f)和功率P；

(2)試畫出R,(T)和Ps(f)的曲線。

解：(1)信號s(t)的功率譜密度R(f)為:

且功率P為：

P=RS(0)=k/2

(2)Rs(T)和Ps(f)的曲線如圖226所示。

2-8已知信號，(t)的自相關(guān)函數(shù)R(T)是周期T=2的周期性函數(shù)，其在區(qū)間(-1,1)上的截斷函

數(shù)為

RT(T)=1-|T|-1<T<I

試求S(t)的功率譜密度P(f)并畫出其曲線。

解：s(t)的自相關(guān)函數(shù)可表示為：

R(T)=RT(T)*ST(T)

其中

2

RI-(T)oP「(f)=Sa(itf)

M)=F(.w)E(/)=舞?/-靖

=掙卜制

已知功率信號的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜密度是一對傅里葉變換C利用時域卷積特性，可得S(t)的功率

譜密度為：

18

^(/)=^(m(/)=7ZSa2

[n=>-x用心)

41zxsa

其波形如圖227的。

P(/)

-2-3/2-1-1/201/2I122/

2-9(1)求正弦信號c(t)=sin((Dot)的頻譜(密度)；

(2)已知s(I)OS(co),試求X(I)=s(t)sin(如)的頻譜(密度)。

解：(1)由歐拉公式可知

singr=((d%-e-ja°z)

利用102例((9)和傅里葉變挨的頻移特性，可得正弦信號的頻譜為：

C(io)=jn[6(w+(J)O)-8(w-u)0)]

(2)方法一：由(1)的結(jié)果不啖域卷積定理，可得：

s(t)sin(w()t)o[S(co-co())-S(+w())]/(2j)

方法二：因為

j&v

5(/)sinco0r=-^s(z)(e

2J

所以根據(jù)傅里葉變換的頻移特性可直接得:

s(t)sin((o0l)?[S(co-a)o)-S(co+a)o)]/(2j)

3章答案

思考題

3-1何謂隨機過程？它具有什么特點？

答：(1)隨機過程是指一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。隨機過程可以

從兩個不同的角度來說明.一人角度是把隨機過程看成對應(yīng)不同隨機試驗結(jié)果的時間過程的集合.從另

外一個角度來看，隨機過程是隨機變量概念的延伸，它在任意時刻的值是一個隨機變量；

(2)隨機過程的特點：

①隨機過程具有不可璇1性因為根據(jù)隨機過程的定義，隨機過程相當于任S時刻的T隨機變量，隨

機也就意味著不可預知性；

②隨機過程具有集合性。集合性曷醐機過程相當于由許多個隨機變量聚合而成的，不僅僅是一個數(shù)量

的疊加。

3-2隨機過程的數(shù)字特征主要有哪些？分別表征隨機過程的什么特性?

答：(1)隨機過程的數(shù)字特征主要包括均值，方差和相關(guān)函數(shù)；

(2)三個數(shù)字特征分別表現(xiàn)了以下特性：

①均值表示隨機過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心；

②方差表示隨機過程在時刻［相對于均值的偏離程度；

③相關(guān)函數(shù)衡量隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度。

3-3何謂嚴平穩(wěn)？何謂廣義平穩(wěn)？它們之間的關(guān)系如何？

答：(1)嚴平穩(wěn)隨機過程：若一個隨機過程的統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)，即時間平移不影響其任何統(tǒng)

計特性，則稱該隨機過程為嚴三穩(wěn)隨機過程；

(2)廣義平穩(wěn)隨機過程：若一個隨機過程的數(shù)學期望與時間無關(guān)，而自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔相關(guān)，則

稱該隨機過程為廣義平穩(wěn)隨機過程；

(3)嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不然。因此嚴平穩(wěn)隨機過程的限制條件要高于廣義平穩(wěn)隨

機過程。

3-4平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)有哪些性質(zhì)？它與功率譜密度的關(guān)系如何?

答：(1)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)R(T)的性質(zhì)：

①R(0)=E[42(t)],表示平穩(wěn)過程&(t)的平均功率；

②R(t)=R(?。)，它是偶函數(shù)；

③|R(T)ISR(0),表示R(1)的上界。它的最大值為R(0)；

@R(oo)=E[^2(()]=a\表示平穩(wěn)過程4(t)的直流功率；

⑤R(0)-R(oo)=o\『是方差，表示平穩(wěn)過程g(t)的交流功率。

(2)它與功率譜密度是一對傅立葉變換對：

4(/)=匚火(——一

3-5什么是高斯過程？其主要性質(zhì)有哪些？

答：(1)定義：如果隨機過程的任意n維(n=I,2,…)分布均服從正態(tài)分布，則稱它為高斯過程。

(2)主要性質(zhì)：

①高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差；

②廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的。因為，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)J辦方差

函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，則它的n維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴平隱的。

所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的,則也嚴平穩(wěn)；

③如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，則它們也是統(tǒng)計獨立的；

④詢過程經(jīng)過線性變換生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為醐過程，則系

統(tǒng)輸出也是高斯過程。

3-6高斯隨機變量的分布函數(shù)與Q(x)函數(shù)以及erf(x)函數(shù)的關(guān)系如何？試述crfc(x)函數(shù)的定義與

頡.

