北師版初中數(shù)學九年級下冊（BS）教案（全一冊）

第一章

直角三角形的邊角關系

1銳角三角函數(shù)

第1課時銳角的正切

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例

?情景導入如圖是意大利著名的建筑——比薩斜塔，是世界著名建筑奇觀，位于意大

利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上，是奇跡廣場四大建筑之一，也是意大利著名的標志

之一.它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜，應該如何來描述它的傾斜程度呢？

【教學與建議】教學：創(chuàng)設真實的情景吸引學生的注意力，激發(fā)求知欲.建議：啟發(fā)學

生大膽猜想，鼓勵各種新鮮的想法.

?歸納導入1.如圖，兩個斜坡A8和ER哪個更陡一些？你是如何判斷的？

解：石尸更陡????若=￡〈祭=1,???敏更陡.

ACL

2.如圖，梯子A8沿墻0A下滑到處，04=00=4,0B=0C=3,梯子在A8和

CO處哪個更陡一些？如何用圖中數(shù)據(jù)判定？

解:A8更陡.翳甘,一4

??絲?A8更陡

B

N/I的對邊

----------4，

N/I的鄰邊(

【歸納】如圖，在RtAABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的_正切一，記作

/A的對彷

tanA,即tanA=_―—必的值越大，斜坡越陡.

【教學與建議】教學：計算比較哪個斜坡陡一些從而導入課題,過渡自然.建議：猜想

——計算——歸納，放手讓學生自己解決.

二、命題熱點分析與示例!

*命題角度1根據(jù)定義求銳角的正切值

在直角三角形中，如果銳角確定，則其正切值等于這個角的對邊與鄰邊的比值.

【例1】在RlZXABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,則taM=(B)

A44亞D嶇

A.3?.13u.13

【例2】在RtZXABC中，ZC=90°,AB=13,BC=5,則tanA=_(

*命題角度2利用正切函數(shù)求線段的長

根據(jù)正切的定義tanA=孑舞薪可以變形出兩個計算公式：對邊=鄰邊X正切，鄰邊

對邊

正切.

【例3】在直角三角形中，有一銳角的正切值為點兩直角邊長的和為14,則斜邊長是(D)

A.15B.14C.§D.10

【例4】在RtZ\A8C中，ZC=90°,A8=&,tanA=乎，則BC的長是小.

*命題角度3正切的應用——坡度坡角問題

坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也稱為坡比.

【例5】如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡人8的水平寬度為10m,斜面坡度為1：2,則斜

坡AB的長為(B)

A.4小mB.54mC.12#mD.24m

［例6］某人從點A沿著坡面AD前進了6m到達點B的位置，此時他在垂直方向上上

升了2m,則坡面A。的坡度為一乎_.

*命題角度4在平面直角星標系中求值

在平面直角坐標系中，利用正切可以求點的坐標.關鍵是通過輔助線構(gòu)造直角三角形.

【例7】如圖，點A(2,。在第一象限，04與x軸所夾的銳角為a,tan。=不則/的值

是(D)

(例7題圖)

【例8】如圖，P(12,a)在反比例函數(shù)產(chǎn)果A0)的圖象上，PH_Lr軸于H,則tan/POH

的值為一含一

高效課堂教學設計

一、教學目標?

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.

2.能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，

能夠用正切進行簡單的計算.

3.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義，了解數(shù)學與生活的密切聯(lián)系.

二、教學重難點\

▲重點

掌握￥切的定義及基本應用.

▲難點

利用正切的有關知識解決實際生活的問題.

三、教學活動

?活動1創(chuàng)設情境導入新課（課件）

你知道圖中建筑物的名字嗎？是的，它就是意大利著名的建筑——比薩斜塔，是世界著

名建筑奇觀，位于意大利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上，是奇跡廣場四大建筑之一，

也是意大利著名的標志之一.它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜，應該如何用數(shù)學方法

來描述它的傾斜程度呢？

?活動2實踐探究交流新知

[探究1]

在圖中，梯子/IB和E產(chǎn)哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？

梯子A8比梯子即更陡.

方法一：從圖中很容易發(fā)現(xiàn)/A8CNE尸。，所以梯子AB比梯子所陡.

