5.2三角函數(shù)的概念【四大必考點(diǎn)+十大秒殺招+八大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類（解析版）

5.2三角函數(shù)的概念【四大必考點(diǎn)+十大秒殺招+八大題型+分層訓(xùn)練】知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01三角函數(shù)的概念(1)任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦函數(shù)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y＝sinα余弦函數(shù)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x＝cosα正切函數(shù)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)三角函數(shù)我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)注：三角函數(shù)的定義(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng)．(2)三角函數(shù)是用比值來(lái)定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．(3)三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P(x，y)在角α終邊上的位置無(wú)關(guān)，只由角α的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．(2)三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域y＝sinxx∈Ry＝cosxx∈Ry＝tanxx≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)知識(shí)點(diǎn)02三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知識(shí)點(diǎn)03誘導(dǎo)公式(一)名稱符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言誘導(dǎo)公式(一)sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等注：公式一的理解(1)公式一的實(shí)質(zhì)：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次，體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律．(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：①左、右為同一三角函數(shù)；②公式左邊的角為α＋k·2π(k∈Z)，右邊的角為α.知識(shí)點(diǎn)04同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系關(guān)系式語(yǔ)言敘述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式及常用結(jié)論①平方關(guān)系變形及常用結(jié)論sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.②商的變形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，這里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1.(3)sin2α是(sinα)2的簡(jiǎn)寫，不能寫成sinα2.(4)約定：教材中給出的三角恒等式，除特別注明的情況外，都是指兩邊都有意義的情況下的恒等式．(5)在使用同角三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)要注意使式子有意義，如式子tan90°＝eq\f(sin90°,cos90°)不成立．(6)在應(yīng)用平方關(guān)系式求sinα或cosα?xí)r，其正負(fù)號(hào)是由角α所在的象限決定的．解題大招解題大招大招01任意角的三角函數(shù)的定義如圖，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么：（1）比值叫做的正弦，記作，即；（2）比值叫做的余弦，記作，即；（3）比值叫做的正切，記作，即．對(duì)于確定的值，比值，，分別是唯一一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以正弦、余弦、正切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．大招02利用三角函數(shù)的定義求值的策略已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．(2)注意角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況來(lái)處理，取射線上任一點(diǎn)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).提醒：角α是一個(gè)任意角，其范圍是使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)集．大招03判斷三角函數(shù)值的符號(hào)各三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)如圖所示．【說(shuō)明】（1）對(duì)各象限角對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值和正切值來(lái)說(shuō)，第一象限各三角函數(shù)值全都是正號(hào)，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．（2）各象限三角函數(shù)值正號(hào)規(guī)律：一全二正弦，三切四余弦．大招04確定三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號(hào)的方法(1)三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)的定義，由各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)得出的．(2)正弦、余弦、正切函數(shù)的符號(hào)表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．大招05公式一的應(yīng)用公式一可以統(tǒng)一寫成f(k·360°＋α)＝f(α)或f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式2、利用它可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0到2π角的三角函數(shù)值，即可把負(fù)角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù)，亦可以把大于2π角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù)，即對(duì)角實(shí)現(xiàn)負(fù)化正、大化小的轉(zhuǎn)化．大招06求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．大招07sinα±cosα，sinαcosα的應(yīng)用1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以利用平方關(guān)系求其他兩個(gè)，即“知一求二”．2、sinθ±cosθ的符號(hào)的判定方法sinθ－cosθ的符號(hào)的判定方法：由三角函數(shù)的定義知，當(dāng)θ的終邊落在直線y＝x上時(shí)，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，當(dāng)θ的終邊落在直線y＝x的上半平面區(qū)域內(nèi)時(shí)，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；當(dāng)θ的終邊落在直線y＝x的下半平面區(qū)域內(nèi)時(shí)，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如圖①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符號(hào)如圖②所示．