2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第5講　球的切接問(wèn)題解析版

第5講球的切接問(wèn)題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)一】空間幾何體的外接球 5【考點(diǎn)二】空間幾何體的內(nèi)切球 13【專題精練】 20考情分析：空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%參考答案：題號(hào)1234答案ACBC1．A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

2．C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是3．B【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)?，所以，，所以，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.4．C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】空間幾何體的外接球一、單選題1．（2020·全國(guó)·高考真題）已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·河南信陽(yáng)·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（

）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為4．（2024·遼寧·三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，為面的中心，則以下命題正確的是（

）A．平面截正方體所得的截面面積為B．四面體的外接球的表面積為C．四面體的體積為D．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則存在平面內(nèi)一點(diǎn)，使直線與所成角的余弦值為三、填空題5．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知空間四面體滿足，則該四面體外接球體積的最小值為．參考答案：題號(hào)1234答案ABACDABC1．A【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】根據(jù)體積可求正四棱錐的高，再結(jié)合外接球球心的性質(zhì)可求其半徑，故可求外接球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)在底面的射影為，則平面，且為的交點(diǎn).因?yàn)檎睦忮F底面邊長(zhǎng)為4，故底面正方形的面積可為，且，故，故.由正四棱錐的對(duì)稱性可知在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，故，故，故正四棱錐的外接球的表面積為，故選：B.3．ACD【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】

對(duì)A：由題知，各側(cè)面均為邊長(zhǎng)為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對(duì)B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對(duì)D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．4．ABC【分析】選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接，利用正方體的性質(zhì)，得出平面截正方體所得的截面為菱形，即可求解；選項(xiàng)B，建立空間直角坐標(biāo)系，直接求出球心坐標(biāo)，從而求出半徑，即可求解；選項(xiàng)C，取中點(diǎn)，中點(diǎn)連接，根據(jù)條件證得面，從而有，再利用棱錐的體積公式，求出底面積和高，即可求解；選項(xiàng)D，先求出與在面的投影所成角的大小，再利用最小角定理即可求解，從而求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，，且，即四邊形為菱形，所以平面截正方體所得的截面即為菱形，又易知，所以菱形的面積為，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)四面體的外接球的球心坐標(biāo)為，外接球的半徑為，所以，解得，所以，故四面體的外接球的表面積為，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，如圖3，取中點(diǎn)，中點(diǎn)連接，易知，又是中點(diǎn)，所以，得到，又面，面，所以面，所以，又易知到面的距離為，，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，如圖4，分別是平面的垂線和斜線，是在平面內(nèi)的射影，易知為銳角，是平面內(nèi)和不重合的任一直線，在上截取，連接，則，在與中，因?yàn)?，，而，所以，即平面外的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角，如圖5，取中點(diǎn)，易知在面上投影為，又因?yàn)?，，所以，過(guò)作直線，使，設(shè)直線與所成的角為，所以，又，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在平面內(nèi)不存在點(diǎn)，使直線與所成角的余弦值為，故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，先求出與在面的投影所成角的大小，再利用最小角定理及的單調(diào)性，即可求解.5．/【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、棱錐的體積公式、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以正三棱錐外接球半徑，如圖所示，設(shè)外接球圓心為O，過(guò)向底面作垂線垂足為D，，要使正三棱錐體積最大，則底面與在圓心的異側(cè)，因?yàn)槭钦忮F，所以D是的中心，所以，又因?yàn)椋?，，所以，令，解得或，?dāng)，；當(dāng)，，所以在遞增，在遞減，故當(dāng)時(shí)，正三棱錐的體積最大，此時(shí)正三棱錐的高為，故正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.故答案為：6．【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，結(jié)合三角形全等可證是線段的垂直平分線，同理可證是線段的垂直平分線，故而判斷球心在上，由三角形兩邊之和大于第三邊可得的范圍，結(jié)合圖形判斷球心的位置以及半徑，從而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，由已知，，故，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，即是線段的垂直平分線；同理可得，是線段的垂直平分線，故球心在上，設(shè)球的半徑為，球心為，則，即，故，此時(shí)為線段的中點(diǎn)，且，故所求外接球體積的最小值為．故答案為：