方法二：因為AC=ED,所以只要比較BCFD的長度即可判斷哪個梯子陡.因為BC<FD,

所以梯子AB比梯子EF陡.（比較梯子的底部到墻角的距離來判斷）

結(jié)論：豎直高度相等時，水平寬度越短，梯子越陡.

【探究2】正切的定義

如圖，若小明因身高原因不能順利測最梯子頂端到墻腳的距離BCi，進而無法刻畫梯子

的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么錦囊妙計？

小明想通過測量叢G及4G，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為,

通過測量&C及AG,算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？

（l）RcAABiCi和RiZ\A&C2有什么關系？

⑵能和整有什么關系？

（3）如果改變&在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？

結(jié)論：由相似三角形的對應達成比例，得第=煙即8C8c

AC\AC2,

BIGB2c2

如果改變電在梯子上的位置，總可以得到RtZXA&CzsRtAABQ.仍能得到

ACi~ACif

BiGB2c2

因此，無論歷在梯子的什么位置（除點A外）總成立.

'ACi~ACi

【歸納】如圖，在RtZXABC中，如果銳角A確定，那么NA的對邊與鄰邊的比便隨之確

定，這個比叫做NA的正切，記作lanA,即3必=第瑞杯.

B

乙4的對邊

%的鄰邊'

注意：

1.tan4是一個完整的符號，它表示NA的正切，記號里習慣省去角的符號“N”.

2.出必沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊的比.

3.tanA不表示“tan”乘“A”.

4.初中階段，正切是在直角三角形中定義的，NA是一個銳角.

【探究3】坡度的定義

如圖表示甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？

8m

甲

(l)tan。和tan￡的值分別是多少？

(2)你能比較tan。和tanf的大小嗎？

(3)根據(jù)tanA的值越大，梯子越陡，你能判斷哪一個自動扶梯比較陡嗎?

⑵tana>tan；

(3)Vtan<7>tan^,，甲扶梯更陡.

【歸納】坡面與水平面的夾角稱為坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比(即坡角的正切)

稱為坡度(或坡比).坡度越大，坡面就越陡.

?活動3開放訓練應用舉例

【例1】在△ABC中，ZC=90°,BC=6cm,AB=10cm,求taM和tanB的值.

【方法指導】先求出AC,利用正切定義可求出.

34

解：由勾股定理，得AC=8,則ianA=『tan8=§.

【例2】如圖，某人從山腳下的點A走了130m后到達山頂?shù)狞cB.已知點5到山腳的垂

直距離為50m,求山的坡度.

【方法指導】先求出人。，求出taivl即為山的坡度.

解：由勾股定理，得AC=120m,

則tan4=,.

答：山的坡度端.

?活動4隨堂練習

課本P4隨堂練習.

答案：

2.山的坡度為0.286.

?活動5課堂小結(jié)與作業(yè)

,七一八、'/八的對邊

【月納】⑴tanA—〃的鄰邊，

(2)taM的值越大，梯子越陡.

(3)坡面與水平面的夾角稱為坂角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度(或坡比).

【作業(yè)】課本P4習題1.1中的Ti、T2>T3.

四、作業(yè)布置與教學反思!

在解決實際問題中引發(fā)認知沖突，發(fā)現(xiàn)已有知識不能直接解決問題，需建立新的模型，

通過探究、歸納得出正切的定義，再運用這一定義進行計算加以鞏固，整個流程符合學生的

認知規(guī)律，是一個從己有知識發(fā)展出新知識的過程.

第2課時銳角的正弦、余弦

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例I

?置疑導入

1.什么是銳角的正切？

2.當直角三角形的銳角確定時，正切值與什么有關？與直角三角形的大小有沒有關系？

3.當直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎？

4.梯子的傾斜程度與這些比有關嗎？如果有，是怎樣的關系？

【教學與建議】教學：通過提問正切的有關知識，導入新課，問題層層遞進，為本節(jié)課

的學習做好準備.建議：留給學生充足的思考時間，讓學生積極動腦.

