北師大版九年級上冊數(shù)學全冊教案（2021年11月修訂）

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

1.1.1菱形及其性質(zhì)

6學?@

1.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展推理論證的能力.

2.能運用綜合法證明菱形的性質(zhì)定理和判定定理.

3.體會證明過程中所運用的歸納概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法

建學。?

掌握菱形的性質(zhì)

建學流

運用菱形的性質(zhì)解決與菱形有關(guān)的問題

翔課由。

1.提問：什么是平行四邊形?平行四邊形中相鄰兩邊有何關(guān)系？學生回顧交流.

2.教師出示生活中菱形的例子,引出這類特殊的平行四邊形一一菱形.

學生活動:觀察衣服、衣帽架和窗戶等實物圖片.

教師：同學們,在觀察圖片后，你們能從中發(fā)現(xiàn)熟悉的圖形嗎?你們認為它們

有什么樣的共同特征呢?

D,C

AB

圖1-1-1

學生1：圖片中有八年級學過的平行四邊形.

教師:請同學們觀察，圖片中的平行四邊形與圖ITT中的ABCD相比較,

還有不同點嗎？

學生2:圖片中的平行四邊形不但對邊相等,而且任意兩條鄰邊也相等.

教師：同學們觀察得很仔細，這就是我們今天要研究的一類特殊的平行四邊

形一一菱形.

通學

菱形的概念:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.

?想一想

教師:菱形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列

舉一些這樣的性質(zhì)嗎？

學生:菱形的對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分.

教師:你認為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)嗎？同學互相交流討論.

學生活動:分小組討論菱形的性質(zhì)，組長組織組員討論,讓盡可能多的組員發(fā)

言,并匯總結(jié)果.

教師活動:教師巡視,并參與到學生的討論中，啟發(fā)同學們類比平行四邊形,

從圖形的邊、角和對角線三個方面探討菱形的性質(zhì).對學生的結(jié)論,教師要及時評

價，積極引導、激勵學生.

?做一做

教師組織學生活動，即用菱形紙折一折.

教師:請同學們用菱形紙片折一折,并回答下列問題：

(1)菱形是軸對稱圖形嗎?如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置

關(guān)系？

(2)菱形中有哪些相等的線段？

學生活動:分小組折紙,探索教師問題的答案.組長組織,并匯總結(jié)果.

教師活動：教師巡視并參與學生活動，引導學生分析怎樣折紙才能得到正確

的結(jié)論.學生研討完畢,教師要展示，匯總學生的折紙方法以及相應的結(jié)論，以便

于后面的教學.

通過折菱形紙片，得出以下結(jié)論：

(1)菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,兩條對稱軸互相垂直；

(2)菱形的四條邊相等；

(3)菱形的對角線互相垂直.

教師:通過折紙活動，同學們已經(jīng)對菱形的性質(zhì)有了初步的了解,下面我們要

對菱形的第(2)(3)條性質(zhì)進行嚴格的邏輯證明.

教師出示幻燈片，引導學生證明.

已知:如圖1-卜2,在菱形ABCD中,AB=AD,對角線AC與BD相交于點0.圖1-

1-2

求證：(DABB=C=CD=AD；

(2)AC±BD.

師生共析:①菱形不但對邊相等,而且鄰邊相等,這樣就匕以證明菱形的四條

邊都相等了.②因為菱形是平夕亍四邊形,所以點0是對角線AC與BD的中點；又因

為在菱形中可以得到等腰三角形，這樣就可以利用“三線合一”來證明結(jié)論了.

學生活動:寫出證明過程,進行組內(nèi)交流對比,優(yōu)化證明方法,掌握相關(guān)定理.

教師活動:書寫板書.

證明：(1)???四邊形ABCD是菱形，

AAB=CD,AD=BC(菱形的雙邊相等).

XVAB=AD,AAB=BC=CD=AD.

(2)???AB二AD,「?△ABD是等腰三角形.

又;四邊形ABCD是菱形，

???OB=OD(菱形的對角線互相平分).

在等腰三角形ABD中，

VOB=OD,AA01BD,即AC1BD.

由上邊的證明得出以下定理：

定理:菱形的四條邊相等.

定理:菱形的對角線互相垂直.

?題0蟀

例題講解

圖1-1-3例1如圖1-1-3,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點0,Z

BAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長.

師生共析:①因為菱形的鄰邊相等，一個內(nèi)角是60°,這樣就可以得到等邊

三角形ABD,因為BD=6,所以菱形的邊長也是6.②菱形的對角線互相垂直,可以得

到直角三角形A0B;根據(jù)菱形的對角線互相平分,可以得到0B=3,根據(jù)勾股定理就

可以求出0A的長度;再一次根據(jù)菱形的對角線互相平分,即AC=2OA,求出AC.

教師活動：引導學生思考,書寫解答步驟.

解：?四邊形ARCD是菱形，

???AB=AD（菱形的四條邊相等），

AC_LBD（菱形的對角線互相垂直），

0B=0D=12BD=12X6=3（菱形的對角線互相平分）.

在等腰三角形ABD中，

???NBAD=60°,???Z\ABD是等邊三角形.

，AB=BD=6.

在RtAAOB中，由勾股定理,得0A2+0B2=AB2,

A0A=AB2-0B2=62-32=33.

???AC=20A=63（菱形的對角線互相平分）

【鞏固練習】

教材隨堂練習

補充練習：圖1-1-4.

如圖1-1-4,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點0,BD=12cm,AC=6cm,

求菱形的周長.

