2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講　等差數(shù)列、等比數(shù)列解析版

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 8【考點(diǎn)二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 11【考點(diǎn)三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明 15【專題精練】 21考情分析：1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．155．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．6．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．408．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．二、填空題9．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.10．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.參考答案：題號(hào)12345678答案DCBCBCCC1．D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D2．C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，AB最小，，此時(shí).

故選：C3．B【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.4．C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.5．B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B6．C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則Sn因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即Sn+1n+1-S即nan+1-Sn兩式相減得：an=nan+1-(n-1)因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則Snn=反之，乙：為等差數(shù)列，即Sn+1n+1即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：Sn-Sn-1于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C7．C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.8．C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算．9．95【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.10．【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)an的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，故答案為：.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算核心梳理：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))一、單選題1．（2024·湖南長沙·一模）古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日4德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請(qǐng)馬上告訴我，半個(gè)月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個(gè)問題中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為（

）A．413 B．427 C．308 D．1332．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（22-23高二下·河南信陽·階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，則成立的是（

）A．B．的最大值是C．D．當(dāng)時(shí)，最大值為4．（23-24高三上·河南·期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(為常數(shù))，則（

）A． B．的公比為2 C． D．三、填空題5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則.6．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.參考答案：題號(hào)1234答案ABBCBC1．A【分析】根據(jù)題意，初日4德拉瑪，以后每日等量增加5德拉瑪，故每日德拉瑪數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列an，利用等差的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解.【詳解】由題知，每日德拉瑪數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，則，.則通項(xiàng)公式，，，則這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為：.故選：A2．B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，成等比數(shù)列，可解出.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以成等比數(shù)列，則，即，解得或.設(shè)等比數(shù)列公比為，則，，則，得.故選：B3．BC【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，再根據(jù)等差數(shù)列的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.所以，C選項(xiàng)正確.所以的最大值是，B選項(xiàng)正確.由于時(shí)，，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，沒有最大值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC4．BC【分析】令求出，由分別求出，由等比性質(zhì)求出，進(jìn)而求出和，結(jié)合等比通項(xiàng)公式可求.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)閍n是等比數(shù)列，所以，即，解得，則錯(cuò)誤；an的公比，則B正確；因?yàn)?，所以，則C正確；因?yàn)椋?，所以，則D錯(cuò)誤．故選：BC5．【分析】由已知關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)性質(zhì)即可求結(jié)果.【詳解】由，即.故答案為：6．【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)an的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，故答案為：.規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．【考點(diǎn)二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)核心梳理：1．通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對(duì)于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時(shí)除外)．(2)對(duì)于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.一、單選題1．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．252．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時(shí)，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時(shí)光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（

）A．31 B．32 C．63 D．64二、多選題3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若存在，，，使得，則（

）A．B．是數(shù)列的公比C．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列不可能為常數(shù)列4．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項(xiàng)為三、填空題5．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差數(shù)列中，為前項(xiàng)和，，則.參考答案：題號(hào)1234答案CCABDBD1．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C2．C【分析】通過累乘法以及等差數(shù)列求和公式得，進(jìn)一步得