大招08齊次式求值1、已知，可以求或的值，將分子分母同除以或，化成關(guān)于的式子，從而達(dá)到求值的目的.2、對(duì)于的求值，可看成分母是1，利用進(jìn)行代替后分子分母同時(shí)除以,得到關(guān)于的式子，從而可以求值.3、不是已知的情況，可以先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值，然后利用齊次式的方法求解.4、齊次式的化切求值問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).大招09三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．大招10證明三角恒等式常用的方法(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡(jiǎn)．(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．(3)化異為同法，即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)地進(jìn)行變形，以消除差異．(4)變更命題法，如要證明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可證ad＝bc，或證eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等．(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“eq\f(左邊,右邊)＝1”．題型分類題型分類題型01任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【例1】已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)?1,2，則cosα=（A．33 B．233 C．?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【解答過(guò)程】由題意，cosα=故選：C.【變式1-1】已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)sin5π6,cosA．?3 B．3 C．?33【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算．【解答過(guò)程】sin5π6所以tanα=故選：A．【變式1-2】已知α是第二象限的角，Px,2為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=13，則A．?4 B．±4 C．±42 D．【解題思路】利用三角函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合象限角的定義，可得答案.【解答過(guò)程】依題意，x<0,r=OP=x則sinα=2x故選：D.題型02由單位圓求三角函數(shù)值【例2】已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P?31010,A．?21010 B．?1010 【解題思路】利用角的終邊與單位圓相交來(lái)定義任意角的三角函數(shù)值.【解答過(guò)程】因?yàn)榻铅恋慕K邊與單位圓的交點(diǎn)P?令x=?3所以sinα=y=所以sinα+故選：A.【變式2-1】設(shè)a<0，角α的終邊與圓x2+y2=1的交點(diǎn)為P(?3aA．?25 B．?15 C．【解題思路】根據(jù)點(diǎn)在單位圓上求出a=?1【解答過(guò)程】畫圖，角α的終邊與圓x2+y

設(shè)P(x，y)，則x=?3a，y=4a，代入得解得a2∵a<0，∴a=?1∴P(3又∵在單位圓中，cosα=x，sin∴cosα=35∴sinα+2故選：D.【變式2-2】在單位圓中，已知角α的終邊上與單位圓的交點(diǎn)為P?35,4A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)定義計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由三角函數(shù)定義知sinα=45，cos所以sinα?cosα=故選：D.題型03三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)【例3】若sinθtanθ>0，則A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閟inθtanθ在第一象限時(shí)sinθ>0,在第四象限時(shí)sinθ<0,所以θ是第一、四象限角，而二、三象限兩函數(shù)值異號(hào).故選：D.【變式3-1】若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上，sinα<0且tanα>0，則α的終邊在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】結(jié)合sinα<0且tan【解答過(guò)程】因?yàn)閟inα<0，所以α的終邊在第三、四象限或y因?yàn)閠anα>0，所以α的終邊在第一、三象限，所以α故選：C.【變式3-2】若π<θ<3π2，則點(diǎn)A．一 B．二 C．三 D．四【解題思路】根據(jù)給定的角，確定余弦值、正切值的符號(hào)即可得解.【解答過(guò)程】由π<θ<3π2，得cosθ<0故選：B.題型04誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用【例4】sin390°的值為（

A．32 B．22 C．12【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可.【解答過(guò)程】sin390°=故選：C.【變式4-1】cos25π3A．32 B．12 C．?3【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【解答過(guò)程】由誘導(dǎo)公式可得，cos25故選：B.【變式4-2】sin?29πA．?32 B．?12 C．【解題思路】由誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算出答案.【解答過(guò)程】sin?故選：C.題型05同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【例5】若α為第二象限角，且sinα=32，則tanA．3 B．?3 C．33 【解題思路】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，且sinα=32得到tanα=故選：B.【變式5-1】已知θ是三角形的內(nèi)角，若sinθ?cosθ=15A．75 B．?15 C．?【解題思路】將sinθ?cosθ=15兩邊平方，求出2sinθ【解答過(guò)程】因?yàn)閟inθ?cosθ=即sin2θ?2sinθcos又θ是三角形的內(nèi)角，所以sinθ>0，則cos所以sinθ+故選：A.【變式5-2】若tanα=?34，cosα<0，則A．45 B．?45 C．3【解題思路】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的正負(fù)計(jì)算即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閠anα=sin又因?yàn)閟in2α+cos因?yàn)閏osα<0，所以cosα=?4故選：C.題型06正、余弦齊次式的計(jì)算【例6】已知tanα=3，則2sinα+A．1 B．3 C．5 D．7【解題思路】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)原式即可直接得答案.【解答過(guò)程】將2sinα+cos2sin故選：D.【變式6-1】已知tanα=?2，則sinαcosA．3 B．-3 C．2 D．-2【解題思路】由已知可得sinα【解答過(guò)程】sinαcos=tan故選：B.【變式6-2】已知角α的終邊在函數(shù)y=2x的圖象上，則1?2sinA．?25 B．±25 C．【解題思路】分母變?yōu)閟in2【解答過(guò)程】因?yàn)榻铅恋慕K邊在函數(shù)y=2x的圖象上，所以tanα=21?2====2故選：A.題型07三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值【例7】（1）已知tanα=23（2）若sinα?cosα=【解題思路】（1）齊次化得到1sin（2）sinα?cosα=【解答過(guò)程】（1）tanα=23（2）因?yàn)閟inα?cosα=整理得到2sinαcos【變式7-1】化簡(jiǎn)：(1)1+2sin(2)sin2【解題思路】（1）利用根式的化簡(jiǎn)與同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）利用完全平方公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得解.