?類比導入如圖，研究梯子擺放的傾斜程度有兩種方法：一是用梯子的傾斜角來刻畫,

傾斜角越大，梯子越陡；二是用做斜角的對邊與鄰邊之比（即傾斜角的正切）來刻畫，正切值

越大，梯子越陡.那么還有沒有其他方法來刻畫梯子的傾斜程度呢？模擬試驗，探究梯子擺

【教學與建議】教學：動手操作及量一量活動最易激發(fā)學生的想象、思維和發(fā)現(xiàn)，類比

求正切值導入求其他函數(shù)值，激發(fā)了學生的學習熱情.建議：在學生操作時，教師要引導學

生進行思考、分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

二、命題熱點分析與示例》

*命題角度1三角函數(shù)的定義

將正弦、余弦、正切與點的坐標、三角形等知識結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，計算相應的線

段長，從而得到所求的三角函數(shù)值.

【例】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為（）那么。的值是（）

3144A6,8,sinC

A-B-

53

5D

（例1題圖）（例2題圖）

2.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格圖中，小正方形的頂點稱為格點，的頂點都在格

點上，則/胡C的余弦值是一半

*命題角度2梯子傾斜短度與銳角三角函數(shù)關系

正弦、正切值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡.

【例3】如圖，梯子與地面所成的銳角為N84C,關于NB4C的三角函數(shù)值與梯子傾斜

程度的關系，下列敘述正確的有(B)

/B

①tanNBAC的值越大，梯子越陡；

②tanNBAC的值越小，梯子越陡；

③sin/BAC的值越大，梯子越陡；

④cosNZMC的值越小，梯子越緩.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【例4】如圖，攔水壩的橫斷面為梯形4BCZ),BC//AD,斜坡48的坡度為1：3,壩頂

寬BC=3m,壩高為4m,斜坡CZ)的長為5m.

(1)試比較斜坡AB和CD哪個更陡；

(2)求壩底A。的長.

BC

AEFD

解：(1)過點C作CF_LA。于點尸，則b=4m.

在RtZ^CFZ)中，根據(jù)勾股定理，WFD=ylCD2-CF2=^/52-42=3(m),

4

tan￡>=§.

VtanA=^,tanD>tanA,

???斜坡CD更陡；

(2)過點3作于點E,則5E=4m,EF=BC=3m.

BE1

在中，*.*tanA=六=可，

R匕J

：,AE=3BE=3X4=12(m),

：.AD=AE-\-EF-\-FD=12+3+3=18(m).

即壩底AD的長為I8m.

*命題角度3互余兩角的三角函數(shù)關系

在△ABC中，若NA+N8=90°,則sinA=cosB,tanA?tanB=l.

12

【例5】在RtZXABC中，ZC=90°,若sinA=行，則cos4的值是(B)

A.知.?？?

3

【例6】在RlZXABC中，ZC=90°,若laM=坐，則lanB=小.

*命題角度4同角的正弦余弦之間的關系

對同一銳角a,都有sir?a+cos?a=1.

【例7】在RtZXABC中，ZC=90°,若sinA=g,則cosA的值為(D)

A,5B?萬心5D-5

高效課堂教學設計

一、教學目標!

1.理解正弦、余弦的意義.

2.能夠用sinA,cosA表示直角三角形中直角邊與斜邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算.

二、教學重難點

▲重點

根據(jù)直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算.

▲難點

了解互余兩角的二角函數(shù)關系并用它來解決實際問題.

三、教學活動

?活動1創(chuàng)設情境導入新課（課件）

上節(jié)課，我們研究了“陡”這個字，明確了梯子擺放的“陡”與“緩”是與梯頂、梯腳

到墻角的距離比有關的.如圖，研窕梯子擺放的傾斜程度有兩種方法：一是用梯子的傾斜角

來刻畫，傾斜角越大，梯子越陡；二是用傾斜角的對邊與鄰邊之比（即傾斜角的正切）來刻畫,

正切值越大，梯子越陡.那么還有沒有其他方法來刻畫梯子的傾斜程度呢？下面請同學們模

擬試驗，探究梯子擺放的傾斜程度是否還與梯頂或梯腳到墻角的距離與梯長比有關呢？

動

活

I探

究

圖

如

，

（l）RtA45iC1和RtZ\A&C2的關系是什么？

⑵瑞和患的關系是什么？

（3）如果改變%在斜邊上的位置，則需和需的關系是什么？

思考：從上面的問題可以看出：當直角三角形的一個銳角的大小已確定時，它的對邊與

斜邊的比值，根據(jù)是.它的鄰邊與斜邊的比值呢？

解：⑴相似；

（2）-;

AB1AB2

⑶相等.