答：(1)高斯隨機變量的分布函數(shù)F(x)與Q(x)函數(shù)以及erf(x)函數(shù)的關(guān)系：

F(x)=1-Q[(x-a)/G]

―,、11_-Q

尸a)=5+5皿石)

(2)crfc(x)函數(shù)的定義與性質(zhì)：

①erfc(x)是指互補誤差函數(shù)，erfc(x)=1-erf(x)；

②雌：

a.它是自變量的遞減函數(shù)；b.erfc(0)=1,erfc(?)

=0,erfc(-x)=2-erfc(x)；

C.對于x>a,互補誤差函數(shù)與高斯概率密度函數(shù)曲線尾部下的面積成正比；

d.當x很大時(實際應(yīng)用中只要工>2),它可近似為erfc(x).

Xyjn

3-7隨機過程通過線性系統(tǒng)時，輸出與輸入功率譜密度的關(guān)系如何？如何求輸出過程的均值、自相關(guān)

函數(shù)？

答：(1)輸出與輸入功率譜密度的關(guān)系：

(2)輸出過程的均值、自相關(guān)函數(shù)：

①均值：E[[(t)]=aH(0),H(0)為線性系統(tǒng)在f=()處的頻率響應(yīng)，即直流增益；

②自相關(guān)函數(shù)：R。(力，t2+C=R。(T)，輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅僅是時間間隔T的函數(shù)。

3-8什么是窄帶隨機過程？它的頻譜和時間波形有什么特點？

答：(I)若隨機過程自(I)的譜密度集中在中心頻率(附近相對窄的頻帶范圍△吶，即滿足與<<幾條

件，且1遠離零頻率，則稱該4(t)為窄帶隨機過程。

(2)其頻譜分布特點是帶寬遠小于中心頻率，時間波形上的特點是呈現(xiàn)出包絡(luò)和相位隨機緩慢變化的正

弦波。

3-9窄帶高斯過程的包絡(luò)和相，立分別服從什么概率分布？

答：一個均值為零、方差為色2的窄帶平穩(wěn)高斯過程自(i),其包絡(luò)a：(t)的一維分布是瑞利分布，相位

耍(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，(I)與強(1)是統(tǒng)計獨立的，即f(空，現(xiàn))

=f(醫(yī))f(管)。

3-10窄帶高斯過程的同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性如何？

答：窄帶高斯過程的同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性：

(1)一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程4(t),它的同相分量&(t)和正交分量蕊(t)同樣是平穩(wěn)高斯

