北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)全冊教案（2021年11月修訂）

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

1.1.1菱形及其性質(zhì)

6學(xué)?@

1.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展推理論證的能力.

2.能運用綜合法證明菱形的性質(zhì)定理和判定定理.

3.體會證明過程中所運用的歸納概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法

建學(xué)。?

掌握菱形的性質(zhì)

建學(xué)流

運用菱形的性質(zhì)解決與菱形有關(guān)的問題

翔課由。

1.提問：什么是平行四邊形?平行四邊形中相鄰兩邊有何關(guān)系？學(xué)生回顧交流.

2.教師出示生活中菱形的例子,引出這類特殊的平行四邊形一一菱形.

學(xué)生活動:觀察衣服、衣帽架和窗戶等實物圖片.

教師：同學(xué)們,在觀察圖片后，你們能從中發(fā)現(xiàn)熟悉的圖形嗎?你們認為它們

有什么樣的共同特征呢?

D,C

AB

圖1-1-1

學(xué)生1：圖片中有八年級學(xué)過的平行四邊形.

教師:請同學(xué)們觀察，圖片中的平行四邊形與圖ITT中的ABCD相比較,

還有不同點嗎？

學(xué)生2:圖片中的平行四邊形不但對邊相等,而且任意兩條鄰邊也相等.

教師：同學(xué)們觀察得很仔細，這就是我們今天要研究的一類特殊的平行四邊

形一一菱形.

通學(xué)

菱形的概念:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.

?想一想

教師:菱形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列

舉一些這樣的性質(zhì)嗎？

學(xué)生:菱形的對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分.

教師:你認為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)嗎？同學(xué)互相交流討論.

學(xué)生活動:分小組討論菱形的性質(zhì)，組長組織組員討論,讓盡可能多的組員發(fā)

言,并匯總結(jié)果.

教師活動:教師巡視,并參與到學(xué)生的討論中，啟發(fā)同學(xué)們類比平行四邊形,

從圖形的邊、角和對角線三個方面探討菱形的性質(zhì).對學(xué)生的結(jié)論,教師要及時評

價，積極引導(dǎo)、激勵學(xué)生.

?做一做

教師組織學(xué)生活動，即用菱形紙折一折.

教師:請同學(xué)們用菱形紙片折一折,并回答下列問題：

(1)菱形是軸對稱圖形嗎?如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置

關(guān)系？

(2)菱形中有哪些相等的線段？

學(xué)生活動:分小組折紙,探索教師問題的答案.組長組織,并匯總結(jié)果.

教師活動：教師巡視并參與學(xué)生活動，引導(dǎo)學(xué)生分析怎樣折紙才能得到正確

的結(jié)論.學(xué)生研討完畢,教師要展示，匯總學(xué)生的折紙方法以及相應(yīng)的結(jié)論，以便

于后面的教學(xué).

通過折菱形紙片，得出以下結(jié)論：

(1)菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,兩條對稱軸互相垂直；

(2)菱形的四條邊相等；

(3)菱形的對角線互相垂直.

教師:通過折紙活動，同學(xué)們已經(jīng)對菱形的性質(zhì)有了初步的了解,下面我們要

對菱形的第(2)(3)條性質(zhì)進行嚴格的邏輯證明.

教師出示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生證明.

已知:如圖1-卜2,在菱形ABCD中,AB=AD,對角線AC與BD相交于點0.圖1-

1-2

求證：(DABB=C=CD=AD；

(2)AC±BD.

師生共析:①菱形不但對邊相等,而且鄰邊相等,這樣就匕以證明菱形的四條

邊都相等了.②因為菱形是平夕亍四邊形,所以點0是對角線AC與BD的中點；又因

為在菱形中可以得到等腰三角形，這樣就可以利用“三線合一”來證明結(jié)論了.

學(xué)生活動:寫出證明過程,進行組內(nèi)交流對比,優(yōu)化證明方法,掌握相關(guān)定理.

教師活動:書寫板書.

證明：(1)???四邊形ABCD是菱形，

AAB=CD,AD=BC(菱形的雙邊相等).

XVAB=AD,AAB=BC=CD=AD.

(2)???AB二AD,「?△ABD是等腰三角形.

又;四邊形ABCD是菱形，

???OB=OD(菱形的對角線互相平分).

在等腰三角形ABD中，

VOB=OD,AA01BD,即AC1BD.

由上邊的證明得出以下定理：

定理:菱形的四條邊相等.

定理:菱形的對角線互相垂直.

?題0蟀

例題講解

圖1-1-3例1如圖1-1-3,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點0,Z

BAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長.

師生共析:①因為菱形的鄰邊相等，一個內(nèi)角是60°,這樣就可以得到等邊

三角形ABD,因為BD=6,所以菱形的邊長也是6.②菱形的對角線互相垂直,可以得

到直角三角形A0B;根據(jù)菱形的對角線互相平分,可以得到0B=3,根據(jù)勾股定理就

可以求出0A的長度;再一次根據(jù)菱形的對角線互相平分,即AC=2OA,求出AC.

教師活動：引導(dǎo)學(xué)生思考,書寫解答步驟.

解：?四邊形ARCD是菱形，

???AB=AD（菱形的四條邊相等），

AC_LBD（菱形的對角線互相垂直），

0B=0D=12BD=12X6=3（菱形的對角線互相平分）.

在等腰三角形ABD中，

???NBAD=60°,???Z\ABD是等邊三角形.

，AB=BD=6.

在RtAAOB中，由勾股定理,得0A2+0B2=AB2,

A0A=AB2-0B2=62-32=33.

???AC=20A=63（菱形的對角線互相平分）

【鞏固練習(xí)】

教材隨堂練習(xí)

補充練習(xí)：圖1-1-4.