通堂。?

本節(jié)課應掌握：

1.菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.

Dc

/、兩組對邊一」平行￡組鄰邊相等/記八、一

/缶邊形］分別平行/四邊形/

A----BABB

2.菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，除此之外還有以下特殊性質(zhì):①

菱形是軸對稱圖形,對稱軸是兩條對角線所在的直線;②菱形的四條邊相等;③菱

形的對角線互相垂直平分.

逑后3鉞

課本習題1.1

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

1.1.1菱形的判定

.速學??

1.探索并掌握菱形的判定方法,積累經(jīng)驗,并能綜合運用，形成解決問題的

能力；

2.經(jīng)歷菱形的判定方法的探索過程,在活動中發(fā)展合情推理的意識和主動

探究的習慣,初步掌握說理的基本方法,發(fā)展有條理表達的能力.

3.通過設置問題情境,豐富學生的生活經(jīng)驗,激發(fā)學生學習數(shù)學和應用數(shù)

學的興趣和意識.

逆學

菱形的判定方法.

建學期陶

菱形的判定方法的綜合運用.

速課③Q

復習引入：

i.菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.

2.菱形的特殊性質(zhì)：（1）菱形是軸對稱圖形；（2）菱形的四條邊相等；⑶菱形

的對角線互相垂直.

今天我們就來研究一下如何判定一個四邊形是菱形.

.速學電

思考（1）:除了運用菱形的定義，你還能找出判斷一個平行四邊形是菱形的其

他方法嗎？

猜想1:如果一個平行四邊形的兩條對角線互相垂直,那么這個平行四邊形

是菱形.

D

圖1-1-5

已知:如圖1-1-5,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD互相垂直且交于點0.

求證：四邊形ABCD是菱形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???0A=0C（平行四邊形的對角線相互平分）.

XVAC1BD,

ABD所在直線是線段AC的垂直平分線，

.?.AB=BC,

???四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

得出結(jié)論：

判定定理1對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

?議一議

已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD,使AC為菱形的一條對角

線嗎？

圖1-1—7

小剛做法:如圖分別以A,C為圓心，以大于12AC的長為半徑作弧,兩條弧

分別相交于點B,D,依次連接A,B,C,D,四邊形ABCD看上去是菱形.

你認為小剛的做法正確嗎?你是怎樣做的？

圖1-1-8學生:小剛的做法正確.還可以作AC的垂直平分線MN,交AC于點0,在

MN上取0B=0D,依次連接A,B,C,D,四邊形ABCD是菱形，

思考（2）:除了運用對角線，你還有其他判定菱形的方法嗎？

猜想2:四邊相等的四邊形是菱形.

B

圖1-1-9

已知：如圖1-1-9,在四邊形ABCD中,AB二BOCD=DA.

求證：四邊形ABCD是菱形.

證明:VAB=CD,BC=AD,

???四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

又?.,AB=BC,

???四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

得出結(jié)論：

判定定理2四邊相等的四邊形是菱形.

思考:這里的條件能否再減少一些呢？能否有三條邊相等的四邊形就是菱形了呢?

猜一猜,并試著畫一畫.

學生:動手操作,得到有三條邊相等的四邊形不一定是菱形.

?做一做

你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎?動手試一試.

小穎做法：先將一張長方形的紙對折、再對:

:折，然后沿圖中的虛線剪下，將紙展開，就得到了i

:一個菱形.

對折再對折沿虛線剪下

你能說說小穎這樣做的道理嗎？

學生：小穎這樣做的道理，四邊相等的四邊形是菱形.

例題講解

圖1-1-6例2如圖1-1-6,已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線

與邊AD,BC分別交于點E,F,求證：四邊形AFCE是菱形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AE〃FC（平行四邊形的對邊平行），

TEF垂直平分AC,'AO=OC,NAOE=NCOF=90°.

???△AOEgACOF（ASA）,/.EO=FO,

???四邊形AFCE是平行四邊形1對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

又?.?EF_LAC,

???四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

?例題講解

圖1TT0例3已知:如圖在ABCD中,對角線AC與BD相交于點

0,AB=5,0A=2,0B=1.

求證：ABCD是菱形.

證明：在AAOB中，

VAB=5,0A=2,0B=l,

???AB2=A02+0B2.

???△AOB是直角三角形，NAOB是直角.

AAC1BD.

???ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

圖1-1-11例4如圖1-1-11,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD

為10cm.

求：（1）對角線AC的長度；

（2）菱形ABCD的面積.

解：⑴???四邊形ABCD是菱形,AC與BD相交于點E,

.?.NAED=90°（菱形的對角線互相垂直），

DE=12BD=12X10=5（cm）（菱形的對角線互相平分）.

???AE=AD2-DE2=132-52=12（cm）.

???AC=2AE=2X12=24（cm）（菱形的對角線互相平分）.

（2）S菱形ABCD=SAABD+SACBD

=2SAABD=2X12XBDXAE

=2X12X10X12=120（cm2）.?做一做

圖1-1-12如圖1TT2,兩張等寬的紙條交叉重疊在一起,重疊部分ABCD是菱形

嗎?為什么？

解:重疊部分ABCD是菱形.理由如下：

過點A作AH±BC交BC于點H,過點C作CQ±AB交AB于點Q.

VAD/7BC,AB/7CD,

??.四邊形ABCD是平行四邊形.

又VSABCD=BC?AH=AB?CQ,且兩張紙條等寬，

JAH二CQ,，AB=BC.

