全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題3三角函數(shù)與解三角形

②（2）誘導(dǎo)公式：正弦余弦正切α+ksincostanα+π??tan?α?cos?π?αsin??cos?cossin?sin??（3）同角三角函數(shù)關(guān)系式：sin2α（4）兩角和與差的三角函數(shù)：sinsincoscos（5）二倍角公式：sincos（6）降冪公式：，2．三角函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)y=y=奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)在區(qū)間[?π+2kπ，在區(qū)間[2kπ，最值在時(shí)，ymax；在時(shí)，ymin在x=2kπ(k∈Z)在x=2kπ+π(k∈Z對(duì)稱中心(kπ對(duì)稱軸x=kπ(k正切函數(shù)的性質(zhì)圖象特點(diǎn)定義域?yàn)閳D象與直線沒有交點(diǎn)值域?yàn)镽圖象向上、向下無限延伸最小正周期為π在區(qū)間上圖象完全一樣在內(nèi)是增函數(shù)圖象在內(nèi)是上升的對(duì)稱中心為圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱3．函數(shù)y=Asin（1）φ對(duì)函數(shù)y=sin（2）ω(ω>0)對(duì)y=sin（3）A(A>0)對(duì)y=Asin4．函數(shù)y=Asin（1）函數(shù)y=Asin（2）函數(shù)y=Asin二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(為外接圓半徑)；；變形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知兩角一邊，用正弦定理，只有一解．（2）已知兩邊及一邊的對(duì)角，用正弦定理，有解的情況可分為幾種情況．在中，已知，和角時(shí)，解得情況如下：為銳角為鈍角或直角直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解上表中為銳角時(shí)，，無解．為鈍角或直角時(shí)，，均無解．（3）已知三邊，用余弦定理，有解時(shí)，只有一解．（4）已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面積公式（1）(表示邊上的高）；（2）；（3）（為三角形的內(nèi)切圓半徑）．4．解三角形應(yīng)用題的一般步驟進(jìn)階練習(xí)一、選擇題．1．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=gx的圖象，則下面敘述正確的是（）A．gx的周期為π B．gxC．gx圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為 D．gx在上單調(diào)遞減【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)．對(duì)于A項(xiàng)，gx的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以不是?duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，解得，則不是對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，令，函數(shù)y=cosX在0則y=gx在上單調(diào)遞減，故D正確，故選D．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵在于將余弦型函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行處理，將未知的問題利用已知的知識(shí)進(jìn)行求解．2．（多選）函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0A．B．若把f(x)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在?π，πC．若把函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)D．，若恒成立，則a的最小值為3+2【答案】ACD【解析】對(duì)A，由題意知：∴T=6π，，∵f2π=2，，即（），（），又∵φ<π，，所以A正確；對(duì)B，把y=f(x)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)，∵x∈?π，π在?π，π上不單調(diào)遞增，故B對(duì)C，把y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)為，是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)D，對(duì)，恒成立，即，恒成立，令，，則，，，∴3?1≤g(x)≤3的最小值為3+2，故D正確，故選ACD．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于三角函數(shù)，求最小正周期和最值時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式，則最小正周期為，最大值為A，最小值為?3．在ΔABC中，“”是“ΔABCA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵，且B必為銳角，可得或，即角A或角C為鈍角；反之，當(dāng)A=100°，B=30°時(shí)，，而，所以sinA<cos所以“sinA<cosB”是“【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的判定，考查了三角形形狀的判定，考查誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于綜合題．4．已知tan2θ?4tanA． B． C． D．【答案】C【解析】由tan2θ?4tanθ所以，即，即，，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、降冪公式、二倍角公式，解答本題的關(guān)鍵是由條件有，從而可得，由可解，屬于中檔題．5．圭表（如圖1）是我國古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a，則表高（即AC的長(zhǎng)）為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，在△BAD中由正弦定理得，即，所以，又因?yàn)樵赗t△ACD中，，所以，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解三角形應(yīng)用舉例，考查了正弦定理，屬于中檔題．二、填空題．6．已知函數(shù)f(x)=sin①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)；③f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱；④f(x)的最大值為2．其中真命題有________．【答案】①②④【解析】①函數(shù)f(x)=sin(cosf(?x)=sin所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以①正確；②f(x+2π)=sin所以f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，所以②正確；③f(π?x)=sin所以f(x)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，所以③錯(cuò)誤；④令t=cosx，因?yàn)椋?，即時(shí)，，則函數(shù)f(x)的最大值為2，所以④正確，所以真命題為①②④，故答案為①②④．【點(diǎn)評(píng)】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問題：（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．三、解答題．7．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求b+c【答案】（1）；（2）23．【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理有．所以，所以．因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，所以sinC≠0，所以因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以．（2）由a=3，，根據(jù)正弦定理有，所以b=2sinB，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以b+c的最大值為23．另解：（2）由a=3，，根據(jù)余弦定理有，即3=b2因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)，等號(hào)成立，所以b+c的最大值為23【點(diǎn)評(píng)】正弦定理化邊為角或化角為邊，是解決這類問題的重要手段，需要熟練掌握．8．已知函數(shù)fx=λsinωx+φ(λ>0，ω>0，)的部分圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點(diǎn)，B，C分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC（1）求△ABC的角B的大小；（2）若b=3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求fx的最小正周期及的值．【答案】（1）；（2）最小正周期為2，．【解析】（1），∴由余弦定理得，又，，即tanB=3，∵B∈0（2）由題意得，，，，∴由余弦定理b2=a2+設(shè)邊BC與x軸的交點(diǎn)為D，則ΔABD為正三角形，且AD=1，∴函數(shù)fx的最小正周期為2，，，又點(diǎn)在函數(shù)fx的圖象上，，即，即，，即，又，．【點(diǎn)評(píng)】（1）求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的對(duì)稱軸，只需令，求x；求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．（3）求最小正周期時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，則最小正周期為；（3）奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式．9．已知在△ABC中，．（1）求角C的大?。唬?）若∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，△ABC的外接圓半徑為4，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）最大值為8+43．【解析】（1）∵A+B+C=π，∴A+B=π?C，∴cosA+B又5+4cosA+B=4sin即4cos2C又0<C<π，∴．（2）∵△ABC的外接圓半徑為4，所以由正弦定理得，∵，∴AB=43，，又∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，∴，∴，設(shè)∠AB