河南省周口市、商丘市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2025屆高三10月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)\.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】集合，則，而，所以.故選：B2.使不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分式不等式化簡(jiǎn)可得或，即可根據(jù)真子集關(guān)系求解.【詳解】由可得，解得x>2或，設(shè)不等式成立的一個(gè)必要不充分條件構(gòu)成的集合是,則是的一個(gè)真子集，結(jié)合選項(xiàng)可知可以為，故選：D3.已知函數(shù)，，則（）A.6 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【詳解】,,故，故選：A.4.已知，為非零向量，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示可得，再結(jié)合投影向量的定義分析求解.【詳解】由題意可得：，所以在上的投影向量為.故選：B.5.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，即可由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】由題意可知，，故選：A6.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而求出三角形面積.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，因此曲線在點(diǎn)處的切線為，即，該切線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.故選：D7.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)在上的零點(diǎn)為，，…，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用方程組法求出的解析式，結(jié)合的奇偶性將上的零點(diǎn)和轉(zhuǎn)化為上的零點(diǎn)和問(wèn)題，令，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦和正切函數(shù)的圖象性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】由，可得，解得，易知為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)y=fx故函數(shù)y=fx在上的零點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，和為在上的零點(diǎn)和即為上的零點(diǎn)和，令，得，，，作出和在同一坐標(biāo)系中的圖象，可知y=fx在內(nèi)的零點(diǎn)有和兩個(gè)，故.故選：B.8.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圖象所過(guò)點(diǎn)求出，再利用單調(diào)遞增區(qū)間求出范圍.【詳解】依題意，，而，則，，由對(duì)任意，都有，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，而余弦函數(shù)的遞增區(qū)間為：，則，于是，解得，顯然32k-即，而，因此或，所以的取值范圍是或.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問(wèn)題，先根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即得.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性判斷C；作差變形判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，取，滿足，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得函數(shù)在R上遞減，在上遞增，則，C正確；對(duì)于D，由，得，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)的最小值為，則（）A.直線為圖象的一條對(duì)稱軸B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象D.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角恒等變換，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，再逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】函數(shù)，其中由確定，依題意，，整理得，而，解得，因此，對(duì)于A，，即直線不是圖象的對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，因此，解得，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，，則（）A. B.C. D.對(duì)任意，都有【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)等式，利用賦值法，結(jié)合周期函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，對(duì)于A，令，得，則，A正確；對(duì)于B，令，得，因此，B正確；對(duì)于C，由，得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，又，即，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，又是周期為4的周期函數(shù)，因此對(duì)任意，都有，即，D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不斷變換求解即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，滿足，，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，而，，且，則，所以.故答案為：13.已知為銳角且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)和差角公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)可得，即可利用輔助角公式求解.【詳解】由可得，由于為銳角，所以，故，進(jìn)而可得，故，故答案為：14.已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】原不等式可化為，利用為上的增函數(shù)可得對(duì)任意恒成立，結(jié)合參變分離可求的取值范圍.【詳解】原不等式等價(jià)于，也就是，因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，故原不等式即為，故對(duì)任意恒成立，故a>4-x+設(shè)sx=4-x設(shè)，則，故在0,+∞上為減函數(shù)，而，故當(dāng)x∈0,1時(shí)，即，故在0,1上為增函數(shù)；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，即，故在1,+∞上減函數(shù)，故，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)成的較為復(fù)雜函數(shù)，我們可以利用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)原有的不等式同構(gòu)變形，從而把原不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）證明：是周期函數(shù)；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由輔助角公式可得，利用三角函數(shù)周期性即可證明得出結(jié)論；（2）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及正弦函數(shù)圖象性質(zhì)解不等式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由可得；易知，所以，即可知是以為周期的周期函數(shù)【小問(wèn)2詳解】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知求得的單調(diào)遞增區(qū)間即可；易知恒成立，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋灰虼酥恍?，解得；即的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.在平面四邊形中，，，且.（1）求的長(zhǎng)；（2）若為的中點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中由余弦定理求出，然后利用勾股定理求解即可；（2）在與中，由余弦定理分別求出與，然后在中，由余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】在三角形中，，，所以由余弦定理得：，所以，又，所以，又，所以.【小問(wèn)2詳解】在三角形中，，所以，所以，所以在中，為的中點(diǎn)，所以，，，所以由余弦定理得：，所以，在中，，，，所以由余弦定理得：所以，所以在中，由余弦定理得：.17.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，向量，，且，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)，滿足.（1）判斷是否為等腰三角形；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積；【答案】（1）等腰三角形，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由，得到，由正弦定理，余弦定理角化邊整理即可判斷；（2）畫出圖，在中，由正弦定理求出與，設(shè)，則求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理角化邊得，由余弦定理得：，所以整理得：，所以，所以，所以，故是等腰三角?【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理得：，所以，，當(dāng)時(shí)，，如圖，所以在中，，，，所以.18.已知函數(shù).（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可得解.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，再利用函數(shù)單調(diào)性信不等式性質(zhì)推理即得.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，依題意，恒成立，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，于是，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，函數(shù)上單調(diào)遞增，則，即，因此，，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，于是，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.19.閱讀材料一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)任意和任意，都有，則稱是區(qū)間上的下凸函數(shù)；反之，如果都有，則稱是區(qū)間上的上凸函數(shù).閱讀材料二：若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上也可導(dǎo)，則稱在區(qū)間上存在二階導(dǎo)函數(shù)，即.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在二階導(dǎo)函數(shù)，則在區(qū)間上是下凸（上凸）函數(shù)的充要條件是對(duì)任意都有（）且在區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)不恒為0.閱讀材料三：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，（其中為無(wú)限接近于0的正數(shù)），在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，若在和上的符號(hào)相反，則點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，回答下列問(wèn)題：（1）證明：對(duì)任意，，不等式恒成立；（2）設(shè)函數(shù)，若點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，的值，并證明的圖象關(guān)于拐點(diǎn)中心對(duì)稱：（3）設(shè)函數(shù)，若點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，且，其中，試證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，證明是上凸函數(shù)即可推理得證.（2）利用“拐點(diǎn)”的意義可得，結(jié)合求出；再利用中心對(duì)稱的定義計(jì)算推理即可.（3）利用“拐點(diǎn)”的定義求出“拐點(diǎn)”，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性可得，再結(jié)合給定條件及函數(shù)的單調(diào)性推理即得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)或時(shí)，不等式成立，令函數(shù)，，，因此函數(shù)是上凸函數(shù)，則對(duì)任意，，即，所以對(duì)任意，，不等式