???四邊形ABCD是菱形.

【鞏固練習】

1.用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是（）.

A.等腰梯形B.正方形

C.矩形D.菱形

2,下列說法中正確的是（）.

A.有兩邊相等的平行四邊形是菱形

B,兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.兩條對角線相等且互相平分的四邊形是菱形

D,四個角相等的四邊形是菱形

巡堂。?

本節(jié)課應掌握：

菱形的判定方法：（D對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；⑵四邊相等的四邊

形是菱形.

樹后磔5

課本習題1.2,1.3

第一章特殊平行四邊形

1.2矩形的性質(zhì)與判定

1.2.1矩形的性質(zhì)

建學@@

1.了解矩形的有關(guān)概念，理解并掌握矩形的有關(guān)性質(zhì).

2.經(jīng)歷探索矩形的概念和性質(zhì)的過程,發(fā)展學生合情推理的意識；掌握幾何思維

方法.

3.培養(yǎng)嚴謹?shù)耐评砟芰Γ约白灾骱献鞯木?體會邏輯推理的思維價值.

逆學?

掌握矩形的性質(zhì)，并會運用.

速學漪

理解矩形的特殊性.

然課靦

利用一個活動的平行四邊形教具做演示，使平行四邊形的一個內(nèi)角變化,讓學生

注意觀察.在演示過程中讓學生思考：

(1)在運動過程中四邊形還是平行四邊形嗎？

學生:是平行四邊形.

(2)在運動過程中四邊形不變的是什么？

學生:對邊仍保持相等,對邊仍分別平行.

(3)在運動過程中四邊形改變的是什么？

學生:角的大小.

(4)角的大小在改變過程中有特殊值嗎?

學生:有特殊值一一90°.

這時的平行四邊形是什么圖形呢?這就是我們今天要研究的另一類特殊的平行四

邊形一一矩形.

通學磔B

矩形的概念:有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形.

-想一想

教師:矩形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一

些這樣的性質(zhì)嗎？

學生:對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分,鄰角互補.

教師:矩形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸？

學生:矩形是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸.

教師：你認為矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流.

學生：由平行四邊形對邊平行以及一個角變?yōu)?0°,可以得到該角的補角也是

90°,從而得到:矩形的四個角都是直角.

評析:實際上,在小學學生已經(jīng)學過長方形四個角都是90°,這里學生不難理解.

教師活動:用橡皮筋做出兩條對角線，讓學生觀察這兩條對角線的關(guān)系，并要求學

生證明(口述).

學生活動：觀察發(fā)現(xiàn)矩形的兩條對角線相等.口述證明過程中充分利用三角形全

等(SAS)來證明結(jié)論.

圖1-2-1

口述:如圖??,四邊形ABCD是矩形,

AZABC=ZDCB=90o,AB=DC.

又???BC為公共邊，

.,.△ABC^ADCB(SAS),

AAC=BD.

由此得到以下定理：

定理:矩形的四個角都是直角.

定理:矩形的對角線相等.

?議一議

如圖1-2-2,矩形ABCD的對角線AC與BD交于點E,那么BE是RtAABC中一條怎

樣的特殊線段?它與AC有什么大小關(guān)系？由此你能得到怎樣的結(jié)論？

學生活動:觀察、思考后發(fā)現(xiàn)BE是RtAABC中斜邊AC上的中線,且BE=12AC.由

此歸納直角三角形的一個性質(zhì)定理：

定理:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

教師:下面我們一起來證明這個定理.

己知：如圖1-2-3,在RtAABC中，BE是斜邊AC上的中線.求證:BE=12AC.

證明：如圖1-2-3,分別過點A,C作BC,AB的平行線,兩平行線交于點D.

???四邊形ABCD是平行四邊形.

又???NABC=90°,

???平行四邊形ABCD是矩形,連接ED.

AAC=BD.

XVBE是RtAABC的斜邊AC上的中線，

???點E是AC的中點，即兩條龍角線的交點.

???線段BE在線段BD上.

ABE=DE=12BD=12AC.

師生回憶:在直角三角形中,30°角所對的邊等于斜邊的一半1避免混淆）.

」出題愚。

例題講解

圖1-2-4

例1如圖1-2-4,在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點0,ZA0D=120°,AB=2.5,

求這個矩形對角線的長.（投影顯示）

師生共析:利用矩形對角線相等且平分得到0A=0D,由于NA0D=120。，故而，可以

發(fā)現(xiàn)N0DA=30°.又因為NDAB=90°,且在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜

邊的一半，所以BD=2AB=5.

解：???四邊形ABCD是矩形，

AZDAB=90°（矩形的四個角都是直角），

AC=BD（矩形的對角線相等），

0A=0C=12AC,OB=OD=12BD（矩形的對角線互相平分）.

A0A=0D.

VZA0D=120°,

.?.Z0DA=Z0AD=12X（180°-120°）=30°,

ABD=2AB=2X2.5=5.

【鞏固練習】

補充練習：

1.已知:如圖1-2-5,從矩形ABCD的頂點C作對角線BD的垂線,其延長線與

ZBAD的平分線相交于點E.求證:AOCE.

m1-2-5

思路點撥:要證明AOCE,可以考慮證明NE二NCAE.因為AE平分NBAD,所以

ZDAE=ZBAE,從圖中發(fā)現(xiàn)NCAE=NDAE-NDAC.另外一個條件是CE±BD,這樣過

點A作AFJ_BD于點F,貝ljAF〃CE,可以將NE轉(zhuǎn)化為NFAE,而NFAE=NBAE-/BAF.