過程，而且均值為零，方差也相同；

(2)在同一時刻上得到的虞(t)和&(t)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。

3-11正弦波加窄帶高斯噪聲的合成包絡(luò)服從什么分布？

答：正弦波加窄帶高斯噪聲的合成包絡(luò)服從萊斯分布，即

?、z

/U)=-yexpz>0

片喜f0'相當于X值很小，于是有I。（X）

當信號很小，即A-0時,信號功率與噪聲功率的比值=1,

萊斯分布退化為瑞利分布。

當信噪比片方艮大時‘，麗樂有’這時在小附近「（z）近似為高斯分布。

3-12什么是白噪聲？其頻譜和自相關(guān)函數(shù)有什么特點？白噪聲通過理想低通或理想帶通濾波器后的情

況如何？

答：（1）白噪聲是指噪聲的功率譜密度在所有頻率上均為一常數(shù)的噪聲。

（2）頻譜為常數(shù)；白噪聲僅在時才相關(guān)，而在其他任意兩個時刻的隨機變量都不相關(guān)；同時白噪聲

的帶寬無限，其平均功率為無窮大。

（3）白噪聲通過理想低通濾波器后輸出為低通白噪聲，也稱帶限白噪聲；通過理想帶通濾波器后輸出為

帶通白噪聲。

3-13何謂高斯白噪聲？它的概率密度函數(shù)、功率譜密度如何表示？

答：（1）高斯白噪聲是指取值的概率密度分布服從高斯分布的白噪聲。

（2）其概率密度函數(shù)為高斯函數(shù)，其功率譜密度為常數(shù)。

314不相關(guān)、統(tǒng)計獨立、正交的含義名是什么？它們之間的關(guān)系如何？

答：3）含義：

①如果兩個隨機變量的協(xié)方差函數(shù)為零,則稱它們不相關(guān)；

②如果兩個隨機變量的聯(lián)合概率密度等于它們各自概率密度白諫積，則稱它們統(tǒng)計獨立；

③如果兩個隨機變量的互相關(guān)函數(shù)為零，則稱它們正交。

（2）關(guān)系：兩個均值為零的隨機變量如果統(tǒng)計獨立，則一定是正交且不相關(guān)；兩個均值為零的隨機變量

正交與不相關(guān)等價。三者的嚴格程度從高到低依次為：統(tǒng)計獨立、正交、不相關(guān)。

習題

3-1設(shè)X是均值a=0、方差,=1的高斯隨機變量，試確定隨機變量Y=cX+d的概率密度函數(shù)f(y),

其中c,d均為常數(shù)且c>00

解：由于高斯隨機變量X經(jīng)過線性變換后仍是高斯型，所以Y是高斯隨機變量。

Y的均值：E[Y]=E[cX+d]=d

Y的方差：D[Y]=E[(Y-d)21=E[(cX)2]=c2E[(X)2]=c2-o2=c2

根據(jù)教材式(3.3-5)可得，Y的概率密度函數(shù)為：

3-2設(shè)隨機過程自(t)可表示成

4(t)=2cos(2加+0)

式中，。是一個離散隨機變量，且P(8=0)=1/2、P(0=7t/2)=1/2,試求EgK(1)]及此(0，1)。

解：當t=l時芯⑴的均值為：

EU。(1)]=E[2cos(2jrt+6)]|t=|=2E[cos(2n+0)]=2E[cosO]=2(cosO/2+cos(zr/2)/2)=1

當ti=0,t2=l時(t)的自相關(guān)函數(shù)為：(0,1)=E[4(0)-^(1)]=E[2cos0cos(2兀

+0)]=E[4COS20]=4(COS20/2+cos2(#2)/2)=2

3-3設(shè)隨機過程Y(()=X,coso)()t-X2sin(oot,若'與X?是彼此獨立且均值為0、方差為砂的高斯隨機變

量，試求：

(1)E|Y(t)]、E[Y2(t)]；

(2)Y(()的一維分布密度函數(shù)f(y)；

(3)Y(t)的相關(guān)函數(shù)R(tj,t2)和協(xié)方差函數(shù)B(tl,t2)o

解：(1)由題意得：

2

E|Y(t)|=E|X]Cosco0t-X2sin(oot]=cos(?)otE[X|]-sina)otE[X2]=0E[Y(t)]=

E[(Xicoswo1-X^sinwot)2]=cos2a)otE[X2]+siira)otE[X2]-sin(2a)ot),E[X]X)]

12

已知E[X]]=E[X2]=0,所以E[X]2]=E[X?]二02。又因為X]和X2相互獨立,所以E[X1X2]=E[XJE[X2]

二0,故

22222

E|Y(t)]=(COS(D0(+sin(o()t)o=o

(2)由于A和X?均服從高斯分布，且Y(t)是A和X?的線性組合，因此Y(I)也服從高斯分布。又

Y(I)的方差為：

D[Y(t)]=E[Y2(t)]-E2[Y(t)]=O2

將其代入教材式(3.3-5)得丫(I)的一維概率密度函數(shù)為：

1y2

(3)Y(t)的相關(guān)函數(shù)R(力，12)為：

R(ti,(2)=E[Y(tj)Y(ta)]=E[(XjCOSCDoti-X2sin(o()t|)(X)cos(0ot2-X2sincoot2)I=

22

<y[cosu)0ljcos<o0t2+sinu)ol1sinwot2]=c2cos3。(t|-t2)=c2cos3。(t2-t|)=CCOSCO0T

其中T=t2-h，則B(h,t2)=R(h，t2)-E[Y(t1)]E[Y(t2)]=R(tI,t2).

3-4已知X(t)和Y(t)是統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機過程，且它們的均值分別為ax和ay,自相關(guān)函數(shù)分別為

Rx(T)?QRY(T)0試問兩者之和的過程Z(t)=X(t)+Y⑴是否平穩(wěn)？

解：Z(t)的均值為：

E|Z(t)1=EIX(t)1+EIY(t)l=ax+aY

Z(t)的自相關(guān)函數(shù)為：

Rz(h，t2)=E[Z(t,)Z(t2)]=E{[X(t1)+Y(t|)][X(t2)+Y(t2)])=E[X(tI)X(l2)+

X(h)Y(t2)+Y(t])X?)+丫(口)Y(12)]=RX(T)+axaY+aYax+RY(T)=RX(T)+

RY(T)+2axaY

可見，Z(I)的均值為常數(shù)且自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔T有關(guān)，與時間I無關(guān)，所以Z(I)是平穩(wěn)隨機過

程。

3-5設(shè)s(t)是一個平穩(wěn)隨機脈沖序列，其功率譜密度為PJf),求已調(diào)信號c(t)=s(t)8s3cl的

功率譜密度匕(f)。

解：方法一：設(shè)s(I)的自相關(guān)函數(shù)為R、(T)。

由于s(1)的自相關(guān)函數(shù)R*(T)和功率譜密度P、(f)是一對傅里葉變換對，所以

,

Rs(T)=F-