規(guī)律方法：求解空間幾何體的外接球問(wèn)題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．【考點(diǎn)二】空間幾何體的內(nèi)切球一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東湛江·一模）在直三棱柱中，，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．三棱柱存在內(nèi)切球B．直線被三棱柱的外接球截得的線段長(zhǎng)為C．點(diǎn)在棱上的位置唯一確定D．四面體的外接球的表面積為4．（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為，其軸截面是邊長(zhǎng)為2的為等邊三角形，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），是球與圓錐母線的交點(diǎn)，是底面圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．球的體積為B．三棱錐體積的最大值為C．的最大值為3D．若為中點(diǎn)，則平面截球的截面面積為三、填空題5．（2024·湖南株洲·一模）若半徑為R的球O是圓柱的內(nèi)切球，則該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為.6．（2024·廣西·二模）在三棱錐中，，，△PAC，的面積分別3，4，12，13，且∠APB=∠BPC=∠APC，則其內(nèi)切球的表面積為．規(guī)律方法：空間幾何題的內(nèi)切球問(wèn)題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．參考答案：題號(hào)1234答案ACABDACD1．A【分析】根據(jù)給定條件，確定八面體的外接球球心及半徑，利用體積法求出內(nèi)切球半徑，再利用球的體積公式求解即得.【詳解】正八面體的棱長(zhǎng)為，連接AC∩EF=O，由四邊形為正方形，得AC2則四邊形亦為正方形，即點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等，于是此八面體的外接球球心為，半徑為R=2a此八面體的表面積為S=8S△ABE=8×3由VE-ABCD-F=2VE-ABCD，得13所以此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為(R故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個(gè)多面體的表面積為S，如果這個(gè)多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：V=12．C【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內(nèi)切球半徑，然后由球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿龡l母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6，所以為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)，由正弦定理可得底面圓的半徑，所以圓錐的高，如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑，軸截面三角形面積為，所以內(nèi)切球半徑，內(nèi)切球的表面積為，圓錐的側(cè)面積為，所以其和為，故選：C.3．ABD【分析】根據(jù)三棱柱若存在內(nèi)切球，則球心必為中截面的內(nèi)切圓圓心可確定A正確；根據(jù)球的性質(zhì)可知直線被外接球截得的線段長(zhǎng)為矩形的外接圓直徑，由此可得B正確；利用垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程可求得C錯(cuò)誤；設(shè)，四面體的外接球半徑為，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得，代入球的表面積公式可知D正確.【詳解】對(duì)于A，取棱中點(diǎn)，連接，若三棱柱存在內(nèi)切球，則三棱柱內(nèi)切球球心即為的內(nèi)切圓圓心，的內(nèi)切圓半徑即為的內(nèi)切圓半徑，又，，，，的內(nèi)切圓半徑，即的內(nèi)切圓半徑為，又平面、平面到平面的距離均為，三棱柱存在內(nèi)切球，內(nèi)切球半徑為，A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，為的外接圓圓心，又，平面，為三棱柱的外接球的球心；平面，平面，，又，，平面，平面，，平面，為四邊形的外接圓圓心，四邊形為矩形，直線被三棱柱截得的線段長(zhǎng)即為矩形的外接圓直徑，，直線被三棱柱截得的線段長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，在平面中作出矩形，設(shè)，則，，，，又，，即，解得：或，為棱的三等分點(diǎn)，不是唯一確定的，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，，為的外接圓圓心，且，則四面體的外接球球心在過(guò)且垂直于平面的直線上，平面，平面，設(shè)，四面體的外接球半徑為，，解得：，，四面體的外接球表面積為，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查多面體的外接球、內(nèi)切球相關(guān)問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)幾何體外接球和內(nèi)切球的定義及性質(zhì)，確定球心所在的位置，從而利用長(zhǎng)度關(guān)系來(lái)構(gòu)造方程求得半徑.4．ACD【分析】對(duì)A，根據(jù)相切求出球的半徑，再利用球的體積公式即可；對(duì)B，寫(xiě)出體積表達(dá)式并結(jié)合基本不等式即可判斷；對(duì)C，設(shè)，寫(xiě)出的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值；對(duì)D，利用等體積法求出到平面，再求出截面積即可.【詳解】選項(xiàng)A，如圖，設(shè)底面圓心為，則，，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的為等邊三角形，則，為中點(diǎn)，則球的半徑球的體積為，故A正確.選項(xiàng)，作，因?yàn)槊妫?，所以底面，，，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，設(shè)，x∈0,2，...，設(shè)，則令，解得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)x∈0,2易知在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞減，且，則當(dāng)x∈0,2時(shí)，f'x>0，故C正確.選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，由，，，得..設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，，代入數(shù)據(jù)解得.截面面積為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是設(shè)設(shè)，x∈0,2，結(jié)合余弦定理和勾股定理求出線段和表示式，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.5．【分析】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，計(jì)算該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積即可得.【詳解】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，故該圓柱的側(cè)面積,該球的表面積,則.故答案為：.6．9π8【分析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)特征：132=32+42+122，再類比勾股定理，由面推及至空間幾何體可知三棱錐是一個(gè)墻角模型，所以∠APB=∠BPC=∠APC=π【詳解】因?yàn)?32=3所以∠APB=∠BPC=∠APC=π設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC長(zhǎng)分別為PA=x，PB=y，PC=z，則由題意有xy=6yz=8xz=24①，所以有xyz2所以代入①式?x=32,y=所以VP-ABC設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則VP-ABC=1所以32R3=42，?R=故答案為：98專題精練專題精練一、單選題1．（2024·安徽安慶·三模）已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·山西太原·二模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓的直徑，，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·天津和平·二模）如圖，一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．（2024·青?！ざ＃┤鐖D，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，其中是圓錐頂點(diǎn)，AB是底面直徑．若C是底面圓O上一點(diǎn)，P是母線SC上一點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．8．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2，面積為的扇形，則該圓錐的外接球的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·新疆烏魯木齊·一模）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長(zhǎng)為40cm的正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，則（