現(xiàn)在只要證明NBAF=NDAC即可，而實際上，NBAF=NBDA二NDAC,問題迎刃而解.

如圖1-2-6,在aABC中，NA=2NB,CD是4ABC的高,E是AB的中點，求

證:DE=12AC.

思路點撥:本題可從E是AB的中點切入,考慮應用三角形中位線定理.應用

三角形中位線定理必須找到另一個中點.分析可知,既可以取3C的中點F,也可以

取AC的中點G進行嘗試.證法一：取BC的中點F,連接EF,DF,如圖1-2-7(1).

VE為AB的中點,??,EF12AC,???ZFEB=ZA.

VZA=2ZB,AZFEB=2ZB.

〈CD是aABC的高，

，在RtACDB中，DF=12BC=BF,/.Z1=ZB,

AZFEB=2ZB=2Z1=Z1-Z2,

AZ1=Z2,.e.DE=EF=12AC.

證法二:取AC的中點G,連接DG,EG,如圖1-2-7⑵.

〈CD是△ABC的高，

???在RtAADC也DG=12AC=AG.

YE是AB的中點，???GE〃BC,???N1=NB,

.??ZGDA=ZA=2ZB=2Z1.

XVZGDA=Z1+Z2,AZ1+Z2=2Z1,

AZ2=Z1,/.DE=DG=12AC

聾堂心翁

本節(jié)課應掌握：

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形，因此，矩形是平行四邊形

的特例,具有平行四邊形的所有性質(zhì).

2.矩形的性質(zhì)：

(1)邊的性質(zhì):對邊平行且相等.

⑵角的性質(zhì)：四個角都是直角.

⑶對角線的性質(zhì):對角線互相平分且相等.

(4)對稱性:矩形是軸對稱圖形.

、理后

課本習題1.4

第一章特殊平行四邊形

1.3正方形的性質(zhì)與判定

1.3.1正方形及其性質(zhì)

通學??

1、在對平行四邊形、矩形、菱形的認識基礎上探索正方形的性質(zhì)，體驗數(shù)學發(fā)

現(xiàn)的過程，并得出正確的結(jié)論.

2、進一步了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形及梯形之間的相互關(guān)系，并形

成文本信息與圖形信息相互轉(zhuǎn)化的能力.

通學萌

掌握正方形的概念、性質(zhì)。

建學霞圖

運用正方形的性質(zhì)進行有關(guān)的論證和計算。

遂課

復習引入：

1.什么叫作平行四邊形?什么叫作矩形？

2.矩形有哪些性質(zhì)？

3.矩形與平行四邊形有什么共同之處?有什么不同之處？

你知道如何判定一個四邊形是矩形嗎？

事例引入：

小華想要做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物,于是找來兩根長度相等的短木條

和兩根長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做的是矩形相框嗎？

這就是今天我們要研究的矩形的判定方法.

通學期B

.做一做

圖1-2-8是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的

形狀會發(fā)生變化.

圖1-2-8

教師:隨著Na的變化，兩條定角線將發(fā)生怎樣的變化？

學生:一條對角線由長變短,另一條對角線由短變長.

教師:當兩條對角線相等時，平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜

想？

學生:平行四邊形的四個角均為直角.猜想:對角線相等的平行四邊形是矩形.

由此得到矩形的一個判定定理：

定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.

教師:下面我們來證明此定理.

圖1-2-9

己知：如圖1-2-9,在ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.

求證：ABCD是矩形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AB=DC,AB〃DC.

又TBOCB,AC=DB,

AAABC^ADCB.

:.NABONDCB.

VAB/7DC,

ZABC+ZDCB=180°,

.?.ZABC=ZDCB=12X180°=90°.

???ABCD是矩形（矩形的定義）

?想一想

教師:我們知道矩形的四個角都是直角.反過來,一個四邊形至少有幾個角是直角

時,這個四邊形就是矩形呢?請證明你的結(jié)論,并與同伴交流.

學生:一個四邊形至少有三個角是直角時,這個四邊形才是矩形.

證明略（提示:一個四邊形的內(nèi)角和為360。，已知三個內(nèi)角均為90。，從而可求

出最后一個內(nèi)角也為90°）.

由此得到矩形的一個判定定理：

定理:有三個角是直角的四邊形是矩形.

?議一議

你有什么方法檢查你家（或教室）剛安裝的門框是不是矩形?如果僅有一根較長的

繩子,你怎樣檢查?請說明檢查方法的合理性,并與同伴交流.

學生:先用繩子測量門框的兩組對邊,若兩組對邊分別相等,則門框為平行四邊形;

再用繩子測量門框的對角線,若兩條對角線相等,則門框為矩形.

.出題令每

例題講解

圖1-2-10

例2如圖1-2T0,在ABCD中,對角線AC和BD相交于點0,AAB0是等邊三角

形,AB=4,求ABCD的面積.

解：:四邊形ABCD是平行四邊形，

/.0A=0C,0B=0D.

又二?△ABO是等邊三角形，

A0A=0B=AB=4,

/.0A=0B=0C=0D=4,

AAC=BD=20A=2X4=8,

???ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.

AZABC=90°（矩形的四個角都是直角）.

在RtAABC中，由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

ABC=AC2-AB2=82-42=43.

ASABCD=AB?BC=4X43=163

例3如圖1-2-11,在矩形ABCD中,AD=6,對角線AC與BD交于點0,AE±BD,垂足

為點E,ED=3BE.求AE的長.