如圖1-1-4,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點0,BD=12cm,AC=6cm,

求菱形的周長.

通堂。?

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.

Dc

/、兩組對邊一」平行￡組鄰邊相等/記八、一

/缶邊形］分別平行/四邊形/

A----BABB

2.菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，除此之外還有以下特殊性質(zhì):①

菱形是軸對稱圖形,對稱軸是兩條對角線所在的直線;②菱形的四條邊相等;③菱

形的對角線互相垂直平分.

逑后3鉞

課本習(xí)題1.1

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

1.1.1菱形的判定

.速學(xué)??

1.探索并掌握菱形的判定方法,積累經(jīng)驗,并能綜合運用，形成解決問題的

能力；

2.經(jīng)歷菱形的判定方法的探索過程,在活動中發(fā)展合情推理的意識和主動

探究的習(xí)慣,初步掌握說理的基本方法,發(fā)展有條理表達的能力.

3.通過設(shè)置問題情境,豐富學(xué)生的生活經(jīng)驗,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)

學(xué)的興趣和意識.

逆學(xué)

菱形的判定方法.

建學(xué)期陶

菱形的判定方法的綜合運用.

速課③Q

復(fù)習(xí)引入：

i.菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.

2.菱形的特殊性質(zhì)：（1）菱形是軸對稱圖形；（2）菱形的四條邊相等；⑶菱形

的對角線互相垂直.

今天我們就來研究一下如何判定一個四邊形是菱形.

.速學(xué)電

思考（1）:除了運用菱形的定義，你還能找出判斷一個平行四邊形是菱形的其

他方法嗎？

猜想1:如果一個平行四邊形的兩條對角線互相垂直,那么這個平行四邊形

是菱形.

D

圖1-1-5

已知:如圖1-1-5,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD互相垂直且交于點0.

求證：四邊形ABCD是菱形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???0A=0C（平行四邊形的對角線相互平分）.

XVAC1BD,

ABD所在直線是線段AC的垂直平分線，

.?.AB=BC,

???四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

得出結(jié)論：

判定定理1對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

?議一議

已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD,使AC為菱形的一條對角

線嗎？

圖1-1—7

小剛做法:如圖分別以A,C為圓心，以大于12AC的長為半徑作弧,兩條弧

分別相交于點B,D,依次連接A,B,C,D,四邊形ABCD看上去是菱形.

你認為小剛的做法正確嗎?你是怎樣做的？

圖1-1-8學(xué)生:小剛的做法正確.還可以作AC的垂直平分線MN,交AC于點0,在

MN上取0B=0D,依次連接A,B,C,D,四邊形ABCD是菱形，

思考（2）:除了運用對角線，你還有其他判定菱形的方法嗎？

猜想2:四邊相等的四邊形是菱形.

B

圖1-1-9

已知：如圖1-1-9,在四邊形ABCD中,AB二BOCD=DA.

求證：四邊形ABCD是菱形.

證明:VAB=CD,BC=AD,

???四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

又?.,AB=BC,

???四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

得出結(jié)論：

判定定理2四邊相等的四邊形是菱形.

思考:這里的條件能否再減少一些呢？能否有三條邊相等的四邊形就是菱形了呢?

猜一猜,并試著畫一畫.

學(xué)生:動手操作,得到有三條邊相等的四邊形不一定是菱形.

?做一做

你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎?動手試一試.

小穎做法：先將一張長方形的紙對折、再對:

:折，然后沿圖中的虛線剪下，將紙展開，就得到了i

:一個菱形.

對折再對折沿虛線剪下

你能說說小穎這樣做的道理嗎？

學(xué)生：小穎這樣做的道理，四邊相等的四邊形是菱形.

例題講解

圖1-1-6例2如圖1-1-6,已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線

與邊AD,BC分別交于點E,F,求證：四邊形AFCE是菱形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AE〃FC（平行四邊形的對邊平行），

TEF垂直平分AC,'AO=OC,NAOE=NCOF=90°.

???△AOEgACOF（ASA）,/.EO=FO,

???四邊形AFCE是平行四邊形1對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

又?.?EF_LAC,

???四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

?例題講解

圖1TT0例3已知:如圖在ABCD中,對角線AC與BD相交于點

0,AB=5,0A=2,0B=1.

求證：ABCD是菱形.

證明：在AAOB中，

VAB=5,0A=2,0B=l,

???AB2=A02+0B2.

???△AOB是直角三角形，NAOB是直角.

AAC1BD.

???ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

圖1-1-11例4如圖1-1-11,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD

為10cm.

求：（1）對角線AC的長度；

（2）菱形ABCD的面積.

解：⑴???四邊形ABCD是菱形,AC與BD相交于點E,

.?.NAED=90°（菱形的對角線互相垂直），

DE=12BD=12X10=5（cm）（菱形的對角線互相平分）.

???AE=AD2-DE2=132-52=12（cm）.

???AC=2AE=2X12=24（cm）（菱形的對角線互相平分）.

（2）S菱形ABCD=SAABD+SACBD

=2SAABD=2X12XBDXAE

=2X12X10X12=120（cm2）.?做一做

圖1-1-12如圖1TT2,兩張等寬的紙條交叉重疊在一起,重疊部分ABCD是菱形

嗎?為什么？

解:重疊部分ABCD是菱形.理由如下：

過點A作AH±BC交BC于點H,過點C作CQ±AB交AB于點Q.

VAD/7BC,AB/7CD,

??.四邊形ABCD是平行四邊形.

又VSABCD=BC?AH=AB?CQ,且兩張紙條等寬，

JAH二CQ,，AB=BC.

???四邊形ABCD是菱形.