思考：相等相似三角形對應邊成比例鄰邊與斜邊的比值也相等.

【歸納】NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即?必）縹產(chǎn)/人

的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即cos4=—菊五—.

N/的對邊

A-^—-----------cr

乙1的鄰邊

注意：

1.sinA,cos4中常省去角的符號“N”；

2.sinA,cosA沒有單位，它們都表示一個比值；

3.sinA,8sA是一個完整的符號,不表示“sin”或“cos”乘“A”；

4.在初中階段，sin4,cosA中，NA是一個銳角；

5.0<sinA<l,0Vcos4Vl（/A是銳角）.

【探究2］梯子的傾斜程度與siM和cosA的關系

問題：我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與UinA有關系：laM的值越大，梯子越陡.由

此我們想到梯子的傾斜程度是否也和siM,cosA有關系呢？如果有關系，是怎樣的關系？

解：如圖，AB=AiBi.

在Rt/XABC中，sinA=舞,

/1O

D「

在RCC中，sinNBAC=而.

因為能(翳，即sini4vsin/Bi4C,而梯子A\B\比梯子AB陡，所以梯子的傾斜程度

與sinA有關系.siM的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.

ACAiCACAiC

因為cosA=京，COS/3IAIC=7F",且A8=4BI，所以京>77"，

即cosA>cosZB\A?C,

所以梯子的傾斜程度與cosA也有關系.cosA的值越小，梯子越陡.

【歸納】正弦越大，角越大，梯子越陡；余弦越小，角越大，梯子越陡.

?活動3開放訓練應用舉例

【例1】如圖,在Rl^ABC中，ZB=90°,AC=200,sinA=0.6,求8C的長.

【方法指導】利用siM=/即可求出.

BCBC

解：在中，???sinA=而;，即礪=。6,

ABC=200X0.6=120.

【例2】在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=3,BC=4.

⑴求sinA和cos8的值：

⑵求sinB和cosA的值；

(3)由(1)(2)你有什么發(fā)現(xiàn)？你能證明自己的發(fā)現(xiàn)嗎？

44

解；(DsinXb5,COSB=5；

33

(2)sinB=§,cosA=g；

(3)若NA+NB=90°，則sinA=cosB,sinB=cosA.證明略.

?活動4隨堂練習

1.在RtZXABC中，若各邊的長度同時都縮小2倍，則銳角A的正弦值(C)

A,縮小2倍B.縮小1倍

C.保持不變D.不能確定

2.已知NA,NB為銳角.

(1)若NA=NB,則sinA_=_sinB；

⑵若sinA=sin8,則NA三

3.課本P6隨堂練習.

?活動5課堂小結(jié)與作業(yè)

【歸納】(l)siM的值越大，楞子越陡；cosA的值越小，梯子越陡；

(2)方法規(guī)律：

角相等，則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等，則這兩個銳角相等.

【作業(yè)】課本P6習題1.2中的T|、T2.

四、作業(yè)布置與教學反思I

通過類比正切的概念得出正弦、余弦的概念，同時導出三角函數(shù)的概念；結(jié)合勾股定理、

三角形內(nèi)角和定理等知識，讓學生理解三角函數(shù)的意義，找出正切、正弦和余弦之間的關系,

并能進行簡單的計算.少數(shù)學生對用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切還比較模糊.

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例!

點.....L

?置疑導入如圖，為了測量一棵大樹的高度，準備了如下測量工具：①含30°和60°

兩個銳角的三角尺；②皮尺.你能利用上述測量工具測出這棵大樹的高度嗎？

（用多媒體演示上面的問題，并讓學生交流各自的想法）

【教學與建議】教學：以生活中的實例入手，激發(fā)學生的學習熱情.建議：在學生

操作時，教師要引導學生進行思考、分析.

?復習導入1.銳角A的三角函數(shù)有哪幾種？如何表示？

答：將銳角A的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為NA的三角函數(shù).

NA的對邊NA的鄰邊NA的對邊

=斜邊8sA=斜邊tan4=N4的鄰邊

2.在RtAABC中，NC=9（T,若則sin4=_^__,cosA=_^^_.

【教學與建議】教學：復習內(nèi)容層層遞進，為新課的承習奠定基礎.贏：學生回

答后，教師及時糾正問題.