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

???NBAD=90。（矩形的四個角都是直角），

AC=BD（矩形的對角線相等），

A0=C0=12AC,B0=D0=12BD（矩形的對角線互相平分），

AA0=B0=D0=12BD.

VED=3BE,ABE=0E.

XVAE1BD,AAB=A0.AAB=A0=B0,

即△ABO是等邊三角形，???NAB0=60。.

AZADB=90°-ZAB0=90°-60°=30°,

AAE=12AD=12X6=3.

例4如圖在AABC中,AB=AC,AD是AABC的一條角平分線,AN為AABC的

外角ZCAM的平分線,CE1AN,垂足為點E.求證：四邊形ADCE是矩形.

證明：VAD平分NBAC,AN平分NCAM,

AZCAD=12ZBAC,ZCAN=12ZCAM,

AZDAE=ZCAD+ZCAN=12（ZBAC+ZCAM）=12X180°=90°.

在AABC中，

VAB=AC,AD為NBAC的平分線，

AAD1BC,AZADC=90°.

XVCE1AN,AZCEA=90°.

...四邊形ADCE為矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形).

想一想

在例4中,若連接DE,交AC于點在如圖1-2-13).

圖1-2-13

⑴試判斷四邊形ABDE的形狀,并證明你的結(jié)論.

(2)線段DF與AB有怎樣的關(guān)系?請證明你的結(jié)論.解：(1)四邊形ABDE是平行四

邊形.證明如卜：

由例4可知四邊形ADCE是矩形，

???AN〃BC,AE=DC.

，AE〃BD.

，四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)DF=12AB.證明如下：

由例4可知四邊形ADCE是矩形，

???AF=FC=FE=DF,.二DF=12AC.

又「AB=AC,???DF=12AB.

【鞏固練習】

教材隨堂練習

補充練習：

1.己知:如圖1-2-14,在菱形ABCD中,對角線AC和BD相交于點0,CM/7BD,DM〃

AC.求證：四邊形0CMD是矩形.

圖1-2-14

2.己知:如圖1-2-15,ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E,F,G,H.求證:

四邊形EFGH是矩形.

通堂o?

本節(jié)課應掌握：

矩形的判定定理：（1）對角線相等的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四

邊形是矩形。

、承后外

課本習題1.5,1.6

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

通學??

【知識與技能】

使學生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)，并會用

它們進行有關(guān)的論證和計算.

【過程與方法】

學會用正方形的性質(zhì)解決一些問題，進一步發(fā)展學生的推理能力，促進其

逐步掌握說理的基本方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過分析正方形的概念、性質(zhì)與矩形、菱形的概念、性質(zhì)的聯(lián)系和區(qū)別，

對學生進行辯證唯物主義教育.

通學萌

正方形的性質(zhì).

通學漪

正方形的性質(zhì).

遨具電管

多媒體課件.

詢課g

（課件展示問題）1.在我們的生活中除了平行四邊形、矩形、菱形外，還有

什么特殊的平行四邊形呢？

2.展示正方形圖片，學生觀察它們有什么共同特征？

【教學說明】學生回答后，再展示圖片，使學生感受到生活中到處存在數(shù)學，

激發(fā)學習熱情.

通學?

一、思考探究，獲取新知

1.做一做：用一張長方形的紙片折出一個正方形.

2.觀察：這個正方形具有哪些性質(zhì)？

【教學說明】讓學生在動手操作中對正方形產(chǎn)生感性認識.

【歸納結(jié)論】正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等且

互相垂直平分.

3.議一議：平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個

圖直觀地說明嗎？

【教學說明】小組交流，引導學生從角、對角線的角度歸納總結(jié).使學生感受

變化過程，更清晰地了解各四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別.

1.見教材P21例1.

2.如圖，AABC是一個等腰直角三角形，DEFG是其內(nèi)接正方形，H是正方形

的對角線交點；那么，由圖中的線段所構(gòu)成的三角形中互相全等的三角形的對數(shù)

為()

A.12B.13C.26D.30

解析：根據(jù)全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數(shù)，由于圖中全等三

角形的對數(shù)較多，可以根據(jù)斜邊長的不同確定對數(shù)，可以做到不重不漏.設AB=3,

圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為1的有5個，它們組成10

對全等三角形；斜邊長為正的有6個，它們組成15對全等三角形；斜邊長為2

的有2個，它們組成1對全等三角形；共計26對.故選C.

3.已知正方形ABCD在直角坐標系內(nèi)，點A(0,1),點B(0,0),則點C,

D坐標分別為(1,0)和(1,1).(只寫一組)

解析：首先根據(jù)正方形ABCD的點A(0,1),點B(0,0),在坐標系內(nèi)找

出這兩點，根據(jù)正方形各邊相等，從而可以確定C,D的坐標.??,正方形ABCD的

點A(0,1),點B(0,0),???AD〃x軸，CD〃y軸，這樣畫出正方形，即可得出

C與D的坐標，分別為：C(1,0),D(1,1).

4.如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC,BC上，AG_LEF,垂足為G,

且AG=AB,求NEAF度數(shù).

分析：根據(jù)角平分線的判定，可得出△ABFgZXAGF,故有NBAF二NGAF,再

證明△AGEgAADE,有NGAE=NDAE,所以可得NEAF=45。.

