北師大版九年級上冊數(shù)學期中考試試卷及答案詳解

北師大版九年級上冊數(shù)學期中考試試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．關于一元二次方程的一個根是0，則的值為（）A．1或 B．1 C． D．02．菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直3．設x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的兩個實數(shù)根，則的值為（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣14．由下表：6.176.186.196.200.040.1可知方程（為常數(shù)）一個根（精確到0.01）的范圍是（）A． B． C． D．5．如圖，已知矩形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上的一點，∠BEG>60°，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片上的點H處，連結(jié)AH，則與∠BEG相等的角的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．16．如圖，正方形ABCD的面積為12，ΔABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．23 B．26 C．3?37．如圖所示的圖形是由四個全等的直角三角形圍成的，若兩直角邊分別為3和4，則向圖中隨機拋擲一枚飛鏢，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（不考慮落在線上的情形）（）A．35 B．45 C．16258．已知關于x的一元二次方程x2+2x+a=0有兩個相等的實數(shù)根，則A．4 B．?4 C．1 D．?19．關于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a滿足（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1且a≠5 C．a(chǎn)≥1且a≠5 D．a(chǎn)≠510．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是（）A． B． C． D．大小關系不能確定11．在圍棋盒中有x顆白色棋子和y顆黑色棋子，從盒中隨機取出一顆棋子，取得白色棋子的概率是．如果再往盒中放進6顆黑色棋子，取得白色棋子的概率是，則原來盒中有白色棋子()A．8顆 B．6顆 C．4顆 D．2顆12．盒子里有5個除顏色外其余均相同的球，其中紅球、黃球、綠球各1個，白球2個，從中摸出3個球，有2個白球的概率是（）A．110 B．15 C．310二、填空題13．若，且一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是____.14．在ΔABC中，∠C=90°，周長為(5+23)cm15．去游泳館游泳，要換拖鞋，如果鞋柜里只剩下尺碼相同的4雙紅色的鞋和3雙藍色的鞋混合放在一起，閉上眼睛隨意拿出2只，它們正好是一雙的概率為_________．16．將完全相同的平行四邊形和完全相同的菱形鑲嵌成如圖所示的圖案．設菱形中較小角為x度，平行四邊形中較大角為y度，則y與x的關系式是________．17．如圖，線段(其中為正整數(shù))，點在線段上，在線段同側(cè)作正方形及正方形，連接、、得到．當時，的面積記為；當時，的面積記為；當時，的面積記為；…當時，的面積記為．當時，______．三、解答題18．解下列方程．（1）x2（2）4y（3）m(m?5)+4m=0（用因式分解法）；（4）7x（5）x2（6）(x+1)219．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的兩個外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求證：四邊形ABCD是菱形．20．“田忌賽馬”是一個被人熟知的故事．傳說戰(zhàn)國時期，齊王與田忌各有上等馬、中等馬、下等馬各一匹，同等級的馬中，齊王的馬比田忌的馬強，有一天，齊王要與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹馬，每匹馬賽一次，贏得兩局及以上者為勝（田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬要強）．（1）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣比賽，那么田忌的馬如何出陣，田忌才能取勝？（2）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣，而田忌的馬隨機出陣比賽，田忌獲勝的概率是多少？（要求寫出雙方對陣的所有情況）21．如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E.（1）求證：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積.22．已知關于的一元二次方程．（1）求證方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）設該方程的兩根分別為，且滿足，求的值．23．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，點E是線段AD上的一個動點（E與A，D不重合），G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點．（1）試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由．（2）當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形？并加以證明．（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，探索線段EF與線段BC的關系，并證明你的結(jié)論．24．小紅和小明在操場做游戲，他們先在地上畫了半徑分別為2m和3m的同心圓（如圖），然后蒙上眼睛在一定距離外向大圓內(nèi)擲小石子，若擲中陰影，則小紅勝，否則小明勝，未擲入掘內(nèi)不算，你來當裁判．（1）你認為游戲公平嗎？為什么？（2）游戲結(jié)束，小明邊走邊想，“能否用頻率估計概率的方法來估算非規(guī)則圖形的面積呢？”請你設計方案，解決這一問題．25．已知：ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程的兩個實數(shù)根．（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？（2）若AB的長為2，那么ABCD的周長是多少？答案與詳解1．C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義得出a?1≠0，a2?1＝0，求出a的值即可．【詳解】把x＝0代入方程得：a2?1＝0，解得：a＝±1，∵（a?1）x2＋x＋a2?1＝0是關于x的一元二次方程，∴a?1≠0，即a≠1，∴a的值是?1．故選：C．【點睛】本題考查了對一元二次方程的定義，一元二次方程的解等知識點的理解和運用，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題．2．D【詳解】A、不正確，兩組對邊分別平行，兩者均有此性質(zhì)；B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)；C、不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)．故選D．3．B【詳解】∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3．∴．故選B．考點：一元二次方程根與系數(shù)的關系，求代數(shù)式的值．4．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性，可得答案．【詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)，得

