2025年高考數(shù)學二輪復習 專項訓練11 平面向量（解析版）

2025二輪復習專項訓練11平面向量[考情分析]1.平面向量是高考的熱點和重點，命題突出向量的基本運算與工具性，在解答題中常與三角函數(shù)、直線和圓錐曲線的位置關系問題相結合，主要以條件的形式出現(xiàn)，涉及向量共線、數(shù)量積等.2.常以選擇題、填空題的形式考查平面向量的基本運算，中低等難度；平面向量在解答題中一般為中等難度．【練前疑難講解】一、平面向量的線性運算常用結論：(1)已知O為平面上任意一點，則A，B，C三點共線的充要條件是存在s，t，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝seq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，且s＋t＝1，s，t∈R.(2)在△ABC中，AD是BC邊上的中線，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(3)在△ABC中，O是△ABC內一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O是△ABC的重心．二、平面向量的數(shù)量積1．若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).三、平面向量的綜合運算解決向量的綜合性問題時，根據(jù)向量的幾何意義或者數(shù)量積的定義與坐標運算研究最值問題及圖形的幾何性質．一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林延邊·一模）如圖，在中，，為上一點，且，若，則的值為（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東·一模）已知向量，，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若與的夾角為，則D．若與方向相反，則在上的投影向量的坐標是4．（2022·廣東·二模）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且，點E為上的任意一點，則下列結論正確的是（

）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為0三、填空題5．（2022·上海虹口·二模）已知向量，滿足，，，則.6．（2023·上海楊浦·三模）對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則參考答案：題號1234答案DDABDBCD1．D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.2．D【分析】結合題意可知三點共線，進而得到，利用向量基本定理表示出,進而表示出計算即可.【詳解】因為，所以所以，因為，所以，即，因為三點共線，所以，解得，所以，而,所以,即.故選：D.3．ABD【分析】利用向量共線的坐標表示判斷A；利用垂直的坐標表示判斷B；利用數(shù)量積的運算律求解判斷C；求出投影向量的坐標判斷D.【詳解】向量，，對于A，由，得，因此，A正確；對于B，由，得，因此，B正確；對于C，與的夾角為，，，因此，C錯誤；對于D，與方向相反，則在上的投影向量為，D正確.故選：ABD4．BCD【分析】以為原點建立如圖所示的直角坐標系，得，，設，則，求出，利用的范圍可判斷A；求出、的坐標，由，利用的范圍可判斷B；設，可得，求出、，由，利用、、，的范圍可判斷CD.【詳解】以為原點建立如圖所示的直角坐標系，所以，，設，則，，，所以，因為，所以，所以，所以，的最小值為，故A錯誤；，，所以，因為，所以，所以，所以，，的最小值為，故B正確；設，又，所以，可得，，，所以，其中，又，所以，所以，，，，所以，的最小值為0，故CD正確.故選：BCD.5．【分析】根據(jù)模長公式及向量的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】由可得，，即，解得：，所以．故答案為：．6．【分析】由題意可設，，，，得，對，進行賦值即可得出，的值，進而得出結論．【詳解】因為，故．又由，則，，可設，，令，，且，又夾角，所以，對，進行賦值即可得出，所以．故答案為：．【基礎保分訓練】一、單選題1．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（

）A． B． C．4 D．2．（2023·廣東茂名·一模）在中，，，若點M滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·一模）在三角形中，，，，則（

）A．10 B．12 C． D．4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．25．（2023·重慶·模擬預測）在正方形中，動點從點出發(fā)，經過，，到達，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江溫州·二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．7．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則（

）A． B．16 C． D．208．（2023·福建福州·二模）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·河北·模擬預測）下列命題不正確的是（