解：在RtAABF與RtAAGF中,

VAB=AG,AF=AF,ZB=ZG=90°,

/.△ABF^AAGF(HL),

AZBAF=ZGAF,

同理易得：ZiAGE絲Z\ADE,

有NGAE二NDAE；

即NEAF=NEAG+NFAG

=-(ZDAG+ZBAG)

2

弓NDAB=45。，

故NEAF=45°

【教學說明】主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定.

5.如圖,正方形ABCD中，AB=3,點E、F分別在BC、CD上，且NBAE=30°,

ZDAF=15°.

(1)求證：DF+BE=EF；

(2)求NEFC的度數(shù).

分析：（1）延長EB至G,使BG=DF,連接AG.利用正方形的性質(zhì)，證明△

AGE^AAFE,AFAE^AGAE,得出DF+BE=EF；

（2）根據(jù)△AGEgZ\AFE及角之間的關(guān)系從而求得NEFC的度數(shù);

解：（1）延長EB至G,使BG=DF,連接AG,

EC

???四邊形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=900,

BG=DF,

.'.△ABG^AADF,

AAG=AF,

VZBAE=30",ZDAF=15°,

.,.ZFAE=ZGAE=45°,

VAE=AE,

/.△FAE^AGAE,

.e.EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）VAAGE^AAFE,

ZAFE=ZAGE=ZDFA=90°-ZDAF=75°,

AZEFC=1800-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°,

.?.ZEFC=30°.

【教學說明】學生獨立完成以培養(yǎng)學生的獨立意識.

建堂。?

1.師生共同回顧正方形有哪些性質(zhì)？

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

【教學說明】教師應與學生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學還面臨的問題，可

讓學生與同伴交流獲得結(jié)果，也可課后個別輔導，幫助他分析，找出問題原因，

及時查漏補缺.

避書卷階

平行

有一期福功相等四邊涔

正方形定義

有一個篇是直角

有一組鄰邊相等

畫研或?qū)杖缦?個

有一個角是亶角判定

叵而斗.時面a等M

逑后

1.布置作業(yè):教材“習題1.7”中第2、3題.

2.完成練習冊中相應練習.

通學。?

本課雖然是學習正方形的性質(zhì)，實際上應起到對平行四邊形、矩形、菱形性

質(zhì)的復習、歸納和總結(jié)的作用，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.

第一章特殊平行四邊形

1.3正方形的性質(zhì)與判定

13.2正方形的判定

通學??

【知識與技能】

1.掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定，并會用它們進行有關(guān)的論證和計算.

2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索正方形有關(guān)性質(zhì)、判定重要條件的過程.在觀察中尋求新知，在探

索中發(fā)展推理能力，逐步掌握說理的基本方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系的教學對學生進行辯證唯物主

義教育，提高學生的邏輯思維能力.

通學萌

正方形的判定方法.

逆學前

正方形的判定方法.

棗具金

多媒體課件.

加課。Q

（課件展示問題）寧寧在商場看中了一塊方形紗巾，但不知是否是正方形,

只見銷售員阿姨拉起紗巾的一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾

的另一組對角，只見另一組對角也能完全重合，認為是正方形，把紗巾給了寧寧.

你認為手上的紗巾一定是正方形嗎？

【教學說明】采用情境引入，使學生主動的聯(lián)想、想象、積極地發(fā)散思維,

也體現(xiàn)了數(shù)學建模思想.

通學電（B

一、思考探究，獲取新知

1.引導學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.“對折兩次，能夠完全重合”實際

上告訴了我們什么？小組討論說一說.

2.匯報討論結(jié)果，統(tǒng)一結(jié)果.對折兩次可以得出四邊相等，也可以得出對角

線垂直平分，即紗巾的兩條充角線是對稱軸，即只能保證紗巾是菱形.

【教學說明】學生自己動手用紙代替紗巾折一折，鼓勵學生說出自己的結(jié)論

和想法.

思考：由矩形變?yōu)檎叫芜€需要哪些條件？由菱形變?yōu)檎叫芜€需要哪些

條件？

【教學說明】引導學生獨立思考，得到正方形所需要的條件.

【歸納結(jié)論】對角線相等的菱形是正方形；對角線垂直的矩形是正方形；有

一個角是直角的菱形叫做正方形.

二、典例精析，掌握新知

1.見教材P23例2.

2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（D）

A.當AB=BC時，它是菱形

B.當AC_LBD時，它是菱形

C.當NABO90。時，它是矩形

D.當AOBD時，它是正方形

解析：A、正確，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；B、正確，對角線互相

垂直的平行四邊形是菱形；C、正確，有一個角為90°的平行四邊形是矩形；D、

不正確，對角線相等的平行四邊形是矩形而不是正方形.故選D.

3.用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：（1）平行四邊形（不包含菱形、矩

形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼

成的圖形是（A）

A.(1)(2)(5)B.(2)(3)(5)

C.(1)(4)(5)D.(1)(2)(3)

解析：兩個全等的直角三角形直角邊重合拼成的四邊形一定是平行四邊形；

直角邊重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜邊重合拼成的四邊形一定是矩形.

【教學說明】本題考查學生的動手能力，有些題只要學生動手就能很快解決，

注意題目的要求有“一定”二字.

4.已知：如圖，D是AABC的BC邊上的中點，DE1AC,DF1AB,垂足分別是

E、F.且BF=CE

RD

(1)求證：AABC是等腰三角形；

(2)當NA=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結(jié)論.

分析：先利用HL判定RtZXBDF空RtZ\CDE,從而得到NB二NC,即△ABC是等

腰三角形；

由已知可證明它是矩形，因為有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方

形.