【鞏固練習(xí)】

1.用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是（）.

A.等腰梯形B.正方形

C.矩形D.菱形

2,下列說法中正確的是（）.

A.有兩邊相等的平行四邊形是菱形

B,兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.兩條對角線相等且互相平分的四邊形是菱形

D,四個角相等的四邊形是菱形

巡堂。?

本節(jié)課應(yīng)掌握：

菱形的判定方法：（D對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；⑵四邊相等的四邊

形是菱形.

樹后磔5

課本習(xí)題1.2,1.3

第一章特殊平行四邊形

1.2矩形的性質(zhì)與判定

1.2.1矩形的性質(zhì)

建學(xué)@@

1.了解矩形的有關(guān)概念，理解并掌握矩形的有關(guān)性質(zhì).

2.經(jīng)歷探索矩形的概念和性質(zhì)的過程,發(fā)展學(xué)生合情推理的意識；掌握幾何思維

方法.

3.培養(yǎng)嚴謹?shù)耐评砟芰?，以及自主合作的精?體會邏輯推理的思維價值.

逆學(xué)?

掌握矩形的性質(zhì)，并會運用.

速學(xué)漪

理解矩形的特殊性.

然課靦

利用一個活動的平行四邊形教具做演示，使平行四邊形的一個內(nèi)角變化,讓學(xué)生

注意觀察.在演示過程中讓學(xué)生思考：

(1)在運動過程中四邊形還是平行四邊形嗎？

學(xué)生:是平行四邊形.

(2)在運動過程中四邊形不變的是什么？

學(xué)生:對邊仍保持相等,對邊仍分別平行.

(3)在運動過程中四邊形改變的是什么？

學(xué)生:角的大小.

(4)角的大小在改變過程中有特殊值嗎?

學(xué)生:有特殊值一一90°.

這時的平行四邊形是什么圖形呢?這就是我們今天要研究的另一類特殊的平行四

邊形一一矩形.

通學(xué)磔B

矩形的概念:有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形.

-想一想

教師:矩形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一

些這樣的性質(zhì)嗎？

學(xué)生:對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分,鄰角互補.

教師:矩形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸？

學(xué)生:矩形是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸.

教師：你認為矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流.

學(xué)生：由平行四邊形對邊平行以及一個角變?yōu)?0°,可以得到該角的補角也是

90°,從而得到:矩形的四個角都是直角.

評析:實際上,在小學(xué)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過長方形四個角都是90°,這里學(xué)生不難理解.

教師活動:用橡皮筋做出兩條對角線，讓學(xué)生觀察這兩條對角線的關(guān)系，并要求學(xué)

生證明(口述).

學(xué)生活動：觀察發(fā)現(xiàn)矩形的兩條對角線相等.口述證明過程中充分利用三角形全

等(SAS)來證明結(jié)論.

圖1-2-1

口述:如圖??,四邊形ABCD是矩形,

AZABC=ZDCB=90o,AB=DC.

又???BC為公共邊，

.,.△ABC^ADCB(SAS),

AAC=BD.

由此得到以下定理：

定理:矩形的四個角都是直角.

定理:矩形的對角線相等.

?議一議

如圖1-2-2,矩形ABCD的對角線AC與BD交于點E,那么BE是RtAABC中一條怎

樣的特殊線段?它與AC有什么大小關(guān)系？由此你能得到怎樣的結(jié)論？

學(xué)生活動:觀察、思考后發(fā)現(xiàn)BE是RtAABC中斜邊AC上的中線,且BE=12AC.由

此歸納直角三角形的一個性質(zhì)定理：

定理:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

教師:下面我們一起來證明這個定理.

己知：如圖1-2-3,在RtAABC中，BE是斜邊AC上的中線.求證:BE=12AC.

證明：如圖1-2-3,分別過點A,C作BC,AB的平行線,兩平行線交于點D.

???四邊形ABCD是平行四邊形.

又???NABC=90°,

???平行四邊形ABCD是矩形,連接ED.

AAC=BD.

XVBE是RtAABC的斜邊AC上的中線，

???點E是AC的中點，即兩條龍角線的交點.

???線段BE在線段BD上.

ABE=DE=12BD=12AC.

師生回憶:在直角三角形中,30°角所對的邊等于斜邊的一半1避免混淆）.

」出題愚。

例題講解

圖1-2-4

例1如圖1-2-4,在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點0,ZA0D=120°,AB=2.5,

求這個矩形對角線的長.（投影顯示）

師生共析:利用矩形對角線相等且平分得到0A=0D,由于NA0D=120。，故而，可以

發(fā)現(xiàn)N0DA=30°.又因為NDAB=90°,且在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜

邊的一半，所以BD=2AB=5.

解：???四邊形ABCD是矩形，

AZDAB=90°（矩形的四個角都是直角），

AC=BD（矩形的對角線相等），

0A=0C=12AC,OB=OD=12BD（矩形的對角線互相平分）.

A0A=0D.

VZA0D=120°,

.?.Z0DA=Z0AD=12X（180°-120°）=30°,

ABD=2AB=2X2.5=5.

【鞏固練習(xí)】

補充練習(xí)：

1.已知:如圖1-2-5,從矩形ABCD的頂點C作對角線BD的垂線,其延長線與

ZBAD的平分線相交于點E.求證:AOCE.

m1-2-5

思路點撥:要證明AOCE,可以考慮證明NE二NCAE.因為AE平分NBAD,所以

ZDAE=ZBAE,從圖中發(fā)現(xiàn)NCAE=NDAE-NDAC.另外一個條件是CE±BD,這樣過

點A作AFJ_BD于點F,貝ljAF〃CE,可以將NE轉(zhuǎn)化為NFAE,而NFAE=NBAE-/BAF.