）A．若，則B．三個數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是C．向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使D．已知命題時，，則命題的否定為：時，10．（2023·廣東汕頭·二模）在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，下列結論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．11．（22-23高一下·浙江衢州·階段練習）已知向量，，則正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則 D．若向量是與同向的單位向量，則三、填空題12．（2023·廣西·模擬預測）已知向量，且，則.13．（22-23高三下·湖南長沙·階段練習）設平面向量，的夾角為，且，則在上的投影向量是.14．（21-22高一下·北京·階段練習）如圖，四邊形為平行四邊形，，若，則的值為．參考答案：題號12345678910答案CAADBABBABCABD題號11答案ABD1．C【分析】利用向量的數(shù)量積可求.【詳解】因為，，則，，則，故，故選：C.2．A【分析】根據(jù)題意結合向量的線性運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.3．A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得結果.【詳解】記，則，，，．故選：A.4．D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.5．B【分析】建立平面直角坐標系，寫成點的坐標，分點在，，三種情況，求出的取值范圍.【詳解】以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，設，則，當點在上時，設，則，即，故，當點在上時，設，則，即，解得，故，當點在上時，設，則，即，故綜上，的取值范圍是.故選：B6．A【分析】利用條件，先求出兩個力的合力及，再利用功的計算公式即可求出結果.【詳解】因為，，所以，又，，所以，故.故選：A.7．B【分析】根據(jù)向量的新定義和向量數(shù)量積計算即可.【詳解】因為，，，所以，所以，所以，所以.故選：B8．B【分析】先計算，再根據(jù)投影向量公式即可計算.【詳解】在上的投影向量為故選：B9．ABC【分析】利用不等式的性質判斷A，利用等比中項的概念判斷B，利用向量共線的概念判斷C，利用全程命題的否定是特稱命題判斷D.【詳解】對于A，當時，命題不成立，故錯誤；對于B，三個數(shù)成等比數(shù)列的必要條件是，當時，滿足，但不滿足三個數(shù)成等比數(shù)列，故錯誤；對于C，非零向量與共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)使，當均為零向量時，共線，但存在無數(shù)個實數(shù)，使，故錯誤；對于D，命題時，，為全稱量詞命題，根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可得命題的否定為：時，，故正確.故選：ABC.10．ABD【分析】求得的長度判斷選項A；求得的長度判斷選項B；求得的余弦值判斷選項C；求得的化簡結果判斷選項D.【詳解】連接PC，并延長交AB于Q，中，，，，則，,，，，選項A:.判斷正確；選項B:.判斷正確；選項C:.判斷錯誤；選項D:.判斷正確.故選：ABD11．ABD【分析】根據(jù)向量坐標的線性運算及向量的模的坐標表示即可判斷A；根據(jù)向量共線的坐標表示即可判斷B；若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，列出不等式組，即可判斷C；若向量是與同向的單位向量，則，從而可判斷D.【詳解】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，即，解得，且，故C不正確；對于D，若向量是與同向的單位向量，則，故D正確.故選：ABD.12．【分析】利用向量共線的坐標運算即可求出結果.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得，所以，故.故答案為：.13．【分析】根據(jù)題意，求得，進而求得在上的投影向量，得到答案.【詳解】由題意知，平面向量，的夾角為，且，則，所以則在上的投影向量為.故答案為：14．1【分析】選取為基底將向量進行分解，然后與條件對照后得到的值．【詳解】選取為基底，則，又，將以上兩式比較系數(shù)可得．故答案為：1.【能力提升訓練】一、單選題1．（2023·陜西銅川·一模）已知單位向量，的夾角為，向量，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．22．（2022·全國·一模）如圖，在△中，點M是上的點且滿足，N是上的點且滿足，與交于P點，設，則（）A． B．C． D．3．（2022·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．14．（2023·四川綿陽·模擬預測）在中，點滿足與交于點，若，則（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北·模擬預測）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．166．（23-24高三上·河南·階段練習）在中，點是邊的中點，且，點滿足（），則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·山西長治·模擬預測）平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài).若與的夾角為45°，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（

）A． B． C． D．1二、多選題9．（2023·全國·模擬預測）已知，，且，的夾角為，點P在以O為圓心的圓弧上運動，若，x，，則的值可能為（

）A．2 B． C． D．110．（2023·福建·一模）平面向量滿足，對任意的實數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為11．（2023·福建·模擬預測）已知向量，，則（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是三、填空題12．（2023·廣東廣州·一模）已知向量，且，則，在方向上的投影向量的坐標為.13．（2023·山東菏澤·一模）已知夾角為的非零向量滿足，，則.14．（23-24高三上·全國·階段練習）已知向量滿足，則．參考答案：題號12345678910答案CBACCBAACDAD題號11答案BC1．C【分析】根據(jù)已知向量，且，得出，根據(jù)已知單位向量，的夾角為，得出，且，即可代入得出，即可解出答案.【詳解】由已知得，單位向量，的夾角為，，且，所以，解得，故選：C．2．B【分析】根據(jù)三點共線有，使、，由平面向量基本定理列方程組求參數(shù)，即可確定答案.【詳解】，，由，P，M共線，存在，使①，由N，P，B共線，存在，使得②，由①②，故.故選：B.3．A【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設，則，∵BC//EF，∴設，則∴，∴∴故選：A.4．C【分析】法一，根據(jù)向量共線可得，再得，又，再表示出，利用向量相等解出，即可得解；法二，建立平面直角坐標系，利用坐標法求出即可.【詳解】法一:因為在上，故，所以存在唯一實數(shù)，使得，又，故為的中點，所以，所以;同理存在，使得，又，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.法二:不妨設為等腰直角三角形，其中，以為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，，則直線的方程分別為，聯(lián)立解得，由，得，解得，則.故選：C.5．C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關系，把的兩邊平方，利用基本不等式進行轉化求解即可．【詳解】設非零向量，的夾角為.，所以，由兩邊平方得：，，，即，即，，，即當時，取得最小值，最小值為8.故選：C．6．B【分析】由向量共線定理知，點在線段上，設，則，結合二次函數(shù)的性質即可得出答案.【詳解】因為（），所以，又，所以點在線段上，所以.設（），所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.7．A【分析】根據(jù),先求得，再由，即可求解.【詳解】∵三個力平衡，∴，∴.設與的夾角為，則，即，解得故選：A8．A【分析】根據(jù)題意得，由三點共線求得，利用向量數(shù)量積運算求解.【詳解】，，且，而三點共線，，即，，所以.故選：A.9．CD【分析】以O為坐標原點，OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系，得到點P的坐標為,結合題意可得，又知點P在以O為圓心，2為半徑的圓上，整理得，變形結合基本不等式即可求解的取值范圍，進而得解．【詳解】如圖，以O為坐標原點，OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則，，則，，所以，則點P的坐標為．由題意可知，，則，易知點P在以O為圓心，2為半徑