(1)證明：VDE1AC,DF1AB,

???NBFD=NCED=90°,

又???BD=CD,BF=CE,

ARtABDF^RtACDE,

???NB=NC.

故AABC是等腰三角形；

(2)解：四邊形AFDE是正方形.

證明：VZA=90°,DE.LAC,DF1AB,

???四邊形AFDE是矩形，

XVRtABDF^RtACDE,

???DF=DE,

，矩形AFDE是正方形.

5.如圖，己知平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,E是BD延長線

上的點，且AACE是等邊三角形.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若NAED=2NEAD,求證：四邊形ABCD是正方形.

分析：（1）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.由題意易得

COE,AZA0E=ZC0E=90°,ABE1AC,工四邊形ABCD是菱形；

（2）根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形.由題意易得NADONDAE+N

DEA=15°+30°=45°,,?,四邊形ABCD是菱形，???NBAD=2NDA0=90°,2四邊形

ABCD是正方形.

證明：（1）???四邊形ABCD是平行四邊形，

??.AO=CO.

VAACE是等邊三角形，

AE01AC（三線合一）

???四邊形ABCD是菱形.

（2）從上易得：^AOE是直角三角形，

,ZAED+ZEA0=90°

VAACE是等邊三角形，

/.ZEA0=60°,

:.ZAED=30°

丁ZAED=2ZEAD

AZEAD=15",

???ZDA0=ZEA0-ZEAD=45°

??,四邊形ABCD是菱形，

??.ZBAD=2ZDA0=90°

???平行四邊形ABCD是正方形.

【教學說明】學生先獨立完成，然后將不會的問題各小組交流討論得出結(jié)果.

既達到鞏固新知識的目的又能讓學生意識到數(shù)學知識的應用是非常容易的.養(yǎng)成

學以致用的好習慣.

避堂O?

1.師生共同回顧正方形有哪些判定定理？

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

通書命船

邊對邊平行、四條邊相等

<~0----------------------------------------

角三個角都是直角

,對角線「相等且互相垂直平分

正方形［

避后獨

1.布置作業(yè)：教材“習題L8”中第3、4題.

2.完成練習冊中相應練習.

建學。?

前邊已經(jīng)學習了平行四邊形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行

四邊形、矩形、菱形的判定的綜合.可以通過本節(jié)的學習總結(jié)、歸納前面所學內(nèi)

容，理清學習中存在的一些模糊概念，有助于我們發(fā)展演繹推理能力.

第二章一元二次方程

2.1認識一元二次方程

2.1.1一元二次方程

通學??

1.要求學生會根據(jù)具體問題列出一元二次方程.通過“未鋪地毯區(qū)域有多寬”，“梯

子的底端滑動多少米”等問題的提出，讓學生列出方程,體會方程的模型思想，培

養(yǎng)學生把文字敘述的問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言的能力.

2.通過教師的講解和引導，使學生抽象出一元二次方程的概念,培養(yǎng)學生歸納分

析的能力.

學學

一元二次方程的概念.

通學前

如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學方程.

理課

導語:小學五年級學習過簡易方程,上初中后學習了一元一次方程,二元一次方程

組,可化為一元一次方程的分式方程,運用方程方法可以解決眾多代數(shù)問題和幾

何求值問題,是一種常見的數(shù)學方法.從這節(jié)課開始學習一元二次方程知識,先來

學習一元二次方程的有關(guān)概念.

通學期B

播放“未鋪地毯區(qū)域有多寬”的課件

圖2-1-1

幼兒園活動教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準備在地面的正中間鋪設一塊

面積為18m2的地毯（如圖2-1-1）,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同.你能

求出這個寬度嗎？

教師:根據(jù)這一情境,結(jié)合已知量你想求哪些量？

學生:想求出地毯的長和寬.

教師:根據(jù)條件，你能列出關(guān)于這個量的什么關(guān)系式？

學生:地毯的長x地毯的寬=18.

教師:如果設所求的寬度為x叫那么你能列出怎樣的方程？

學生:地毯的長為(8-2x)m,地毯的寬為(5-2x)m,根據(jù)題意,可列方程為(8-2x)(5-

2x)=18.板書等式102+112+122=132+142,提出問題

觀察下面等式：102+112+122=132+142,你還能找到五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的

平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎？

教師:如果將這五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)設為x,那么怎樣用含x的代數(shù)式表示

其余四個數(shù)？

學生:第二個數(shù)是x+1,第三個數(shù)是x+2,第四個數(shù)是x+3,第五個數(shù)是x+4.

教師:根據(jù)題意，你能列出怎樣的方程？

學生:x2+(x+l)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

播放“梯子的底端滑動多少米”的課件

如圖2-1-2,一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為

8m.如果梯子的頂端下滑1ni,那么梯子的底端滑動多少米？

(1)(2)

圖2-1-2

教師:你能計算出滑動前梯子底端距墻的距離嗎？

學生:根據(jù)勾股定理，可以知道滑動前梯子底端距墻的距離為6m.

教師:如果設梯子底端滑動xm.那么你能列出怎樣的方程？

學生：(x+6)2+72=102.

?議一議

由上面三個問題,我們可以得到三個方程：

(8-2x)(5-2x)=18.

x2+(x+l)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

(x+6)2+72=102.

教師:這三個方程有什么共同痔點？

學生:這三個方程都只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

教師：還有沒有其他的共性？比如:從整式和分式的角度,展開、整理后的形式的角

度.

學生:它們都是整式.