現(xiàn)在只要證明NBAF=NDAC即可，而實際上，NBAF=NBDA二NDAC,問題迎刃而解.

如圖1-2-6,在aABC中，NA=2NB,CD是4ABC的高,E是AB的中點，求

證:DE=12AC.

思路點撥:本題可從E是AB的中點切入,考慮應(yīng)用三角形中位線定理.應(yīng)用

三角形中位線定理必須找到另一個中點.分析可知,既可以取3C的中點F,也可以

取AC的中點G進行嘗試.證法一：取BC的中點F,連接EF,DF,如圖1-2-7(1).

VE為AB的中點,??,EF12AC,???ZFEB=ZA.

VZA=2ZB,AZFEB=2ZB.

〈CD是aABC的高，

，在RtACDB中，DF=12BC=BF,/.Z1=ZB,

AZFEB=2ZB=2Z1=Z1-Z2,

AZ1=Z2,.e.DE=EF=12AC.

證法二:取AC的中點G,連接DG,EG,如圖1-2-7⑵.

〈CD是△ABC的高，

???在RtAADC也DG=12AC=AG.

YE是AB的中點，???GE〃BC,???N1=NB,

.??ZGDA=ZA=2ZB=2Z1.

XVZGDA=Z1+Z2,AZ1+Z2=2Z1,

AZ2=Z1,/.DE=DG=12AC

聾堂心翁

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形，因此，矩形是平行四邊形

的特例,具有平行四邊形的所有性質(zhì).

2.矩形的性質(zhì)：

(1)邊的性質(zhì):對邊平行且相等.

⑵角的性質(zhì)：四個角都是直角.

⑶對角線的性質(zhì):對角線互相平分且相等.

(4)對稱性:矩形是軸對稱圖形.

、理后

課本習(xí)題1.4

第一章特殊平行四邊形

1.3正方形的性質(zhì)與判定

1.3.1正方形及其性質(zhì)

通學(xué)??

1、在對平行四邊形、矩形、菱形的認識基礎(chǔ)上探索正方形的性質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)發(fā)

現(xiàn)的過程，并得出正確的結(jié)論.

2、進一步了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形及梯形之間的相互關(guān)系，并形

成文本信息與圖形信息相互轉(zhuǎn)化的能力.

通學(xué)萌

掌握正方形的概念、性質(zhì)。

建學(xué)霞圖

運用正方形的性質(zhì)進行有關(guān)的論證和計算。

遂課

復(fù)習(xí)引入：

1.什么叫作平行四邊形?什么叫作矩形？

2.矩形有哪些性質(zhì)？

3.矩形與平行四邊形有什么共同之處?有什么不同之處？

你知道如何判定一個四邊形是矩形嗎？

事例引入：

小華想要做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物,于是找來兩根長度相等的短木條

和兩根長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做的是矩形相框嗎？

這就是今天我們要研究的矩形的判定方法.

通學(xué)期B

.做一做

圖1-2-8是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的

形狀會發(fā)生變化.

圖1-2-8

教師:隨著Na的變化，兩條定角線將發(fā)生怎樣的變化？

學(xué)生:一條對角線由長變短,另一條對角線由短變長.

教師:當(dāng)兩條對角線相等時，平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜

想？

學(xué)生:平行四邊形的四個角均為直角.猜想:對角線相等的平行四邊形是矩形.

由此得到矩形的一個判定定理：

定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.

教師:下面我們來證明此定理.

圖1-2-9

己知：如圖1-2-9,在ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.

求證：ABCD是矩形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AB=DC,AB〃DC.

又TBOCB,AC=DB,

AAABC^ADCB.

:.NABONDCB.

VAB/7DC,

ZABC+ZDCB=180°,

.?.ZABC=ZDCB=12X180°=90°.

???ABCD是矩形（矩形的定義）

?想一想

教師:我們知道矩形的四個角都是直角.反過來,一個四邊形至少有幾個角是直角

時,這個四邊形就是矩形呢?請證明你的結(jié)論,并與同伴交流.

學(xué)生:一個四邊形至少有三個角是直角時,這個四邊形才是矩形.

證明略（提示:一個四邊形的內(nèi)角和為360。，已知三個內(nèi)角均為90。，從而可求

出最后一個內(nèi)角也為90°）.

由此得到矩形的一個判定定理：

定理:有三個角是直角的四邊形是矩形.

?議一議

你有什么方法檢查你家（或教室）剛安裝的門框是不是矩形?如果僅有一根較長的

繩子,你怎樣檢查?請說明檢查方法的合理性,并與同伴交流.

學(xué)生:先用繩子測量門框的兩組對邊,若兩組對邊分別相等,則門框為平行四邊形;

再用繩子測量門框的對角線,若兩條對角線相等,則門框為矩形.

.出題令每

例題講解

圖1-2-10

例2如圖1-2T0,在ABCD中,對角線AC和BD相交于點0,AAB0是等邊三角

形,AB=4,求ABCD的面積.

解：:四邊形ABCD是平行四邊形，

/.0A=0C,0B=0D.

又二?△ABO是等邊三角形，

A0A=0B=AB=4,

/.0A=0B=0C=0D=4,

AAC=BD=20A=2X4=8,

???ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.

AZABC=90°（矩形的四個角都是直角）.

在RtAABC中，由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

ABC=AC2-AB2=82-42=43.

ASABCD=AB?BC=4X43=163

例3如圖1-2-11,在矩形ABCD中,AD=6,對角線AC與BD交于點0,AE±BD,垂足

為點E,ED=3BE.求AE的長.

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

???NBAD=90。（矩形的四個角都是直角），

AC=BD（矩形的對角線相等），

A0=C0=12AC,B0=D0=12BD（矩形的對角線互相平分），

AA0=B0=D0=12BD.