?懸念激趣網(wǎng)絡購物從一個新生事物變成了越來越多的人選擇的購物方式.本課老師

也準備了幾件物美價廉的寶貝（如圖），投放進幾家商鋪進行出售，你們有沒有信心搶到呢？

很好，我們先看看商鋪里面有些什么寶貝吧，看誰能搶到它們?。ɡ枚嗝襟w投影）

商鋪：

積極性.建議：讓學生獨立思考，解決問題.

二、命題熱點分析與示例!

*命題角度1利用特殊角的三角函數(shù)值求線段長度

構(gòu)造直角三角形，把特殊角放在直角三角形中，借助特殊角的三角函數(shù)值進行計算.

【例1】如圖，在△ABC中，NC為鈍角，/A=30°,tan8=l,AC=2小，則A8等于

（A）

A.3+V3B.2+2小

C.5D.2

【例2】如圖，AD是△A6C的中線，tan5=+cosC=*，AC=卓.

(1)求BC的長；

(2)求sin/AOC的值.

解：(1)過點A作AE_LBC于點E

VcosC=^-,AZC=45°.

在RtZXACE中，CE=ACcosC=l,：,AE=CE=\.

在Rt/\ABE中，tanB=*即髓=/

：.BE=3AE=3,：.BC=BE-\-CE=3-\-1=4；

(2)???AO是△ABC的中線，：.CD=^BC=2.:.DE=CD~CE=1.

VAE±BC,DE=AE,??/ADC=45°sinZADC=^-.

*命題角度2由特殊三角函數(shù)值求角度

由特殊三角函數(shù)值求得對應的特殊角度,再展開相關計算.

【例3】在△ABC中，若sinA-1+.cosB—；=0,則NC的度數(shù)是(D)

A.30°B.45°C.60°D.90。

【例4】已知NA是△ABC的內(nèi)角，且sin"C=坐，則3或=_奧.

*命題角度3利用特殊角的三角函數(shù)值計算

在考查實數(shù)的運算時，熟知零指數(shù)塞的運算法則、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值,

再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可.

【例5】計算:___________

(1)^(I-4cos30osin600)2+(一2尸一(42023-2024)°；

解：原式=-4X坐X孚-;一1

=2-^-1

sii)245°+lan600?cos30°

(2^^cos450+tan45°

打小x日

解：原式:-----R—

啦X當+1

_2

=2

=1.

高效課堂教學設計

一、教學目標?

1.經(jīng)歷探索30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行有關的推理，進一步

體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠進行30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計算.

3.能夠根據(jù)30°,45°,60°角的三角函數(shù)值說明相應的銳角的大小.

二、教學重難點）

▲重點

能夠進行含30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計算.

▲難點

在具體情境中構(gòu)建直角三角形，運用特殊角的三角函數(shù)值解決實際問題.

三、教學活動|

?活動1創(chuàng)設情境導入新課（課件）

在直角三角形中（利用一副三角尺進行演示），如果有一個銳角是30°（如圖①），那么另

一個銳角是多少度？三條邊之間有什么關系？如果有一個銳角是45°呢（如圖②）？由此你能

發(fā)現(xiàn)這些特殊銳角的三角函數(shù)值嗎？

圖①圖②

?活動2實踐探究交流新知

【探究】特殊角的三角函數(shù)值

1.如圖，在中，ZC=90°,ZA=30°,那么a,b,c三者之間有怎樣的關

系？

AK

*

2.sin300等于多少？你是怎樣得到的？與同伴交流.

3.cos30°等于多少？tan30°呢？

4.sin60°,cos60°?tan600呢？

5.45°角的三角函數(shù)值分別是多少呢？

6.填寫表格：

三角函數(shù)值sin*cos4tana

30°

45,

60°

【歸納】sin30。=.sin45°=乎,sin60°=坐；

cos30°=坐，cos45°=當，cos60°=*

tan300=當，tan45°=1,tan60°=小.

?活動3開放訓練應用舉例

【例1】計算：

（l）sin300+cos450；

（2）sin2600+cos2600-tan45°.

【方法指導】熟記（特殊角）三角函數(shù)的值，計算時一般不取近似值.

解：（l）sin300+cos45°=.+乎」

(2)sin260°+COS260°-tan45°=(當產(chǎn)+三產(chǎn)-1=土+1—1=0.