）A．該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12B．該幾何體的棱數(shù)為24C．該幾何體的表面積為D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)10．（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得二面角大小為B．存在點(diǎn)，使得平面與平面平行C．當(dāng)為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的表面積為11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．直三棱柱的體積為B．直三棱柱外接球的表面積為C．若分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為D．取得最小值時(shí)，三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）《論球與圓柱》是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的得意杰作，據(jù)傳說(shuō)在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖為一個(gè)圓柱與球的組合體，其中球與圓柱的側(cè)面和上?下底面均相切，為底面圓的一條直徑，，若球的半徑，則球的體積與圓柱的體積之比為；球心到平面的距離為.13．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，，且兩兩垂直．設(shè)三棱錐的外接球和內(nèi)切球的表面積分別為和，則．14．（2024·內(nèi)蒙古·三模）在平行四邊形中，，沿將折起，則三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.參考答案：題號(hào)12345678910答案ACBBBDCCABDBC題號(hào)11答案ACD1．A【分析】根據(jù)截面圖分析即可得半徑比，然后可得答案.【詳解】如圖，等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑即為內(nèi)切球和外接球的半徑，記內(nèi)切球和外接球的半徑分別為和，則所以其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：A．2．C【分析】利用條件先判定為正三角形，再作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，利用正三角形的性質(zhì)計(jì)算球半徑，最后根據(jù)球的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由圓錐的性質(zhì)易知為以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，又，所以，則為正三角形，邊長(zhǎng)為，如圖所示，作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，設(shè)中點(diǎn)分別為，內(nèi)切球球心為O，由正三角形內(nèi)心的性質(zhì)易知