由此得到一元二次方程的概念:只含有一個未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化

成ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a20)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.

一元二次方程的一般形式:我冶把ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),aWO)稱為一元二

次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項,a,b分別

稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).

例1將方程3x(x-l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中

的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

分析：一元二次方程的一般形式是加+版+c=0(在0),因此，方程3x(x?l)

=5(x+2)必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.

解：去括號，得

移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式為3f-&x-10=0.

其中二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-8,常數(shù)項為-10.

注意：二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符

號.

例2(學生活動：請二至三位同學上臺演練)將方程(x+l)2+(x-2)(x+2)

=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)，一次項、

一次項系數(shù)，常數(shù)項.

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(X+1)2+(x-2)(x+2)=1化成

ax^+bx+c^(￡#0)的形式.

解：去括號，得壯+2；1+1+式2-4=1.

移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式為1+叱2=0.

其中二次項為二次項系數(shù)為1,一次項為工,一次項系數(shù)為1,常數(shù)項為

-2.

一元二次方程的根的概念：

(1)類比一元一次方程的根的概念獲得一元二次方程的根的概念.

(2)下面哪些數(shù)是方程~+5戶6=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

【鞏固練習】

教材第4頁練習第1,2題.

補充練習：

1.判斷下列方程是否為一元二次方程.

(1)3x+2=5y-3；(2)f=4；

(3)3^--=0；(4)f-4=(x+2)2；

X

(5)av2+Z?x+c=0.

解：(1)(3)(4)(5)不是一元二次方程.

(2)是一元二次方程.

2.以?2為根的一元二次方程是(D).

A.1=0B.X2-A-2=0C.X2+X+2=00.^+%-2=0

3.已知方程5f+mr-6=0的一個根是x=3,則m的值為-13.

例3求證：關(guān)于x的方程(加2_8加+17)r+Z/nr+lR,不論團取何值該方程

都是一元二次方程.

分析:要證明不論m取何值該方程都是一元二次方程，只要證明加2_8m+17#0

即可.

證明：m2-8/n+17=(w-4)2+1,

*.*(w-4)2>0,/.(w-4)2+1>0,

(zw-4)2+1#0,即/-8加+17#0.

，不論〃［取何值，該方程都是一元二次方程.

【鞏固練習】

補充練習：

1.下列方程哪些是一元二次方程？

(l)7x2-6x=0;(2)2x2-5xy+6y=0;

(3)2x2-13x-l=0;(4)y22=0;

(5)x2+2x-3=l+x2.

2.關(guān)于x的方程(k—3)x2+2x—l=0,當k時,該方程是一元二次方程.

3.關(guān)于x的方程(k2—l)x2+2(k—l)x+2k+2=0,當k時,該方程是一元二次方

程，當k時,該方程是一元一次方程.

通堂。?

本節(jié)課要掌握：

1.一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成

ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a^O)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:我們把ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),aWO)稱為一元

一次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分別稱為一次項、一次項和常數(shù)項,a,h分

別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).

逆后犍

課本習題2.1

第二章一元二次方程

2.1認識一元二次方程

2.1.1一元二次方程的解及近似解的估算

通學??

1.探索一元二次方程的解或近似解.

2.培養(yǎng)學生的估算意識和能力.

3.經(jīng)歷方程解的探索過程,增進對方程解的認識.

通學萌

探索一元二次方程的解或近似解.

通學??

培養(yǎng)學生的估算意識和能力.

曲課M

在上一節(jié)課中,我們得到了如下的兩個一元二次方程：

(8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+ll=0;

(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.

發(fā)現(xiàn)了一元二次方程在現(xiàn)實生活中具有同樣廣泛的應用.上一節(jié)課的兩個問題是

否已經(jīng)得以完全解決?你能求出各方程中的x的值嗎？

通學期B

估算教室未鋪地毯區(qū)域的寬

教室未鋪地毯區(qū)域的寬x(m),滿足方程(8-2x)(5-2x)=18,你能求出x嗎？

教師:x可能小于0嗎?說說你的理由.

學生:x不可能小于0,因為x表示區(qū)域的寬度.

教師:x可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?為什么？

學生:x不可能大于4,也不可能大于2.5,因為當x大于4和x大于2.5時，將分

別使原矩形地面的長和寬小于0,不符合實際情況.

教師:完成下表：

0.511.52

(8-2x)(5-2x)

學生:表格從左到右依次填入28,18,10,4.

教師：你知道教室未鋪地毯區(qū)域的寬x(m)是多少嗎?還有其他求解方法嗎？與同

伴交流.

學生:區(qū)域?qū)挾葹?米.

另解：因為8-2x比5-2x多3,將18分解為6X3,令8-2x=6,解得x=l.

?做一做

梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x-15=0.

(1)小明認為底端也滑動了1ni,他的說法正確嗎?為什么？

(2)底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？

⑶你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？

(4)x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾？

附學生對第(3)問的說理過程如下：

在此題中，我認為x的取信范圍是OVxV4.首先,梯子滑動的距離x>0是顯而易

見的，在圖2T-3中，求得BO6m,而BDV10m,因此CDV4m.所以x的取值范圍

是0VxV4.

學生完成下面的表格：

X01234

X2+12%-15-15-2133049

雖然沒能在這些整數(shù)取值中找到方程的解，但通過表格分析發(fā)現(xiàn),當x的取值是1

和2時,所對應代數(shù)式的值是-2和13,而且隨著x的取值越大,相應代數(shù)式的值

也越