【例2】一個小孩蕩秋千,秋千鏈子的長度為2.5m,當秋千向兩邊擺動時,擺角恰好為

60°,且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結(jié)果

精確到0.01m)

【方法指導】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形構(gòu)造直角三角形，找出圖中的特殊角，最后

根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求出正確結(jié)論.

解：如圖，根據(jù)題意可知，ZAOD=1x60°=30°,OO=2.5m,

???OC=ODcos300=2.5X乎、2.165(m).

：.AC=2.5-2.165%0.34(m).

所以，最高位置與最低位置的高度差約為0.34m.

?活動4隨堂練習

1.課本P9隨堂練習.

2.在△A8C中，NA,N8都是銳角，且sinA=￡,cos”坐，則△ABC的形狀是(B)

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

3.在△ABC中，ZC=90°,NB=2/A,則lanA=_^_.

?活動5課堂小結(jié)與作業(yè)

【歸納】探索特殊角的三角函數(shù)值.

【作業(yè)】課本Pio習題1.3中的Ti、T2>T3、T4.

四、作業(yè)布置與教學反思|

本節(jié)課通過小組合作交流形式，讓學生積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學

生獨立思考問題的習慣，并在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，對學生鍛煉克服困難的意志，建

立自信心很有幫助，以后教學中要繼續(xù)發(fā)揚.

3三角函數(shù)的計算

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例?

?類比導入如圖，當?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點。到達點8時，它走過了200m.已知纜

車行駛的路線與水平面的夾角為Na=45°,那么纜車垂直下降的距離是當

纜車的吊箱從點8到達點4,它走了200m,N6=16：你能求出纜車垂直下降的距離嗎？

D

【教學與建議】教學：用貼近學生生活的問題情境導入課題，由特殊角45°到求

sinl6J的值，由此引出一般銳角的三角函數(shù)值的計算問題.建議：在學生操作時，教師要引

導學生進行思考、分析.

?情景導入如圖，蹺蹺板A8的一端B碰到地面時，48與地面的夾角為15°,且0A

=0B=2m.你能求出此時另一端A離地面的高度嗎？

要求另一端4離地面的高度，實際上就是求直角三角形的直角邊，所以只要求出sinB的

值即可，但是15°不是特殊角要怎么辦呢？

【教學與建議】教學：在直角三角形中解決問題，學生直接得到另一端A離地面高度為

Afisin15°,讓學生想到需要求一般角的三角函數(shù)值.建議：直接展示圖形、題目，讓學生

獨立思考，提出解決方案.

二、命題熱點分析與示例!

*命題角度1利用一般角的三角函數(shù)解決仰角、俯角問題

利用三角函數(shù)值計算仰角、依角問題時，根據(jù)仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函

數(shù)求解.

【例1】趙強同學在距某電視塔塔底水平距離600m處，看塔頂?shù)难鼋菫?0°（不考慮身

高因素），則此塔高約為218m.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20-0.3420,sin70u%

0.9397、tan20°?0.3640,tan70^2.7475)

C

【解析】畫出示意圖，如圖.在Rt^ABC中，A8=600m,ZBAC=20°.

???器=tan200,BC=ABtan20°^600X0.3640^218(m).

【例2】如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點

C的仰角為31°,再向東繼續(xù)航行30m到達8處，測得燈塔的最高點C的仰角

C

ARD

為45°,根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算這座燈塔的高度CD（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin31

=0.52,cos31=0.86,lan31比0.60)

解：在RtZ\8CO中，ZCBD=45°,

.??"O=CD在RtZ\A￡>C中，ZA=31°,A8=20,

CDCD

???lan31。=而,即訴萬q06/.CD^45m.

答：這座燈塔的高度CO約為45m.

*命題角度2利用一般角的三角函數(shù)值表示線段長

當題目中沒有給出一般角的三角函數(shù)值時，先構(gòu)建直角三角形，再用一般角的三角函數(shù)

來表示線段長.

【例3】如圖，在地面上的點A處測得樹頂5的仰角為a,AC=2,則樹高8c為（用含a

的代數(shù)式表示）（B）

2

A.2sinaB.2tanaC.2cosGD.--------

tana

（例3題圖）（例4題圖）

【例4】某簡易房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，則坡屋頂上弦桿48的長為（B）

*命題角度3構(gòu)造圖形計算一般角的三角函數(shù)值

當求一般角（如15°,22.5°,67.5°等角）的三角函數(shù)值時，可以通過構(gòu)造直角三角形,

把一般角轉(zhuǎn)化成特殊角，最后利用邊的數(shù)量關系求出一般角的三角函數(shù)值.