在6.17＜x＜6.20范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，

當x=6.18時，y=-0.01，當x=6.19時，y=0.04，

方程ax2+bx+c=0的一個根x的取值范圍是6.18＜x＜6.19，

故選C．【點睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似解，解答此題的關鍵是利用函數(shù)的增減性．5．B【解析】連BH，如圖，∵沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片上的點H處，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵點E是AB的中點，∴EH=EB=EA，∴△AHB為直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．故選B．6．A【解析】【分析】連接BP．由正方形的對稱性可知PD=PB，則PD+PE=PB+PE，依據(jù)兩點之間線段最短可知當點B、P、E在一條直線上時，PD+PE有最小值，最小值=BE，然后依據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)求解即可【詳解】解：連接BP．

∵點B與D關于AC對稱，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE．

∴由兩點之間線段最短可知當點P為點P′處時，PD+PE有最小值，最小值=BE．

∵正方形ABCD的面積為12，

∴AB=23．

又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=23．

∴PD+PE的最小值為23．【點睛】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，明確當點P、E、B在一條直線上是，PE+PD有最小值是解題的關鍵．7．D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出陰影部分面積和總面積，計算出二者的比值即可．【詳解】解：∵兩條直角邊分別為3和4，

∴斜邊為：32+42=5，

∵如圖是由四個全等的直角三角形圍成的，

∴四邊形ABCD與四邊形EFGH是正方形，

∴AB=3+4=7，

∴S正方形ABCD=49，S正方形EFGH=25，

∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是：25【點睛】本題考查幾何概率的求法,解題的關鍵是求解各部分的面積，注意用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．8．C【解析】【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到△=22-4a=0，然后解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得△=22-4a=0，

解得a=1．

故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．9．C【分析】由方程有實數(shù)根可知根的判別式b2﹣4ac≥0，結(jié)合二次項的系數(shù)非零，可得出關于a的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．【詳解】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5，故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是得出關于a的一元一次不等式組，由根的判別式結(jié)合二次項系數(shù)非零得出不等式組是關鍵．10．A【分析】根據(jù)t是一元二次方程的根，把t代入原方程得到at2+bt+c=0進行整理，兩邊同乘以4a，再移項，兩邊同加上b2，就得到了（2at+b）2=b2-4ac．【詳解】把t代入方程ax2+bx+c=0中得at2+bt=-c，∵(2at+b)2=4a2t2+4abt+b2，∴(2at+b)2=4a(at2+bt)+b2=-4ac+b2，∴△=M.故選：A.【點睛】考查了一元二次方程解的概念以及根的判別式，主要是對方程進行轉(zhuǎn)化，注意轉(zhuǎn)化思想在解題中的應用.11．C【分析】先根據(jù)白色棋子的概率是，得到一個方程，再往盒中放進3顆黑色棋子，取得白色棋子的概率變?yōu)?，再得到一個方程，解方程組即可求得答案.【詳解】由題意得，解得x=4，y=6，經(jīng)檢驗x、y是原方程組的解，故選C．12．C【解析】【分析】由盒子里有5個除顏色外其余均相同的球，其中紅的、黃的、綠的各一個，白的兩個，可得從中摸出三個球，余下兩球等可能的結(jié)果有10（種），其中余下兩球沒有白球的有3種情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：∵盒子里有5個除顏色外其余均相同的球，其中紅的、黃的、綠的各一個，白的兩個，

