理論力學(xué)課件 第三章 分析力學(xué)4

理論力學(xué)ClassicalMechanics2024第三章分析力學(xué)哈密頓量：時(shí)間對稱性與能量守恒3.5動(dòng)力方程：基于哈密頓的力學(xué)體系3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化3.7洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢3.833.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化力學(xué)問題解決方案物體運(yùn)動(dòng)變化歐拉-拉格朗日方程哈密頓方程牛頓方程三維空間廣義坐標(biāo)相空間哈密頓方程3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化

物理量對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)物理量的變化時(shí)間的影響空間的影響把系統(tǒng)的空間變化與某些具體的操作給聯(lián)系起來3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化空間變化對物理量的影響，就是物理量在相應(yīng)的無限小操作下的變分，。這個(gè)變分的具體值當(dāng)然應(yīng)該與物體受承受的具體操作相關(guān)。操作的英文單詞是Operate，用大寫的O來表示這個(gè)操作。

3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化做個(gè)小結(jié)

利用哈密頓方程，將坐標(biāo)和動(dòng)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，替換成哈密頓對坐標(biāo)和動(dòng)量的偏導(dǎo)數(shù)。3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化它表示單位時(shí)間內(nèi)，物理量Q的變化與坐標(biāo)和動(dòng)量的關(guān)系。泊松式子太長、太麻煩！

即3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化系統(tǒng)的時(shí)間演化行為是由能量決定的。在泊松括號(hào)中，括號(hào)的左邊是研究的對象，括號(hào)的右邊是對象變化的原因，也就是系統(tǒng)的哈密頓H。對象的時(shí)間變化率={對象，對象變化的原因}

同理3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化

空間變化率

3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化

時(shí)間的流逝，可以看作是通過時(shí)間平移操作實(shí)現(xiàn)的，對應(yīng)這個(gè)時(shí)間平移操作的就是系統(tǒng)的哈密頓：

3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化

3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化考察無限小操作對能量的影響，就是哈密頓和它的泊松括號(hào)：

3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化泊松括號(hào)還有一個(gè)巨大的優(yōu)勢，就是它可以被公理化，可以通過簡單幾條規(guī)則和少量規(guī)定，來完成任何復(fù)雜函數(shù)之間的泊松括號(hào)計(jì)算：最基本單元是坐標(biāo)和動(dòng)量之間的泊松括號(hào):3.6泊松括號(hào)：統(tǒng)一處理物理量的變化用簡單的泊松括號(hào)，統(tǒng)一處理了任意復(fù)雜物理量的時(shí)空變化研究對象是什么造成它的原因是什么用大括號(hào)把他們括起來按泊松括號(hào)的規(guī)則去計(jì)算總結(jié)33.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢有了泊松括號(hào)和哈密頓，原則上就能搞定任何物理量的時(shí)間演化問題

常見的基本力，比如萬有引力、庫侖力都是保守力磁場對應(yīng)的洛倫茲力，它是一個(gè)與速度有關(guān)的力，方向還始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，洛倫茲力不是保守力。怎么寫出非保守力的哈密頓呢？3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢

3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢通過梯度運(yùn)算，可以由標(biāo)量場定義出一個(gè)矢量場：

勢場的負(fù)梯度就是力場：

注意:能寫成梯度的矢量場都有一個(gè)特殊性質(zhì)：

矢量叉乘的定義:3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢?與矢量場的點(diǎn)乘是散度，它描述的是粒子們在空間區(qū)域的擴(kuò)散和凝聚行為徑向切向一個(gè)矢量場的散度為0，那么這個(gè)矢量場一定是某個(gè)其它矢量場的旋度。磁場的散度為0那磁場一定是某個(gè)矢量場A的旋度3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢類似的可以把與磁場對應(yīng)的矢量場A叫做磁勢。數(shù)學(xué)上證明，如果一個(gè)矢量場的散度為0，那么這個(gè)矢量場一定是某個(gè)其它矢量場的旋度電場、電勢與Del之間有梯度關(guān)系：通常規(guī)定地球的電勢為0。只有做這樣一個(gè)規(guī)范后，電勢的絕對值才有明確的物理意義。3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢磁勢加上一個(gè)任意標(biāo)量場的梯度，磁場的計(jì)算結(jié)果不會(huì)發(fā)生改變：我們把物理量或運(yùn)動(dòng)方程，在不同規(guī)范下，保持不變的性質(zhì)叫做規(guī)范不變性。3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢哈密頓最初的定義：求哈密頓求拉格朗日量求系統(tǒng)的能量L是坐標(biāo)、速度和時(shí)間的函數(shù)。決定物體運(yùn)動(dòng)的歐拉拉格朗日方程：

代入歐拉拉格朗日方程保守力作用的下的牛頓第二定律3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢已知洛倫茲力與磁場和速度的關(guān)系：啟發(fā)：1、拉格朗日量可能跟速度和磁場有關(guān)。2、拉格朗日量中與電場相關(guān)的部分是電勢，與磁場有關(guān)的勢，可能就是磁勢。拉格朗日量是標(biāo)量，速度和磁勢都是矢量，即把兩個(gè)矢量變成標(biāo)量：3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢

根據(jù)定義，梯度項(xiàng)的作用量是這樣的:dt約掉磁勢的規(guī)范并不會(huì)影響哈密頓原理對路徑的選擇。3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢包含洛倫茲力的拉格朗日量:動(dòng)量:帶入拉格朗日量:動(dòng)量變化率:3.8洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢直接對動(dòng)量求導(dǎo)數(shù)，得到與力相關(guān)的動(dòng)量變化率