【例5】小明在學習“銳角三角函數(shù)”時發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABC。沿過點8

的直線折疊，使點A落在8C邊上的點七處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在

8C邊上的點尸處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是_泡土1_.

高效課堂教學設計

一、教學目標

1.經(jīng)歷用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠運用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實際問題，提高用現(xiàn)代工具解決實際問

題的能力.

二、教學重難點

▲重點

1.窗十算器求已知銳角的三角函數(shù)值；

2.能夠用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實際問題.

▲難點

能夠用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實際問題.

三、教學活動|

?活動1創(chuàng)設情境導入新課（課件）

提出問題，引入新課：

如圖，當?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點A到達點8時，靛過了200m.已知纜車行駛的路線

與水平面的夾角為Na=16°,那么纜車垂直上升的距離是多少？（結(jié)果精確到0.01m）

問題：

（1）在RlZ\ABC中，sin。如何表示？

（2）你知道sinl6°是多少嗎？

（3）我們可以借助科學計算器求銳角的三角函數(shù)值，怎樣用科學計算器求三角函數(shù)值呢？

?活動2實踐探究交流新知

【探究1】用科學計算器求一般銳角的三角函數(shù)值

用科學計算器求三角函數(shù)值，要用到國畫和國鍵.

例如，求sinl60,tan85°和sin72°38'25"的按鍵順序如下表所示.

按鍵順序顯示結(jié)果

sinl6e=

sinl6*封瓦1BJ㈢

0.2756373558

ian850=

tan85°

所）EIteJ11.4300523

皿］V］_2j

sin72°38'25〃回回為回sin72038,25"=0.954450312

同學們可用自己的計算器按上述按鍵順序計算sin16°,tan85°,sin72°38'25〃，看

顯示的結(jié)果是否和表中顯示的結(jié)果相同.

【探究2】

(1)如圖，為了方便行人推自行車過某天橋，市政府在10m高的天橋兩端修建了40m長

的斜道.這條斜道的傾斜角是多少？

如圖，在RlAABC中，sinA=f^=|,那么NA是多少度呢？要解決這個問題，我們可

以借助科學計算器.請與同伴交流你是怎么做的.

(2)已知三角函數(shù)值求角度，要用到反日后伍向］鍵的第二功能“sin",cos",tan"”和

|SHIFTS.例如，已知sinA,cosB,tanC,求NA,ZB,ZC的度數(shù)的按鍵順序如下表所

示.

按鍵順序顯示結(jié)果

?

sin4=0.9816。苴■立sm,0.9816=78.99184039

E_LiELsJ

?宜aii?

cosB=0.8607cos-10.8607=30.60473007

值】［同行1!?1

?亙國囿it

tanC=56.78tan,56.78=88.99102049

㈤⑷M

?活動3開放訓練應用舉例

【例1】如圖，工件上有一V形槽，測得它的上口寬20mm,深19.2mm,求V形角(NACB)

的大小.(結(jié)果精確到1°)

【方法指導】根據(jù)題意，可知48=20mm,CDLAB,AC=BC,CD=19.2mm,要求N4C8,

只需求出NACO(或NOCB)即可.

解：tanZACD=7^=T^^0.5208,

CL/1

AZACD^27.5°,

???NAC8=2NACOQ2X27.5'=55°.

【例2】如圖，在某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B,并測得其俯角a=16°,已知

觀察所A的標高(當水位為0m時的高度)為43.74m,當時水位為+2.63m,求觀察所A到船只

B的水平距離.(精確到1m)

【方法指導】根據(jù)題目條件可求NB及AC的長，在RlZXABC中，利用NB的正切值即

可求出BC的長.

解：在RtZ\A3C中，根據(jù)題意,得NB=16°,AC=43.74-2.63=41.11(m).

ACAC4111

??.tanB=前,???BC=G=六Q】43(m).

答：觀察所A到船只B的水平距離BC約為143m.

?活動4隨堂練習

課本P14隨堂練習

?活動5課堂小結(jié)與作業(yè)

【作業(yè)】課本Pis習題L4中的Ti、T4>T5.