VED=3BE,ABE=0E.

XVAE1BD,AAB=A0.AAB=A0=B0,

即△ABO是等邊三角形，???NAB0=60。.

AZADB=90°-ZAB0=90°-60°=30°,

AAE=12AD=12X6=3.

例4如圖在AABC中,AB=AC,AD是AABC的一條角平分線,AN為AABC的

外角ZCAM的平分線,CE1AN,垂足為點E.求證：四邊形ADCE是矩形.

證明：VAD平分NBAC,AN平分NCAM,

AZCAD=12ZBAC,ZCAN=12ZCAM,

AZDAE=ZCAD+ZCAN=12（ZBAC+ZCAM）=12X180°=90°.

在AABC中，

VAB=AC,AD為NBAC的平分線，

AAD1BC,AZADC=90°.

XVCE1AN,AZCEA=90°.

...四邊形ADCE為矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形).

想一想

在例4中,若連接DE,交AC于點在如圖1-2-13).

圖1-2-13

⑴試判斷四邊形ABDE的形狀,并證明你的結(jié)論.

(2)線段DF與AB有怎樣的關(guān)系?請證明你的結(jié)論.解：(1)四邊形ABDE是平行四

邊形.證明如卜：

由例4可知四邊形ADCE是矩形，

???AN〃BC,AE=DC.

，AE〃BD.

，四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)DF=12AB.證明如下：

由例4可知四邊形ADCE是矩形，

???AF=FC=FE=DF,.二DF=12AC.

又「AB=AC,???DF=12AB.

【鞏固練習(xí)】

教材隨堂練習(xí)

補充練習(xí)：

1.己知:如圖1-2-14,在菱形ABCD中,對角線AC和BD相交于點0,CM/7BD,DM〃

AC.求證：四邊形0CMD是矩形.

圖1-2-14

2.己知:如圖1-2-15,ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E,F,G,H.求證:

四邊形EFGH是矩形.

通堂o?

本節(jié)課應(yīng)掌握：

矩形的判定定理：（1）對角線相等的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四

邊形是矩形。

、承后外

課本習(xí)題1.5,1.6

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

通學(xué)??

【知識與技能】

使學(xué)生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)，并會用

它們進行有關(guān)的論證和計算.

【過程與方法】

學(xué)會用正方形的性質(zhì)解決一些問題，進一步發(fā)展學(xué)生的推理能力，促進其

逐步掌握說理的基本方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過分析正方形的概念、性質(zhì)與矩形、菱形的概念、性質(zhì)的聯(lián)系和區(qū)別，

對學(xué)生進行辯證唯物主義教育.

通學(xué)萌

正方形的性質(zhì).

通學(xué)漪

正方形的性質(zhì).

遨具電管

多媒體課件.

詢課g

（課件展示問題）1.在我們的生活中除了平行四邊形、矩形、菱形外，還有

什么特殊的平行四邊形呢？

2.展示正方形圖片，學(xué)生觀察它們有什么共同特征？

【教學(xué)說明】學(xué)生回答后，再展示圖片，使學(xué)生感受到生活中到處存在數(shù)學(xué)，

激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

通學(xué)?

一、思考探究，獲取新知

1.做一做：用一張長方形的紙片折出一個正方形.

2.觀察：這個正方形具有哪些性質(zhì)？

【教學(xué)說明】讓學(xué)生在動手操作中對正方形產(chǎn)生感性認識.

【歸納結(jié)論】正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等且

互相垂直平分.

3.議一議：平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個

圖直觀地說明嗎？

【教學(xué)說明】小組交流，引導(dǎo)學(xué)生從角、對角線的角度歸納總結(jié).使學(xué)生感受

變化過程，更清晰地了解各四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別.

1.見教材P21例1.

2.如圖，AABC是一個等腰直角三角形，DEFG是其內(nèi)接正方形，H是正方形

的對角線交點；那么，由圖中的線段所構(gòu)成的三角形中互相全等的三角形的對數(shù)

為()

A.12B.13C.26D.30

解析：根據(jù)全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數(shù)，由于圖中全等三

角形的對數(shù)較多，可以根據(jù)斜邊長的不同確定對數(shù)，可以做到不重不漏.設(shè)AB=3,

圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為1的有5個，它們組成10

對全等三角形；斜邊長為正的有6個，它們組成15對全等三角形；斜邊長為2

的有2個，它們組成1對全等三角形；共計26對.故選C.

3.已知正方形ABCD在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A(0,1),點B(0,0),則點C,

D坐標(biāo)分別為(1,0)和(1,1).(只寫一組)

解析：首先根據(jù)正方形ABCD的點A(0,1),點B(0,0),在坐標(biāo)系內(nèi)找

出這兩點，根據(jù)正方形各邊相等，從而可以確定C,D的坐標(biāo).??,正方形ABCD的

點A(0,1),點B(0,0),???AD〃x軸，CD〃y軸，這樣畫出正方形，即可得出

C與D的坐標(biāo)，分別為：C(1,0),D(1,1).

4.如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC,BC上，AG_LEF,垂足為G,

且AG=AB,求NEAF度數(shù).

分析：根據(jù)角平分線的判定，可得出△ABFgZXAGF,故有NBAF二NGAF,再

證明△AGEgAADE,有NGAE=NDAE,所以可得NEAF=45。.

解：在RtAABF與RtAAGF中,

VAB=AG,AF=AF,ZB=ZG=90°,

/.△ABF^AAGF(HL),

AZBAF=ZGAF,

同理易得：ZiAGE絲Z\ADE,

有NGAE二NDAE；

即NEAF=NEAG+NFAG

=-(ZDAG+ZBAG)

2

弓NDAB=45。，

故NEAF=45°

【教學(xué)說明】主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定.

