g習(xí)題課(定積分的應(yīng)用)

部分定積分的應(yīng)用習(xí)題課

2021/6/271一.基本要求：

1.深刻理解定積分的基本思想，熟練運(yùn)用公式計(jì)算平面圖形的面積、平行截面面積已知的立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積和側(cè)面積、曲線弧長等。

2.初步掌握運(yùn)用“元素法”解決物理、力學(xué)及應(yīng)用中的某些問題。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)與例子（共11例）.1.幾何應(yīng)用方面：

(1)

求面積(2)

求體積(3)

求弧長(4)

求側(cè)面積

2.物理應(yīng)用方面：(1)

求平行力作功(2)

求壓力

3.定積分其他應(yīng)用:(1)求函數(shù)平均值(2)實(shí)際問題三.課堂練習(xí)(共7題)四.綜合題(共3題)綜合題解答

第六部分定積分的應(yīng)用2021/6/272一.基本要求(1)因?yàn)槠矫鎴D形都是由曲邊梯形或曲邊扇形組成，所以定積分能解決任意（邊界是已知函數(shù)的）平面圖形求面積的問題。(2)由于定積分是一維的積分，所以只能解決截面面積已知的立體

求體積問題。旋轉(zhuǎn)體是其中一種，所以各種旋轉(zhuǎn)體的體積問題基本可以解決。一般立體的求體積問題以后用二重積分或三重積分可以解決。(3)利用弧微分（在局部，用切線長ds近似曲線長

s），可以解決任意平面曲線（曲線函數(shù)已知）求弧長的問題。一般空間曲線的求弧長問題以后用第一型曲線積分可以解決。(4)通過弧微分，求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積問題也可以用定積分解決。求一般曲面的面積問題以后用第一型曲面積分可以解決。1.定積分的幾何應(yīng)用2021/6/2732.元素法(1)怎樣的量U

可以用定積分計(jì)算？1o

量U

與給定區(qū)間[a,b]有關(guān)；2o

量U

對區(qū)間[a,b]具有可加性.(2)計(jì)算步驟：1o

根據(jù)實(shí)際問題，選取坐標(biāo)系、積分變量和積分區(qū)間[a,b]；2o

x

[a,b],求小區(qū)間[x,x+dx]上的部分量dU;

稱dU=f(x)dx為元素.(3)計(jì)算中的關(guān)鍵和難點(diǎn)：找到f(x).f(x)的表示式與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)。3o2021/6/274S...(1)

求面積Scd直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系邊界函數(shù)圖形面積公式y(tǒng)=f(x)x=

(y)

=

(

)Sa

bx=a,x=b,y=0y=c,y=d,x=0

=

,=二.重點(diǎn)、難點(diǎn)與例子.1.幾何應(yīng)用方面2021/6/275例1.解：3yx013先畫圖.S1S22.需分塊兒！12021/6/276例2210xy解：先畫圖.用極坐標(biāo)：.r=4cos

.還有別的方法嗎？方法I.2021/6/277例210xy解：方法II.用初等方法求圖示部分：.22021/6/278例3解：0xya–aa–a.2021/6/279(2)

求體積1o已知平行截面面積為A(x)的立體體積2o

繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積xA(x)xba

曲邊梯形：

y=f(x)，x=a,x=b,y=0

繞x

軸xf(x)bxa..2021/6/2710yx03o

繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積yx0x=g(y)cd..4o

用柱殼法求繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積曲邊梯形

y=f(x),

x=a,x=b,y=0

繞

y

軸.af(x).如下例：b2021/6/27112a例4：用柱殼法求旋轉(zhuǎn)體體積.yx0a解：由柱殼法的公式：...分塊兒求,怎么分？S1S21顯然柱殼法簡便。2021/6/2712ab

y=f(x)

(

)

(

).(3)求弧長

..xy0

(t)

(t)0

(a<b)(

<

)(

<

)2021/6/2713例5解：先作圖.圖形關(guān)于y軸對稱..0xy1–1CBA得A(1,1),B(–1,1)..

2021/6/2714例6解：.2021/6/2715曲線y=f(x)

繞x

軸旋轉(zhuǎn),.(4)

求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積

A..曲線繞

y軸旋轉(zhuǎn)有類似的結(jié)果。2021/6/2716bb–ax0y解：曲線用極坐標(biāo)：例7由已知公式：.2021/6/2717平行力：指大小變而方向不變的力。一般變力（大小、方向都變）的作功問題用第二型曲線積分解決。2.物理應(yīng)用方面xF(x)ab0.一般情況下，力函數(shù)F(x)需要自己尋找。如下例：2021/6/2718解法I：選擇圖示坐標(biāo)系.例8..xy

2米10xx+dx上所消耗的功近似地為：=9.8

=9.8

W=9.8

.將這薄層水抽到地面2021/6/2719解法II：選擇圖示坐標(biāo)系.例8.yx

2米–10yy+dy將這薄層水抽到地面上所消耗的功近似地為：=9.8

=9.8

W=9.8

2021/6/2720解法III：選擇圖示坐標(biāo)系...yx

2米10yy+dy將這薄層水抽到地面上所消耗的功近似地為：顯然，選擇方法I和方法II的坐標(biāo)系計(jì)算功比用方法III簡便一些.例8=9.8

=9.8

W=9.8

2021/6/2721(2)求壓力

比如，求水對閘門的壓力。壓力在不同深度是不同的。水對閘門的總壓力等于閘門在不同深度處所受壓力之總和。因此，可以用定積分求壓力。那么，如何求垂直豎立的一塊面積所受的壓力呢？由物理學(xué)中“帕斯卡定律”：在同一深度，液體在各個(gè)方向產(chǎn)生同樣的壓強(qiáng)。因此，垂直豎立的一塊面積所受的壓力等于把此塊面積水平放置在同一深度所受的壓力，即此塊水平面積上承受的液體重量。看下例：2021/6/2722

例9解：選擇圖示坐標(biāo)系.xoyahx+dxx先求這一薄層的長b:b這一薄層的面積約為:所以這一薄層受的水壓力約為:.2021/6/2723abf(x)3.

定積分其他應(yīng)用：

..解：.2021/6/2724解：.(2)

需要用元素法解決的實(shí)際問題2r0dr2021/6/2725三.課堂練習(xí)2021/6/27265.2021/6/2727四.綜合練習(xí)題f(x)abB(h)A(h)f(h)h0yxxy01–1a2021/6/2728謝謝使用返回首頁習(xí)題課.2021/6/2729三.課堂練習(xí)解答=4解：2021/6/27302..1221xy0解：2021/6/2731

曲線有漸近線：

y=0.=23.解：xy0由對稱性2021/6/2732..4.解：這是一條雙曲螺線.由弧長公式.2021/6/2733xy0.5.解：12–1x把x坐標(biāo)軸平移至y=–1處.2021/6/2734體積：..xyoy=2xy=–x6.解：202