∴從中摸出三個球，余下兩球等可能的結(jié)果如下表所示：紅黃、紅綠、紅白1、紅白2、黃綠、黃白1、黃白2、綠白1、綠白2一共10種情況，其中余下兩球沒有白球的有3種情況，

∴余下兩球沒有白球的概率為：310∴摸到兩個白球的概率為：310．

【點睛】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．且．【詳解】試題分析：∵，.∴一元二次方程為.∵一元二次方程有實數(shù)根，∴且.考點:（1）非負數(shù)的性質(zhì)；（2）一元二次方程根的判別式.14．3【解析】【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得斜邊的長，然后求得兩邊之和，然后求得兩邊之積即可求得面積．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，斜邊上的中線CD=2cm，

∴斜邊c的長為：4，

∴兩直角邊的和為：a+b=1+23

∵a2+b2=c2=16

（a+b）2=a2+b2+2ab

∴2ab=（1+23）2-16=43-3，

∴Rt△ABC面積=ab2=14×(4故答案為：3?【點睛】本題考查了二次根式的應用、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及勾股定理的知識，解題的關鍵是利用完全平方公式求得兩直角邊的乘積．15．【解析】【分析】由鞋柜里只剩下尺碼相同的4雙紅色的鞋和3雙藍色的鞋混合放在一起，閉上眼睛隨意拿出2只，等可能的結(jié)果有182種，其中正好是一雙的有50種情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：∵鞋柜里有尺碼相同的4雙紅色的鞋和3雙藍色的鞋，

∴隨意拿出2只，等可能的結(jié)果有：14×13=182（種），其中正好是一雙有：紅色成雙4×4×2=32種，藍色成雙3×3×2=18種情況，共計50種成雙情況.

∴隨意拿出2只正好是一雙概率為：．

故答案為：．【點睛】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．y=90+【詳解】如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ADC＝180°－x°，又∠CDB＝y(tǒng)°，∴∠ADC＋∠CDB＋∠ADB＝360°∴y=90+17．【解析】【分析】方法一：根據(jù)連接，則，利用的面積=的面積即可得出，，即可得出答案．方法二：根據(jù)題意得出圖象，根據(jù)當時，，得出，得出與的關系，進而得出當時，，，即可得出的值．【詳解】解：方法一：連接．∵在線段同側(cè)作正方形及正方形，∴，∴與同底等高，∴的面積=的面積，∴當時，的面積記為，，∴當時，．方法二：如圖所示：延長與，交于點，∵線段(其中為正整數(shù))，∴當時，，∴當?shù)拿娣e記為：，，，當時，，∴此時的面積記為：，，，∴當時，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了三角形面積求法以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出正確圖形，得出與的關系是解題關鍵．18．(1)x1=5+372，x2=5?372；（2）y1【解析】【分析】（1）將方程的常數(shù)項移動右邊，然后方程左右兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個常數(shù)，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）將方程整理為一般形式，找出二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b及常數(shù)項c，計算出b2-4ac的值等于0，然后將a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解；