【解答過(guò)程】（1）原式=cos10（2）原式===sin【變式7-2】已知2cos(1)tanα(2)2sin【解題思路】（1）運(yùn)用平方關(guān)系結(jié)合化弦為切即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論化弦為切即可求解.【解答過(guò)程】（1）2==2+3則2+3tan即4tan解得tanα=?14（2）原式=2當(dāng)tanα=?14當(dāng)tanα=1時(shí)，原式=題型08三角恒等式的證明【例8】證明下列恒等式：(1)sin2(2)21?【解題思路】（1）由左邊，利用同角間正弦、余弦的關(guān)系，化簡(jiǎn)變形即可的證；（2）由右邊，展開，利用同角間正弦、余弦的關(guān)系，化簡(jiǎn)后分解因式，即可得到左邊，恒等式的證.【解答過(guò)程】（1）左邊====cos則恒等式成立.（2）右邊==2?2=2=21?則恒等式成立.【變式8-1】求證：(1)sin2(2)已知tanα=13【解題思路】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行證明即可.【解答過(guò)程】（1）左邊==3+2（2）sin=19【變式8-2】求證：(1)sinα?cosα+1(2)2【解題思路】（1）將左邊化為sinα?（2）用立方和公式與完全平方公式并結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子化簡(jiǎn).【解答過(guò)程】（1）左邊=sin=sin（2）左邊=2sin2=2=21?3分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．和 B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，，由三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于的方程，即可解出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，則，整理可得，因?yàn)?，解得故選：B.2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由推不出，如，，滿足，但是，故充分性不成立；由也推不出，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D3．已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合象限角的定義，可得答案.【詳解】依題意，，其中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以．故選：D.4．對(duì)任意且，函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B．?2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)確定的圖象所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合正切函數(shù)的定義，即可求得答案.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，故的圖象過(guò)定點(diǎn)，由于點(diǎn)在角的終邊上，則，故選：B5．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】，，所以，故選：A．6．隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)攝影越來(lái)越得到人們的喜愛(ài)，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用“黃金分割構(gòu)圖法”可以讓照片感覺(jué)更自然、更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫、豎各分三部分，以比例1：0.618：1為分隔，4個(gè)交叉點(diǎn)即為黃金分割點(diǎn).如圖，分別用A，B，C，D表示黃金分割點(diǎn)，若照片長(zhǎng)、寬比例為8：5，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義，求得的值，代入即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得所以，由三角函數(shù)的定義，可得，，，所以.故選：B.7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，那么角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，，由三角函?shù)的定義，可得，即.故選：D.8．已知點(diǎn)在角終邊上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角終邊上，且，即，解得，所以.故選：A9．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A(1,,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，則P、Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是A．(0,0) B．(0,1) C．(-1,0) D．(0,-1)【答案】B【分析】由兩點(diǎn)相遇2019次，可求出兩點(diǎn)的總路程，由兩點(diǎn)的速度即可求出兩點(diǎn)相遇2019次時(shí)所用的時(shí)間，進(jìn)而可求出點(diǎn)所轉(zhuǎn)的弧度，即可確定點(diǎn)位置.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，兩點(diǎn)相遇1次的路程是單位圓的周長(zhǎng)即，所以兩點(diǎn)相遇一次用了1秒，因此當(dāng)兩點(diǎn)相遇2019次時(shí)，共用了2019秒，所以此時(shí)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為，由終邊相同的角的概念可知，與終邊相同，所以此時(shí)點(diǎn)位于y軸上，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角，由終邊相同的角的概念確定點(diǎn)位置，即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.10．如圖，質(zhì)點(diǎn)在單位圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為，角速度為2，則點(diǎn)到軸距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用角速度先求出時(shí)，的值，然后利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可【詳解】因?yàn)?，所以由，得，此時(shí)，所以排除CD，當(dāng)時(shí)，越來(lái)越小，單調(diào)遞減，所以排除B，故選：A11．（多選）已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由三角函數(shù)定義得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系建立方程組求解正、余弦，代入式子化簡(jiǎn)可得.【詳解】由角的終邊在直線，則，聯(lián)立解得或；終邊落在第一象限時(shí)，，此時(shí)，則；終邊落在第三象限時(shí)，，此時(shí)，則；綜上所述，的值為或.故選：BD.12．（多選）下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若一扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為，則該扇形的面積為 B．C．經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了 D．【答案】ABC【分析】利用扇形弧長(zhǎng)及面積公式判斷A；利用弧度制與角度制的互化判斷B；利用任意角的定義判斷C；利用象限角的三角函數(shù)符號(hào)判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓心角為，弧長(zhǎng)為，所以扇形半徑為，則扇形面積為，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則是第三象限角，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.13．（多選）若角的終邊在第三象限，則的值可能為（