5.如圖,正方形ABCD中，AB=3,點E、F分別在BC、CD上，且NBAE=30°,

ZDAF=15°.

(1)求證：DF+BE=EF；

(2)求NEFC的度數(shù).

分析：（1）延長EB至G,使BG=DF,連接AG.利用正方形的性質(zhì)，證明△

AGE^AAFE,AFAE^AGAE,得出DF+BE=EF；

（2）根據(jù)△AGEgZ\AFE及角之間的關(guān)系從而求得NEFC的度數(shù);

解：（1）延長EB至G,使BG=DF,連接AG,

EC

???四邊形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=900,

BG=DF,

.'.△ABG^AADF,

AAG=AF,

VZBAE=30",ZDAF=15°,

.,.ZFAE=ZGAE=45°,

VAE=AE,

/.△FAE^AGAE,

.e.EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）VAAGE^AAFE,

ZAFE=ZAGE=ZDFA=90°-ZDAF=75°,

AZEFC=1800-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°,

.?.ZEFC=30°.

【教學(xué)說明】學(xué)生獨立完成以培養(yǎng)學(xué)生的獨立意識.

建堂。?

1.師生共同回顧正方形有哪些性質(zhì)？

2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

【教學(xué)說明】教師應(yīng)與學(xué)生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學(xué)還面臨的問題，可

讓學(xué)生與同伴交流獲得結(jié)果，也可課后個別輔導(dǎo)，幫助他分析，找出問題原因，

及時查漏補缺.

避書卷階

平行

有一期福功相等四邊涔

正方形定義

有一個篇是直角

有一組鄰邊相等

畫研或?qū)?wù)如相"個

有一個角是亶角判定

叵而斗.時面a等M

逑后

1.布置作業(yè):教材“習(xí)題1.7”中第2、3題.

2.完成練習(xí)冊中相應(yīng)練習(xí).

通學(xué)。?

本課雖然是學(xué)習(xí)正方形的性質(zhì)，實際上應(yīng)起到對平行四邊形、矩形、菱形性

質(zhì)的復(fù)習(xí)、歸納和總結(jié)的作用，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

第一章特殊平行四邊形

1.3正方形的性質(zhì)與判定

13.2正方形的判定

通學(xué)??

【知識與技能】

1.掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定，并會用它們進行有關(guān)的論證和計算.

2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索正方形有關(guān)性質(zhì)、判定重要條件的過程.在觀察中尋求新知，在探

索中發(fā)展推理能力，逐步掌握說理的基本方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系的教學(xué)對學(xué)生進行辯證唯物主

義教育，提高學(xué)生的邏輯思維能力.

通學(xué)萌

正方形的判定方法.

逆學(xué)前

正方形的判定方法.

棗具金

多媒體課件.

加課。Q

（課件展示問題）寧寧在商場看中了一塊方形紗巾，但不知是否是正方形,

只見銷售員阿姨拉起紗巾的一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾

的另一組對角，只見另一組對角也能完全重合，認為是正方形，把紗巾給了寧寧.

你認為手上的紗巾一定是正方形嗎？

【教學(xué)說明】采用情境引入，使學(xué)生主動的聯(lián)想、想象、積極地發(fā)散思維,

也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想.

通學(xué)電（B

一、思考探究，獲取新知

1.引導(dǎo)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.“對折兩次，能夠完全重合”實際

上告訴了我們什么？小組討論說一說.

2.匯報討論結(jié)果，統(tǒng)一結(jié)果.對折兩次可以得出四邊相等，也可以得出對角

線垂直平分，即紗巾的兩條充角線是對稱軸，即只能保證紗巾是菱形.

【教學(xué)說明】學(xué)生自己動手用紙代替紗巾折一折，鼓勵學(xué)生說出自己的結(jié)論

和想法.

思考：由矩形變?yōu)檎叫芜€需要哪些條件？由菱形變?yōu)檎叫芜€需要哪些

條件？

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，得到正方形所需要的條件.

【歸納結(jié)論】對角線相等的菱形是正方形；對角線垂直的矩形是正方形；有

一個角是直角的菱形叫做正方形.

二、典例精析，掌握新知

1.見教材P23例2.

2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（D）

A.當(dāng)AB=BC時，它是菱形

B.當(dāng)AC_LBD時，它是菱形

C.當(dāng)NABO90。時，它是矩形

D.當(dāng)AOBD時，它是正方形

解析：A、正確，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；B、正確，對角線互相

垂直的平行四邊形是菱形；C、正確，有一個角為90°的平行四邊形是矩形；D、

不正確，對角線相等的平行四邊形是矩形而不是正方形.故選D.

3.用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：（1）平行四邊形（不包含菱形、矩

形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼

成的圖形是（A）

A.(1)(2)(5)B.(2)(3)(5)

C.(1)(4)(5)D.(1)(2)(3)

解析：兩個全等的直角三角形直角邊重合拼成的四邊形一定是平行四邊形；

直角邊重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜邊重合拼成的四邊形一定是矩形.

【教學(xué)說明】本題考查學(xué)生的動手能力，有些題只要學(xué)生動手就能很快解決，

注意題目的要求有“一定”二字.

4.已知：如圖，D是AABC的BC邊上的中點，DE1AC,DF1AB,垂足分別是

E、F.且BF=CE

RD

(1)求證：AABC是等腰三角形；

(2)當(dāng)NA=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結(jié)論.

分析：先利用HL判定RtZXBDF空RtZ\CDE,從而得到NB二NC,即△ABC是等

腰三角形；

由已知可證明它是矩形，因為有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方

形.

