2025年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題四 立體幾何 第4講　空間向量與距離、探究性問題原卷版

第4講空間向量與距離、探究性問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】空間距離 2【考點二】空間中的探究性問題 4【專題精練】 7考情分析：1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點到直線以及點到平面的距離，屬于中等難度.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件，計算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上．真題自測真題自測一、解答題1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．考點突破考點突破【考點一】空間距離核心梳理：(1)點到直線的距離直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的任一點，P為直線l外一點，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離d＝eq\r(a2－a·u2).(2)點到平面的距離平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點，P為平面α外一點，則點P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).一、單選題1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知，直線過原點且平行于，則到的距離為（

）.A． B．1 C． D．2．（2024·北京朝陽·一模）在棱長為的正方體中，，，分別為棱，，的中點，動點在平面內(nèi)，且.則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得直線與直線相交B．存在點，使得直線平面C．直線與平面所成角的大小為D．平面被正方體所截得的截面面積為二、多選題3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）在長方體中，為的中點，則（

）A． B．平面C．點到直線的距離為 D．點到平面的距離為4．（2024·江蘇·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則（

）A．當時，平面B．任意，三棱錐的體積是定值C．存在，使得與平面所成的角為D．當時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為三、填空題5．（2023·福建·一模）已知空間中三點，則點A到直線的距離為．6．（2024·遼寧·二模）如圖，經(jīng)過邊長為1的正方體的三個項點的平面截正方體得到一個正三角形，將這個截面上方部分去掉，得到一個七面體，則這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是．規(guī)律方法：(1)求點到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點到平面的距離公式，二是利用等體積法．(2)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行．求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點到平面的距離．【考點二】空間中的探究性問題核心梳理：與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．一、單選題1．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點，E為線段上的動點，則下列四個結(jié)論正確的是（

）

A．存在點E，使平面B．三棱錐的體積隨動點E變化而變化C．直線與所成的角不可能等于D．存在點E，使平面2．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點，則（

）A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為C．在上存在點Q，使得 D．在上存在點P，使得平面二、多選題3．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點（不包括端點），則（

）A．存在點Q，使得 B．存在點Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為4．（2024·河北秦皇島·二模）如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，，點P是棱的中點，點M是側(cè)面內(nèi)的一點，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線所成角的余弦值為B．存在點，使得C．若點是棱上的一點，則點M到直線的距離的最小值為D．若點到平面的距離與到點的距離相等，則點M的軌跡是拋物線的一部分三、填空題5．（2024·北京大興·三模）在棱長為6的正方體中，E為棱上一動點，且不與端點重合，F(xiàn)，G分別為，的中點，給出下列四個結(jié)論：①平面平面；②平面可能經(jīng)過的三等分點；③在線段上的任意點H（不與端點重合），存在點E使得平面；④若E為棱的中點，則平面與正方體所形成的截面為五邊形，且周長為.其中所有正確結(jié)論的序號是.6．（2024·北京海淀·二模）如圖，在正方體中，為棱上的動點，平面為垂足.給出下列四個結(jié)論：①；②線段的長隨線段的長增大而增大；③存在點，使得；④存在點，使得平面.其中所有正確結(jié)論的序號是.四、解答題7．（23-24高三下·廣西·階段練習）在中，，，D為邊上一點，，E為上一點，，將沿翻折，使A到處，.

(1)證明：平面；(2)若射線上存在點M，使，且與平面所成角的正弦值為，求λ.8．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，平面ABC，，，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點，平面BEF與平面ABC的交線為l．(1)證明：平面PBC；(2)直線l與圓O的交點為B，D，求三棱錐的體積；(3)點Q在直線l上，直線PQ與直線EF的夾角為，直線PQ與平面BEF的夾角為，是否存在點Q，使得？如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由．規(guī)律方法：解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學對象存在或結(jié)論成立，再在這個前提下進行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，說明假設(shè)成立，并可進一步證明，否則假設(shè)不成立．(2)探索線段上是否存在滿足條件的點時，一定注意三點共線的條件的應(yīng)用．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）棱長為2的正方體中，設(shè)點為底面內(nèi)（含邊界）的動點，則點到平面距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·浙江·期中）空間點，則點到直線的距離（

）A． B． C． D．3．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF?=2FBA． B．C． D．4．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）四棱錐的頂點均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中不正確的是（）A．若平面，則動點Q的軌跡是一條線段B．存在Q點，使得平面C．當且僅當Q點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點的軌跡長度為6．（2024·四川成都·三模）在棱長為5的正方體中，是中點，點在正方體的內(nèi)切球的球面上運動，且，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在空間直角坐標系中，直線的方程為，空間一點，則點到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．8．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是a，且，，E為的中點，則點E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）如圖，一個棱長為6的透明的正方體容器（記為正方體）放置在水平面的上方，點恰在平面內(nèi)，點到平面的距離為2，若容器中裝有水，靜止時水面與表面的交線與的夾角為0，記水面到平面的距離為，則（

）A．平面平面B．點到平面的距離為8C．當時，水面的形狀是四邊形D．當時，所裝的水的體積為10．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，幾何體的底面是邊長為6的正方形底面，，則（

）A．當時，該幾何體的體積為45B．當時，該幾何體為臺體C．當時，在該幾何體內(nèi)放置一個表面積為S的球，則S的最大值為D．當點到直線距離最大時，則11．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知直三棱柱中，且，直線與底面所成角的正弦值為，則（

）A．線段上存在點，使得B．線段上存在點，使得平面平面C．直三棱柱的體積為D．點到平面的距離為三、填空題12．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知空間中有三點，，，則點O到直線的距離為.13．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）在棱長為3的正方體中，為線段靠近的三等分點.為線段靠近的三等分點，則直線到平面的距離為.14．（2024·北京通州·二模）如圖，幾何體是以正方形ABCD的一邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點G是圓弧的中點，點H是圓弧上的動點，，給出下列四個結(jié)論：①不存在點H，使得平面平面CEG；②存在點H，使得平面CEG；③不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于；④存在點H，使得直線DH與平而CEG所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題15．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．(1)已知點G為AF上一點，且，證明：平面DCE；(2)若平面DCE與平面BDF所成銳二面角的余弦值為，求點F到平面DCE的距離．16．（2024·天津河西·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，分別是棱上的動點，且．(1)求證：；(2)當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面BEF夾角的正切值及點到直線的距離．17．（2024·江蘇蘇州·三模）如圖，已知正方體的棱長為，，分別是和的中點.(1)求證：；(2)求直線和之間的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.18．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，二面角的大小是．(1)求到平面的距離．(2)線段上是否存在一個點D，使直線與平面所成角為？若存在，求出