2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第6講　定值問題原卷版

第6講定值問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】定值問題 2【專題精練】 5真題自測真題自測一、解答題1．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】定值問題一、單選題1．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，D是直線上的一動點(diǎn)．與C交于點(diǎn)P（P在x軸的上方），過A作的垂線交的延長線于點(diǎn)E，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．（2024·河南·三模）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為是右支上一點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記的外接圓半徑分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，P，M，Q，N是拋物線上的四個點(diǎn)（P，M在軸上方，Q，N在軸下方），已知直線PQ與MN的斜率分別為和2，且直線PQ與MN相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2二、多選題4．（23-24高二上·云南昆明·期末）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．為定值 B．的周長的取值范圍是C．當(dāng)時，為直角三角形 D．當(dāng)時，的面積為5．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），點(diǎn)在直線上，點(diǎn)Q在直線上，且，則（

）A．C的離心率為3 B．當(dāng)時，C． D．為定值6．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說法正確的是（

）A．B．存在實(shí)數(shù)，使得C．若，則D．若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則三、填空題7．（2024·吉林白山·二模）已知點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且三點(diǎn)共線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為.8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知點(diǎn)是等軸雙曲線的左右頂點(diǎn)，且點(diǎn)是雙曲線上異于一點(diǎn)，，則．9．（2024·四川成都·三模）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))的值為四、解答題10．（2024·安徽合肥·二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，短軸長為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線（不與軸重合）與交于兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．11．（23-24高三上·廣西·階段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求雙曲線的離心率；(2)過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過雙曲線的右焦點(diǎn)且與平行的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，試問是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請說明理由．12．（2023·廣東·二模）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA與拋物線E交于點(diǎn)C，PB與拋物線E交于點(diǎn)D，且滿足，其中λ是常數(shù)，且．(1)設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，證明：MN垂直于x軸；(2)若點(diǎn)P為半圓上的動點(diǎn)，且，求四邊形ABDC面積的最大值．規(guī)律方法：求解定值問題的兩大途徑(1)由特例得出一個值(此值一般就是定值)→證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)．(2)先將式子用動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·河北秦皇島·二模）已知A，B為橢圓：上兩個不同的點(diǎn)（直線與y軸不平行），F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，且，若線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江·二模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn).若，且，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作直線，與拋物線分別交于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)．若直線的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為（

）A． B．C． D．不存在二、多選題4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上任意一異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．為定值B．C．當(dāng)四邊形的面積最大時，直線的斜率為1D．點(diǎn)的縱坐標(biāo)沒有最大值5．（23-24高二下·重慶·開學(xué)考試）設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若圓交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．C的焦距為 B．為定值C．的最大值為4 D．的最小值為26．（2024·遼寧大連·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)A、，使B．若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為C．平分D．以為直徑的圓與軸相切三、填空題7．（23-24高二上·江蘇常州·期中）橢圓的弦滿足，記坐標(biāo)原點(diǎn)在的射影為，則到直線的距離為1的點(diǎn)的個數(shù)為.8．（2024·河北滄州·一模）已知雙曲線：的焦距為，雙曲線C的一條漸近線與曲線在處的切線垂直，M，N為上不同兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則．四、解答題9．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知圓，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，BC中點(diǎn)為D，過中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為Γ(1)求Γ的方程；(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，，過的直線與Γ交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請從下列結(jié)論中，選擇一個正確的結(jié)論并給予證明.①的面積是定值；②的面積是定值：③的面積是定值.10．（2024·重慶·一模）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知，請問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．11．（23-24高三下·浙