全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-數(shù)列滿分限時(shí)練

數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列對(duì)通項(xiàng)的考查除了基本運(yùn)算、基本概念，還注重對(duì)函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想的考查；數(shù)列性質(zhì)的考查主要為等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的最大、最小值的問題，難度中等偏易；數(shù)列綜合運(yùn)用的考查常以解答題的形式出現(xiàn)，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義展開，求解數(shù)列的前n項(xiàng)和或數(shù)列不等式的證明，難度中等．一、選擇題．1．已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a2A．1 B．2 C．6 D．18【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a2，則，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了等差中項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．2．“垛積術(shù)”是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中記載了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的堆垛（俯視如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球，…）．若一“落一形”三角錐垛有6層，則該堆垛第6層的小球個(gè)數(shù)為（）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】D【解析】由題意分析可得a1則“三角形數(shù)”的通項(xiàng)公式，，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查數(shù)列知識(shí)及運(yùn)算能力，難度中等偏易．3．已知等差數(shù)列an前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，則數(shù)列aA．a(chǎn)n=6n+2 B．a(chǎn)n=6n?2 C．【答案】B【解析】設(shè)公差為d，依題意得，解得a1=4所以an=a【點(diǎn)評(píng)】本題考了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬于基礎(chǔ)題．4．?dāng)?shù)列an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a1<0，a2020+aA．2020 B．2021 C．4040 D．4041【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a1<0，a可知a2020<0，a2021>0，所以，S4040=2020a1+a【點(diǎn)評(píng)】本題求滿足Sn<0的最大正整數(shù)n的值，關(guān)鍵就是求出Sn<0，5．設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，，則S2021A． B． C． D．【答案】B【解析】在數(shù)列an中，，，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的n∈N?，an+3=a∵2021=3×673+2，因此，，故選B．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)遞推公式證明數(shù)列an（1）先根據(jù)已知條件寫出數(shù)列an的前幾項(xiàng)，直至出現(xiàn)數(shù)列中的循環(huán)項(xiàng)，判斷循環(huán)的項(xiàng)包含的項(xiàng)數(shù)k（2）證明an+k=ank∈6．若等差數(shù)列an滿足a1+a3A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】a5【點(diǎn)評(píng)】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．7．2015年07月31日17時(shí)57分，國際奧委會(huì)第128次全會(huì)在吉隆坡舉行，投票選出2022年冬奧會(huì)舉辦城市為北京．某人為了觀看2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，從2016年起，每年的1月1日到銀行存入a元的定期儲(chǔ)蓄，若年利率為且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2022年的1月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，2016年1月1日，存入的a元，一年后存款及利息為，二年后存款及利息為a(1+p)2，由此可得，從2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息為：，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考了數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．8．等比數(shù)列an中，a1+a2A．90 B．302+1 C．45【答案】A【解析】∵an是等比數(shù)列，a1+a2=6，∴前8項(xiàng)和為a1+【點(diǎn)評(píng)】本題考了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及前n項(xiàng)和的求法．9．設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】an是等比數(shù)列，∴S，設(shè)S5=2k則S10?S5=?k，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．已知等比數(shù)列an的公比為q，首項(xiàng)為a，前n項(xiàng)和為SA．若a>0，則anSn>0 C．若a<0，則anSn<0 【答案】B【解析】因?yàn)閍n為等比數(shù)列，故a≠0若q=1，則an=a，S若q≠1，則，，故，若q>1，則qn?1>0，若，則qn?1>0，1?若q<0，則，其中q1?q<0取，則當(dāng)n為偶數(shù)，則a2qn當(dāng)n為奇數(shù)，則a2qn1?故A、D錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式，屬于中檔題．11．（多選）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是SA．若，則an是等差數(shù)列B．若Sn=2aC．若an是等差數(shù)列，則Sn，D．若an是等比數(shù)列，則Sn，【答案】ABC【解析】若，當(dāng)n=1時(shí)，a1=n≥2時(shí)，anan=2n(n∈)，∴若Sn=2an?1，當(dāng)n=1時(shí)，n≥2時(shí)，an=Sn?S設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)是，，S2n同理，S3n因此2S2n?Sn若等比數(shù)列an的公比，，則，，不可能成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤，故選ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，以及前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系．12．（多選）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前q項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且滿足，a2020A． B．C．T2020是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng) 【答案】ACD【解析】由a2020?1?a2021?1或，又，且a2020?a2021>1，可得a2020且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，若q>1，則an若，則，an=a滿足0<a對(duì)于B選項(xiàng)，由于，數(shù)列an為正項(xiàng)遞減數(shù)列，0<a2021<1<對(duì)于C選項(xiàng)，由上可知，正項(xiàng)數(shù)列an前2020項(xiàng)都大于1而從第2021項(xiàng)起都小于1，所以，T2020是數(shù)列T對(duì)于D選項(xiàng)，T2021D選項(xiàng)正確，故選ACD．【點(diǎn)評(píng)】在等比數(shù)列an的公比q的取值不確定時(shí)，首先分析q的符號(hào)，進(jìn)一步確定q的取值范圍，解本題的關(guān)鍵就是結(jié)合已知條件分析出，并結(jié)合等比數(shù)列an二、填空題．13．?dāng)?shù)列an滿足a1=1，a【答案】93【解析】∵an+1+，，，把這些相加的：把這些相減的：2a1+①+②，所以Sn+1=3n+3，所以故答案為93．【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列求和的常用：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法．三、解答題．14．設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，已知a（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，求b1+【答案】（1）an=3n；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則由題意有a3=a∴a（2），．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及裂項(xiàng)相消求前n項(xiàng)和的方法．15．已知數(shù)列an的首項(xiàng)，若向量a=an+1，2，b（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a（2）已知數(shù)列bn，若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1）an=2【解析】（1）由a⊥b，則a?所以an+1=2a數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2則an=2×2（2）由，則anbn=n×由Sn由①×2，可得2S由①－②，可得?，則Sn=n?1所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如an16．已知數(shù)列an滿足：，．（1）求a2n（2）若，求數(shù)列an的最小項(xiàng)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，即，∴．則，故，當(dāng)n=1，a2=1∴．（2）．考慮奇數(shù)項(xiàng)，∵，∴，又，∵，得，而2q?2>0，∴當(dāng)n≤2時(shí)，a2n+1<a2n?1；當(dāng)n≥3時(shí)，a而，所以數(shù)列an的最小項(xiàng)為．【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)，一般根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性來處理，如果數(shù)列是分段數(shù)列，則可以分別討論各段上的最大項(xiàng)最小項(xiàng)，比較后可得原數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)．17．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2=4，a4=16；數(shù)列b（1）求數(shù)列an的首項(xiàng)a