四、作業(yè)布置與教學反思|

本節(jié)課通過創(chuàng)設很多貼近學生生活實際的問題情境，提出引發(fā)學生思考的問題，讓學生

經(jīng)歷從實際問題中抽象出銳角三角函數(shù)模型的過程，發(fā)展了學生的應用意識及分析問題、解

決問題的能力，培養(yǎng)了學生的數(shù)學建模能力及轉(zhuǎn)化思維能力.

4解直角三角形

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例

?情景導入要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a

一般要滿足50°WaW75°.如圖，現(xiàn)有一個長6m的梯子.

⑴使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)?

(2)當梯子底端距離墻面2.4m時,梯子與地面所成的角Q約為多少度(精確到1°)?這時，

人是否能夠安全使用這個梯子？

解：(l)6Xsin75°^5.8(m)；

24

(2)根據(jù)題意，得cosa=-^-=0.4,J。266°,

???攀登梯子角度為50°WaW750,

???人能安全使用這個梯子.

直角三角形中有六個元素，分別是三條邊和三個角，那么至少知道幾個元素，就可以求

出其他的元素呢？這就是我們本節(jié)課要研究的問題.

【教學與建議】教學：由生活常用情景問題導入對直角三角形根據(jù)已知元素求未知元素

的探究.建議：學生自主計算再核對答案.

?懸念激趣1.直角三角形隨處可見，請同學們觀察老師手中的這副三角尺，如圖①，

它的每個內(nèi)角分別是多少度？它們的各邊之間有什么關系？邊與角之間有什么關系？

A/

圖①圖②

2.如圖②，在RlZXABC中，一共有幾個元素？請分別寫出來.

(l)AABC的三條邊分別是4條BC,CA:

(2)AABC的三個角分別是NA,NB,NC.

師：因此，一個直角三角形中共有6個元素，分別是三條邊和三個角，那么至少知道幾

個元素，就可以求出其他的元素呢？今天，我們就來研究與直角三角形有關的問題.

【教學與建議】教學：通過學生回答一副三角尺的邊角關系，直角三角形6個元素，從

而較好地引出本節(jié)課的研究內(nèi)容.建議：教師先出示一副三角尺，然后觀察一個直角三角形，

說出它的6個元素，簡單直接引入新課.

二、命題熱點分析與示例)

*命題角度1根據(jù)三角函數(shù)的定義求值

應用三角函數(shù)定義求值，一般方法是：找到直角三角形，正確運用三角函數(shù)的定義和勾

股定理，算出所需線段的長，進而解決問題.

【例1】如圖，在△ABC中，ACJ_BC,NABC=30°,點。是CB延長線上的一點，且

BD=BA,則tanNOAC的值為(A)

A.2+小B.2小C.3+小D.3小

【例2】如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,BD±AC,垂足為點。，如果BC=4,sin

ZDBC=y那么線段AB的長是_2卮_.

*命題角度2構(gòu)造直角三角形求線段的長

當所給圖形不是直角三角形時，需要根據(jù)已知作輔助線，構(gòu)造直角三角形，然后再根據(jù)

三角函數(shù)的定義求解.

【例3】如圖，在△48C中，NB=45°,AC=4,BC=2節(jié),則AB的長為(B)

A.2+2*B.2+2于C.3+2*D.3+2小

(例3題圖)(例4題圖)

4

【例4】如圖，在四邊形A8CD中，N8=NO=90°,4B=3,BC=2,lanA=p則C。

-—5一?

*命題角度3綜合運用三角函數(shù)解決問題

綜合運用三角函數(shù)，先根據(jù)己知條件，利用三角形的中線、勾股定理、全等，相似等知

識，最后再利用三角函數(shù)解決.

【例5】如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，4a,/￡如圖所示，

求cos(a+份的值.

解：如圖，連接8c.???網(wǎng)格圖是由1()個完全相同的正三角形構(gòu)成,

:?AD=DE=CE=BE,ZADE=ZBEC=120°,

J△ADE9ACEB,,NEBC=Na.

120°，BE=CE,/.ZBCE=1x(180°-120°)=30°,

???NACB=NACE+N8CE=600+30°=90°.

設正三角形的邊長為a,則AC=2a,BC=小a

在RtZ\4CB中