（3）方程左邊提取公因式m，化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用十字相乘法將方程左邊的多項式分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；(5)將方程整理為一般形式，然后利用完全平方公式分解因式后之間開平方即可解答；（6）將方程整理為一般形式，找出二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b及常數(shù)項c，計算出b2-4ac的值＜0，即可得原方程的無實數(shù)解；【詳解】解：（1）x移項得：x2配方得：x2?5x+5開方得：x?5∴x1=5+（2）4移項得：4y整理得：4ya=4，b=-4，c=1，∴Δ=b∴y=4±∴y1（3）m(m?5)+4m=0分解因式得：m[(m?5)+4]=0，即m(m?1)=0，∴m=0或m?1=0，∴m1=0，（4）7x分解因式得：(7x+1)(x+1)=0，∴7x+1=0或x+1=0∴x1=?1（5）x2整理得：5x因式分解得：5(x?1)∴x1（6）(x+1)2移項整理：(x+1)24x∴x2∴Δ=1?12=?11<0．∴原方程無解．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，題目難度不大，熟練掌握一元二次方程的幾種解法是解決本題的關鍵．19．詳見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出．【詳解】證明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC為等邊三角形．∴AB=BC，∠ACB=60°．∴∠FAC=∠ACE=120°．∴∠BAD=∠BCD=120°．∴∠B=∠D=60°．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形．20．（1）詳見解析；（2）田忌獲勝的概率．【分析】（1）保證勝2局即可；田忌的馬按中、上、下的順序出陣即可得．

（2）用樹狀圖或表格表達事件出現(xiàn)的可能性是求解概率的常用方法．列舉出所有情況，讓田忌獲勝的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】解：（1）∵田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強，齊王的馬按上、中、下順序出陣時，∴田忌的馬按下、上、中的順序出陣才能獲勝．（2）田忌的馬隨機出賽的情況可畫樹狀圖如下：∴當田忌的馬隨機出陣時，雙方馬的對陣情況如下表：齊王上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上勝方齊王齊王齊王齊王田忌齊王由上可知，雙方馬的對陣中，只有一種對陣情況田忌能贏，故田忌獲勝的概率．【點睛】本題考查了利用列表或樹狀圖求概率的方法：先通過列表或樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果數(shù)n，再找出其中某事件所占有的結(jié)果數(shù)m，然后根據(jù)概率的概念計算這個事件的概率為．21．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證．（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分求出BD的長度，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC的長（或用勾股定理求），并根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出DE的長，最后利用梯形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AC=BE．∴BD=BE．（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8．∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，BC=BD·cos∠DBC=8×．∵BD=BE，BC⊥DE，∴CE=CD=4，∴DE=8∴四邊形ABED的面積=（AB+DE）·BC=×（4+8）×．22．（1）詳見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)根的判別式可得△=k2+4，由于k2≥0，進而可判斷△＞0，從而可判斷此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關系計算x1+x2，x1?x2的值，而x1+x2=x1?x2，可把x1+x2，x1?x2的值代入，進而可求出k．【詳解】解：（1）證明：，∵對任意，恒成立，∴恒成立，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）由根與系數(shù)的關系可得，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握根的判別式、根與系數(shù)的關系的表達式，并會熟練計算．23．（1）四邊形EGFH是平行四邊形，理由詳見解析；（2）當點E運動到AD的中點時，四邊形EGFH是菱形；（3）當（2）中的菱形是正方形時．EF⊥BC，EF=1【解析】【分析】（1）由中位線定理可知GF//EH，GF=EH．利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊即可；

（2）由BE=CE即可得四邊形EGFH是菱形；所以需要當點E運動到AD的中點；

（3）根據(jù)菱形EGFH是正方形即可得EG=EH，∠BEC=90°；從而可得△【詳解】解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．理由如下：∵G,F,H分別是BE，BC，CE的中點，∴GF//EH，GF=EH．∴四邊形EGFH是平行四邊形（2）當點E運動到AD的中點時，四邊形EGFH是菱形．證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D，∵AE=DE，∴ΔABE≌ΔDCE(SSS)，∴BE=CE．∵G，H分別是BE，CE的中點，∴EG=EF．由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，∴四邊形EGFH是菱形．（3）當（2）中的菱形是正方形時．EF⊥BC，EF=1證明：∵四邊形EGFH是正方形，∴EG=EH，∠BEC=90∵G，H分別是EB，CE的中點，∴EB=EC．∵F是BC的中點，∴EF⊥BC，EF=1【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)及菱形的判定，難度不大，關鍵是掌握菱形、正方形的判定方法和性質(zhì)