(1)證明：VDE1AC,DF1AB,

???NBFD=NCED=90°,

又???BD=CD,BF=CE,

ARtABDF^RtACDE,

???NB=NC.

故AABC是等腰三角形；

(2)解：四邊形AFDE是正方形.

證明：VZA=90°,DE.LAC,DF1AB,

???四邊形AFDE是矩形，

XVRtABDF^RtACDE,

???DF=DE,

，矩形AFDE是正方形.

5.如圖，己知平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,E是BD延長線

上的點，且AACE是等邊三角形.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若NAED=2NEAD,求證：四邊形ABCD是正方形.

分析：（1）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.由題意易得

COE,AZA0E=ZC0E=90°,ABE1AC,工四邊形ABCD是菱形；

（2）根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形.由題意易得NADONDAE+N

DEA=15°+30°=45°,,?,四邊形ABCD是菱形，???NBAD=2NDA0=90°,2四邊形

ABCD是正方形.

證明：（1）???四邊形ABCD是平行四邊形，

??.AO=CO.

VAACE是等邊三角形，

AE01AC（三線合一）

???四邊形ABCD是菱形.

（2）從上易得：^AOE是直角三角形，

,ZAED+ZEA0=90°

VAACE是等邊三角形，

/.ZEA0=60°,

:.ZAED=30°

丁ZAED=2ZEAD

AZEAD=15",

???ZDA0=ZEA0-ZEAD=45°

??,四邊形ABCD是菱形，

??.ZBAD=2ZDA0=90°

???平行四邊形ABCD是正方形.

【教學(xué)說明】學(xué)生先獨立完成，然后將不會的問題各小組交流討論得出結(jié)果.

既達到鞏固新知識的目的又能讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用是非常容易的.養(yǎng)成

學(xué)以致用的好習(xí)慣.

避堂O?

1.師生共同回顧正方形有哪些判定定理？

2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

通書命船

邊對邊平行、四條邊相等

<~0----------------------------------------

角三個角都是直角

,對角線「相等且互相垂直平分

正方形［

避后獨

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題L8”中第3、4題.

2.完成練習(xí)冊中相應(yīng)練習(xí).

建學(xué)。?

前邊已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行

四邊形、矩形、菱形的判定的綜合.可以通過本節(jié)的學(xué)習(xí)總結(jié)、歸納前面所學(xué)內(nèi)

容，理清學(xué)習(xí)中存在的一些模糊概念，有助于我們發(fā)展演繹推理能力.

第二章一元二次方程

2.1認識一元二次方程

2.1.1一元二次方程

通學(xué)??

1.要求學(xué)生會根據(jù)具體問題列出一元二次方程.通過“未鋪地毯區(qū)域有多寬”，“梯

子的底端滑動多少米”等問題的提出，讓學(xué)生列出方程,體會方程的模型思想，培

養(yǎng)學(xué)生把文字敘述的問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力.

2.通過教師的講解和引導(dǎo)，使學(xué)生抽象出一元二次方程的概念,培養(yǎng)學(xué)生歸納分

析的能力.

學(xué)學(xué)

一元二次方程的概念.

通學(xué)前

如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程.

理課

導(dǎo)語:小學(xué)五年級學(xué)習(xí)過簡易方程,上初中后學(xué)習(xí)了一元一次方程,二元一次方程

組,可化為一元一次方程的分式方程,運用方程方法可以解決眾多代數(shù)問題和幾

何求值問題,是一種常見的數(shù)學(xué)方法.從這節(jié)課開始學(xué)習(xí)一元二次方程知識,先來

學(xué)習(xí)一元二次方程的有關(guān)概念.

通學(xué)期B

播放“未鋪地毯區(qū)域有多寬”的課件

圖2-1-1

幼兒園活動教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面的正中間鋪設(shè)一塊

面積為18m2的地毯（如圖2-1-1）,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同.你能

求出這個寬度嗎？

教師:根據(jù)這一情境,結(jié)合已知量你想求哪些量？

學(xué)生:想求出地毯的長和寬.

教師:根據(jù)條件，你能列出關(guān)于這個量的什么關(guān)系式？

學(xué)生:地毯的長x地毯的寬=18.

教師:如果設(shè)所求的寬度為x叫那么你能列出怎樣的方程？

學(xué)生:地毯的長為(8-2x)m,地毯的寬為(5-2x)m,根據(jù)題意,可列方程為(8-2x)(5-

2x)=18.板書等式102+112+122=132+142,提出問題

觀察下面等式：102+112+122=132+142,你還能找到五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的

平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎？

教師:如果將這五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)設(shè)為x,那么怎樣用含x的代數(shù)式表示

其余四個數(shù)？

學(xué)生:第二個數(shù)是x+1,第三個數(shù)是x+2,第四個數(shù)是x+3,第五個數(shù)是x+4.

教師:根據(jù)題意，你能列出怎樣的方程？

學(xué)生:x2+(x+l)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

播放“梯子的底端滑動多少米”的課件

如圖2-1-2,一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為

8m.如果梯子的頂端下滑1ni,那么梯子的底端滑動多少米？

(1)(2)

圖2-1-2

教師:你能計算出滑動前梯子底端距墻的距離嗎？

學(xué)生:根據(jù)勾股定理，可以知道滑動前梯子底端距墻的距離為6m.

教師:如果設(shè)梯子底端滑動xm.那么你能列出怎樣的方程？

學(xué)生：(x+6)2+72=102.

?議一議

由上面三個問題,我們可以得到三個方程：

(8-2x)(5-2x)=18.

x2+(x+l)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

(x+6)2+72=102.

教師:這三個方程有什么共同痔點？

學(xué)生:這三個方程都只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

教師：還有沒有其他的共性？比如:從整式和分式的角度,展開、整理后的形式的角

度.