即內(nèi)切球球半徑為1，所以體積.故選：C3．B【分析】先利用題給條件求得圓錐的母線長(zhǎng)，再利用公式即可求得該圓錐的側(cè)面積.【詳解】球表面積為，則該球半徑為，設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的母線長(zhǎng)為，則此圓錐的軸截面面積為，解之得，則該圓錐的側(cè)面積為故選：B4．B【分析】根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為6，從而可得正四棱錐的高，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，高線與斜高的夾角為，則易得，，從而可得，再代入球的體積公式，即可求解．【詳解】作出四棱錐如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長(zhǎng)為6，正四棱錐的高為，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的球心為，半徑為，與側(cè)面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的體積為．故選：B．5．B【分析】過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，由題意可求得軸截面內(nèi)切圓的半徑為1，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑和高，代入圓錐體積公式，可得答案．【詳解】如圖，由題意知內(nèi)切圓和外接圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，則為正三角形，因?yàn)閮?nèi)切球表面積為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以內(nèi)切圓的半徑為1，所以的邊長(zhǎng)為，所以圓錐的底面半徑為，又高為，故圓錐體積，故選：B.6．D【分析】取的中點(diǎn)為，即可說(shuō)明點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，再證明平面，過(guò)的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，即可得到為四棱錐外接球球心，外接球半徑為，從而求出表面積.【詳解】取的中點(diǎn)為，因?yàn)椋妊菪蔚拿娣e為，所以梯形的高為，所以，則，所以，連接、，所以、為等邊三角形，點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，連接，在中，根據(jù)余弦定理得，即，解得.因?yàn)椋?，所以，所?因?yàn)?，，平面，所以平面，過(guò)的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，且為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為外接圓圓心，所以為四棱錐外接球球心，所以外接球半徑為，故表面積.故選：D7．C【分析】取點(diǎn)D在母線SA上且，可證明三棱錐與三棱錐外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圓半徑即為外接球半徑得解.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)D在母線SA上且，因?yàn)槭侵苯侨切危匀忮F外接球的球心E在SO上，由≌，可得，即三棱錐外接球的球心E也是三棱錐外接球的球心，且兩個(gè)外接球的表面積相等．由，得的外心即為三棱錐外接球的球心E．在中，，所以的外接圓的直徑，所以三棱錐外接球的表面積是，故選：C．8．C【分析】先求出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角，再由此求出圓錐的底面圓半徑和高，然后可求外接球的半徑，由此求得圓錐的外接球的面積.【詳解】設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，由題意可知，，解得，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，所以，則該圓錐的高為，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為，由球的性質(zhì)可知，，解得，所以該圓錐的外接球的面積為.故選：C.9．ABD【分析】對(duì)于A，該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，由正方體有12條棱即可判斷；對(duì)于B，由該幾何體有6個(gè)面為正方形即可判斷；對(duì)于C，該幾何體的棱長(zhǎng)為，根據(jù)正三角形及正方形的面積公式求解即可判斷；對(duì)于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，原正方體外接球的半徑為，該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，根據(jù)球的表面積公式及等差中項(xiàng)的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，正方體有12條棱，所以該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12，故A正確；對(duì)于B，由題意知，該幾何體有6個(gè)面為正方形，故該幾何體的棱數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，該幾何體的棱長(zhǎng)為，該幾何體有6個(gè)面為正方形，8個(gè)面為等邊三角形，所以該幾何體的表面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，內(nèi)切球表面積為.原正方體外接球的半徑為，外接球表面積為.由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，所以該幾何體外接球的表面積為.因?yàn)椋栽搸缀误w外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)，故D正確.故選:ABD.10．BC【分析】由題意，證得，得到二面角的平面角，可得判定A錯(cuò)誤；利用線面平行的判定定理分別證得平面，平面，結(jié)合面面平行的判定定理，證得平面平面，可判定B正確；取中點(diǎn)，證得，得到，得到點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心、半徑為的劣弧，可判定C正確；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，連接與交于點(diǎn)，求得，得到四棱錐外接球的球心為，進(jìn)而可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以二面角的平面角為，其中，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖所示，當(dāng)M為中點(diǎn)，為中點(diǎn)時(shí)，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)椋移矫?，且平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，所以平面平面，所以B正確；

對(duì)于C，如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，，在正方體中，平面，且，所