）A．0 B．2 C．4 D．【答案】BC【分析】由角在第三象限，確定所在象限并確定函數(shù)值的符號(hào)即可得解.【詳解】由角的終邊在第三象限，得，則，因此是第二象限角或第四象限角，當(dāng)是第二象限角時(shí)，，當(dāng)是第四象限角時(shí)，.故選：BC14．已知，，求下列式子(1)(2)(3)和和【答案】(1)(2)(3)，，，【分析】（1）由，兩邊平方可得；（2）由，求值即可；（3）由，求和和.【詳解】（1）由，兩邊平方可得：，所以.（2）由，又，則，可得（3）由，得：，，.15．已知，且有意義．(1)試判斷角α的終邊所在的象限；(2)若角α的終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值及的值．【答案】(1)第四象限(2)，【分析】（1）根據(jù)三角正弦值及余弦值正負(fù)判斷象限；（2）根據(jù)任意角的三角函數(shù)值求參，再根據(jù)正弦定義計(jì)算即可.【詳解】（1）由，可知，由有意義，可知，∴角α的終邊在第四象限．（2）∵，∴，解得．又α是第四象限角，故，即．由正弦函數(shù)的定義可知．

【能力提升】1．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指對(duì)函數(shù)單調(diào)性比較與中間量的大小，根據(jù)角所在象限判斷正弦函數(shù)值的符號(hào)得，進(jìn)而可判斷的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，且.由，則，綜上可知.故選：D.2．已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角的三角函數(shù)和切弦互化計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，所以，故選：B3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同的兩個(gè)函數(shù)B．當(dāng)正整數(shù)越來(lái)越大時(shí)，的底數(shù)越來(lái)越小，指數(shù)越來(lái)越大，的值也會(huì)越來(lái)越大，但是不會(huì)超過(guò)某一個(gè)確定的常數(shù)C．如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)D．如果，則是第一象限角或第二象限角【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的值域，定義域，零點(diǎn)存在性定理及正弦函數(shù)的取值范圍結(jié)合舉反例即可判斷ACD；先證明不等式，得出，設(shè)整數(shù)，令，得出的單調(diào)性，令，即可證明的有界性，進(jìn)而判斷B．【詳解】對(duì)于A，設(shè)，當(dāng)時(shí)，x∈0,2或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，我們先證明一個(gè)不等式，對(duì)于任意滿足的實(shí)數(shù)，，因?yàn)?，將上式中第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的換成，所以，整理得，①，設(shè)整數(shù)，令，此時(shí)滿足的前提條件，則①式仍成立，即，所以隨單調(diào)遞增，令，代入①式得，，兩邊平方得，，因?yàn)槭谴笥?的整數(shù)，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，但函數(shù)y=fx在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，但不是第一象限角或第二象限角，故D錯(cuò)誤.故選：B．4．“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】C【分析】利用充分條件與必要條件的概念結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷即可得.【詳解】由，得，即充分性成立；反之，，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件．故選：C.5．若為方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而可得，進(jìn)而切化弦即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，則，，且，則，可得，所以.故選：D.6．當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．6 B．10 C．12 D．16【答案】D【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)椋?由，得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的最小值為16.故選：D.7．已知均為第二象限角，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、平方關(guān)系，并根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)判斷即可.【詳解】由題意，若，因?yàn)榫鶠榈诙笙藿牵?，所以，即，所以，且均為第二象限角，所以，所以，即充分性成?若，因?yàn)榫鶠榈诙笙藿?，所以，即，所以，即，因?yàn)榫鶠榈诙笙藿?，所以，所以，故必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C.8．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式得到；B選項(xiàng)，舉出反例；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；D選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)圖象可得，則，D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，，則，，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D，，故，由指數(shù)函數(shù)圖象可得，則，所以D錯(cuò)誤.故選：C9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，分別是單位圓上的四段?。ú缓c坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），點(diǎn)在其中一段上，角以為始邊，為終邊，若，則所在的圓弧是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義得到，再逐一分析各弧度對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)情況即可得解.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以由三角函數(shù)的定義可得，因?yàn)?，即，?duì)于A，在第一象限，且，不滿足題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、C，、在第三象限，且，則，不滿足題意，故B、C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在第四象限，且，則，所以，滿足題意，故D正確.故選：D.10．古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知，，，然后結(jié)合新定義簡(jiǎn)單計(jì)算可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，易得，對(duì)于A，因?yàn)?，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題屬于新定義題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比求解，注意有向線段.11．（多選）下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則的最小值為B．若，則的最小值為C．若，，且，則的最小值為2D．若，則的最小值為2【答案】BC【分析】選項(xiàng)A，通過(guò)取，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，利用平方關(guān)系得到，再結(jié)合條件，利用基本不等式，即可求解；選項(xiàng)C，根據(jù)條件，通過(guò)變形得到，再利用基本不等式，即可求解；選項(xiàng)D，利用基本不等式取等號(hào)的條件，即可判斷選項(xiàng)D的正誤.【