，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，即，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，其中，又，所以的最大值為63.故選：C.3．ABD【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比為，分和兩種情形，分別表示出，并與比較對(duì)照，分別用和表示出，然后逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，此時(shí)是關(guān)于的一次函數(shù)，數(shù)列為常數(shù)列，而不是關(guān)于的一次函數(shù)，所以，數(shù)列不可能為常數(shù)列，故D正確；因?yàn)?，所以，又，所以，故B正確；，故A正確；因?yàn)椋簿粸?，所以不可能為一常數(shù)，即數(shù)列不可能為等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤.故選：ABD4．BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件即可得到，即可判斷AC，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B，再由，或時(shí)，；時(shí)，即可判斷D,【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當(dāng)時(shí)，最大，故A錯(cuò)誤由，可得到，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；由以上可得：，，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.5．5【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，因?yàn)?，，，，成等比?shù)列，故，即，解得，則，所以，，故.故答案為：6．【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】在等差數(shù)列中，又，所以，所以.故答案為：規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．【考點(diǎn)三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明核心梳理：等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項(xiàng)法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中項(xiàng)法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項(xiàng)和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．一、解答題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（22-23高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且為正項(xiàng)等比數(shù)列，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．（23-24高三上·山西太原·期末）為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞停敲吹?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?(1)求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，可得，又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．2．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可;（2）先根據(jù)第（1）問的求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式分組求和即可.【詳解】（1）由得,,又,故是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知,,則,故.3．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用整理化簡可得，再結(jié)合得到數(shù)列an為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，將數(shù)列an的通項(xiàng)公式代入，計(jì)算即可得結(jié)論；（2）利用數(shù)列an的通項(xiàng)公式即可得數(shù)列b（3）先利用錯(cuò)位相減法求出，再將恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，計(jì)算的正負(fù)確定其單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，①所以，②由①-②得，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，因?yàn)椋詳?shù)列an的公差為，所以.設(shè)，則，因?yàn)椋ǔ?shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列bn的公比為，結(jié)合（1）及已知得，解得，所以；（3）由（1）（2）得，，所以，①又②①-②，得，所以，由，解得.設(shè)，則，故，因?yàn)?，故恒成立，知單調(diào)遞減，故的最大值為，則，即的取值范圍為.4．(1)(2)【分析】（1）由可得，由等比數(shù)列定義可得是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可得的通項(xiàng)公式，即可得；（2）由錯(cuò)位相減法求和即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；（2）由（1）知．設(shè)前項(xiàng)和為，則，，兩式相減可得，所以.5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助等差數(shù)列的性質(zhì)與與的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）借助累乘法可計(jì)算出數(shù)列，借助裂項(xiàng)相消法可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，①因?yàn)?，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以．．6．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）由對(duì)立事件概率、條件概率公式以及全概率公式即可得解.（2）由對(duì)立事件概率、條件概率公式以及全概率公式首先得遞推公式，（i）由等比數(shù)列定義證明即可；（ii）當(dāng)時(shí)，結(jié)合單調(diào)性分奇偶討論即可證明.【詳解】（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則“第天選擇面食套餐”，根據(jù)題意，，，，由全概率公式，得；（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，，，由全概率公式，得，即，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（ii）由（i）可得，當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，.規(guī)律方法：(1)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列．(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·廣東佛山·二模）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·三模）設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．20 B．16 C．14 D．124．（2023·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·江蘇南通·二模）若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．6．（2024·廣東廣州·一模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·廣西南寧·期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為（

）A．10 B．18 C．36 D．408．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高二上·甘肅金昌·期中）若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（

）A．B．是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減D．?dāng)?shù)列前7項(xiàng)和最大10．（2023·山東德州·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，的最大值為C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，且和數(shù)列的首項(xiàng)、公差均相同D．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和為，最大11．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，，，若，，則（

）A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值三、填空題12．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則．13．（2024·安徽淮北·一模）正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為.14．（23-24高二上·廣東潮州·期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則實(shí)數(shù)．四、解答題15．（2023·四川南充·一模）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且是和的等差中項(xiàng)．(1)求an(2)若數(shù)列的公比,設(shè)數(shù)列bn滿足,求bn的前2023項(xiàng)和．16．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，，等比數(shù)列bn的公比為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．17．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）各項(xiàng)均不為0的數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)滿足：．(1)若為等差數(shù)列，求；(2)若，求的前項(xiàng)和．18．（2024·山東·二模）已知an是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.19．（2023·湖南常德·一模）已知數(shù)列滿足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.參考答案：題號(hào)12345678910答案CDDBBCDAACDAD題號(hào)11答案AD1．C【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可得的值．【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以，顯然，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以．故選：C．2．D【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項(xiàng)公式，求得且，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，可得，又由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.3．D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得，然后依次求得，公差，最后求得．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4．B【分析】利用反例說明充分性不成立，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷必要性.【詳解】因?yàn)?，所以且，則，若，不妨令，則，，，，，，顯然不單調(diào)，故充分性不成立，若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調(diào)，若單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；所以單調(diào)遞增，則，且，其中當(dāng)，時(shí)也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B5．B【分析】利用等比中項(xiàng)，結(jié)合三角恒等變換求解即得.【詳解】由，，成等比數(shù)列，得，即，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.6．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)求和公式即可化簡求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，即，故．故選：C．7．D【分析】由已知可得，再由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出即可.【詳解】易知，為等比數(shù)列，，代入數(shù)據(jù)可得，解得或（舍）所以.故選：D.8．A【分析】由遞推關(guān)系式結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，再由裂項(xiàng)相消求和可得，利用數(shù)列的函數(shù)特性可得.【詳解】由可得,即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，可得，即；所以，因此，且當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，趨近于，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：A9．ACD【分析】由為等差數(shù)列，列方程組求得首項(xiàng)與公差，就可得到通項(xiàng)公式，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，則，解得，，故A選項(xiàng)正確，由，得，故B錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞減，故C正確，由數(shù)列通項(xiàng)公式可知，前7項(xiàng)均為正數(shù)，，所以前7項(xiàng)和最大,故D正確.故選：ACD10．AD【分析】分析數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可判斷A選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷B選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項(xiàng)；令，分析可知，，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則為遞增數(shù)列，所以，，與矛盾，若，則為常數(shù)列，所以，，與矛盾，若，則為遞減數(shù)列，則，由可得，合乎題意，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，所以，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公差為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，由得，由得，即，令，，則等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且