學(xué)生:它們都是整式.

由此得到一元二次方程的概念:只含有一個未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化

成ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a20)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.

一元二次方程的一般形式:我冶把ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),aWO)稱為一元二

次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項,a,b分別

稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).

例1將方程3x(x-l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中

的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

分析：一元二次方程的一般形式是加+版+c=0(在0),因此，方程3x(x?l)

=5(x+2)必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.

解：去括號，得

移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式為3f-&x-10=0.

其中二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-8,常數(shù)項為-10.

注意：二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符

號.

例2(學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練)將方程(x+l)2+(x-2)(x+2)

=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)，一次項、

一次項系數(shù)，常數(shù)項.

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(X+1)2+(x-2)(x+2)=1化成

ax^+bx+c^(￡#0)的形式.

解：去括號，得壯+2；1+1+式2-4=1.

移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式為1+叱2=0.

其中二次項為二次項系數(shù)為1,一次項為工,一次項系數(shù)為1,常數(shù)項為

-2.

一元二次方程的根的概念：

(1)類比一元一次方程的根的概念獲得一元二次方程的根的概念.

(2)下面哪些數(shù)是方程~+5戶6=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

【鞏固練習(xí)】

教材第4頁練習(xí)第1,2題.

補充練習(xí)：

1.判斷下列方程是否為一元二次方程.

(1)3x+2=5y-3；(2)f=4；

(3)3^--=0；(4)f-4=(x+2)2；

X

(5)av2+Z?x+c=0.

解：(1)(3)(4)(5)不是一元二次方程.

(2)是一元二次方程.

2.以?2為根的一元二次方程是(D).

A.1=0B.X2-A-2=0C.X2+X+2=00.^+%-2=0

3.已知方程5f+mr-6=0的一個根是x=3,則m的值為-13.

例3求證：關(guān)于x的方程(加2_8加+17)r+Z/nr+lR,不論團取何值該方程

都是一元二次方程.

分析:要證明不論m取何值該方程都是一元二次方程，只要證明加2_8m+17#0

即可.

證明：m2-8/n+17=(w-4)2+1,

*.*(w-4)2>0,/.(w-4)2+1>0,

(zw-4)2+1#0,即/-8加+17#0.

，不論〃［取何值，該方程都是一元二次方程.

【鞏固練習(xí)】

補充練習(xí)：

1.下列方程哪些是一元二次方程？

(l)7x2-6x=0;(2)2x2-5xy+6y=0;

(3)2x2-13x-l=0;(4)y22=0;

(5)x2+2x-3=l+x2.

2.關(guān)于x的方程(k—3)x2+2x—l=0,當(dāng)k時,該方程是一元二次方程.

3.關(guān)于x的方程(k2—l)x2+2(k—l)x+2k+2=0,當(dāng)k時,該方程是一元二次方

程，當(dāng)k時,該方程是一元一次方程.

通堂。?

本節(jié)課要掌握：

1.一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成

ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a^O)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:我們把ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),aWO)稱為一元

一次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分別稱為一次項、一次項和常數(shù)項,a,h分

別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).

逆后犍

課本習(xí)題2.1

第二章一元二次方程

2.1認識一元二次方程

2.1.1一元二次方程的解及近似解的估算

通學(xué)??

1.探索一元二次方程的解或近似解.

2.培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和能力.

3.經(jīng)歷方程解的探索過程,增進對方程解的認識.

通學(xué)萌

探索一元二次方程的解或近似解.

通學(xué)??

培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和能力.

曲課M

在上一節(jié)課中,我們得到了如下的兩個一元二次方程：

(8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+ll=0;

(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.

發(fā)現(xiàn)了一元二次方程在現(xiàn)實生活中具有同樣廣泛的應(yīng)用.上一節(jié)課的兩個問題是

否已經(jīng)得以完全解決?你能求出各方程中的x的值嗎？

通學(xué)期B

估算教室未鋪地毯區(qū)域的寬

教室未鋪地毯區(qū)域的寬x(m),滿足方程(8-2x)(5-2x)=18,你能求出x嗎？

教師:x可能小于0嗎?說說你的理由.

學(xué)生:x不可能小于0,因為x表示區(qū)域的寬度.

教師:x可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?為什么？

學(xué)生:x不可能大于4,也不可能大于2.5,因為當(dāng)x大于4和x大于2.5時，將分

別使原矩形地面的長和寬小于0,不符合實際情況.

教師:完成下表：

0.511.52

(8-2x)(5-2x)

學(xué)生:表格從左到右依次填入28,18,10,4.

教師：你知道教室未鋪地毯區(qū)域的寬x(m)是多少嗎?還有其他求解方法嗎？與同

伴交流.

學(xué)生:區(qū)域?qū)挾葹?米.

另解：因為8-2x比5-2x多3,將18分解為6X3,令8-2x=6,解得x=l.

?做一做

梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x-15=0.

(1)小明認為底端也滑動了1ni,他的說法正確嗎?為什么？

(2)底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？

⑶你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？

(4)x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾？

附學(xué)生對第(3)問的說理過程如下：

在此題中，我認為x的取信范圍是OVxV4.首先,梯子滑動的距離x>0是顯而易

見的，在圖2T-3中，求得BO6m,而BDV10m,因此CDV4m.所以x的取值范圍

是0VxV4.

學(xué)生完成下面的表格：

X01234

X2+12%-15-15-2133049

雖然沒能在這些整數(shù)取值中找到方程的解，但通過表格分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)x的取值是1

和2時,所對應(yīng)代數(shù)式的值是-2和13,而且隨著x的取值越大,相應(yīng)代數(shù)式的值

也越