全國統(tǒng)考高考數(shù)學復習專題6立體幾何與空間向量-

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺--教育因你我而變好教育云平臺--教育因你我而變立體幾何與空間向量考點：1．空間幾何體的表面積與體積（1）多面體的表面積S棱柱表=S棱柱側(cè)+2（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積①圓柱：S表=2πr(r+l)，其中r為底面半徑，②圓錐：S表=πr(r+l)，其中r為底面半徑，③圓臺：S表=π(r'2+r④球體：S球=4π（3）幾何體的體積公式①柱體：V柱體=S?，其中S為底面面積，②椎體：，其中S為底面面積，?為高；③臺體：，其中S'、S分別為上、下底面面積，?為高；④球體：，其中r為球的半徑．2．空間點、直線、平面之間的位置關系（1）平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點在同一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．公理2：過不同在一條直線上的三點，有且只有一個平面．推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．公理4：平行于同一直線的兩條直線平行．3．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（1）直線與平面平行的判定定理文字語言：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．符號語言：a?α，b?α，a//圖形語言：如下圖．（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．符號語言：a//α，a?β，圖形語言：如下圖．（3）平面與平面平行的判定定理文字語言：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．符號語言：a?β，b?β，a∩b=P，a//α，圖形語言：如下圖．（4）平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．符號語言：α//β，γ∩α=a，圖形語言：如下圖．4．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（1）直線與平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b=P?圖形語言：如下圖．（2）直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言：垂直于同一個平面內(nèi)的兩條直線平行．符號語言：a⊥α，b⊥圖形語言：如下圖．（3）平面與平面垂直的判定定理文字語言：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．符號語言：l?β，l⊥圖形語言：如下圖．（4）平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言：兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．符號語言：α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥圖形語言：如下圖．5．空間向量的運用設平面α，β的法向量分別為，，直線l的方向向量為，則：（1）線面平行（2）線面垂直，，（3）面面平行，，（4）面面垂直精準預測題精準預測題一、選擇題．1．已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖①所示，其俯視圖水平放置的直觀圖如圖②中粗線部分所示，其中四邊形A'B'A．16+8π B．8+16π C．16+16π D．8+8π【答案】A【解析】根據(jù)直觀圖還原可知，俯視圖是邊長為4的正方形，結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體后半部分為長方體，前半部分為半個圓柱，長方體的邊長分別為2，2，4，則其體積為，半個圓柱的底面半徑為2，高為4，則其體積為，因此，該幾何體的體積為16+8π，故選A．【點評】本題主要考查由三視圖求幾何體的體積，考查直觀圖的還原，需要學生具備一定的空間想象及思維能力．2．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，三視圖的直觀圖為三棱錐為A?BCD，且DB=2，按如圖所示放在長方體中，則其外接球的直徑等于長方體的對角線長，且AE=3因為長方體的對角線長為AD=D則外接球半徑為2，且體積為，故選B．【點評】與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．3．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1則下列說法錯誤的是（）A．四點B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi) B．三條直線BF，DE，有公共點C．直線A1C與直線OF不是異面直線 D．直線A1C上存在點N使M，【答案】C【解析】作出圖象，如圖：對于A，連接B1D1，則，，所以，所以四點B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，故A正確；對于B，延長BF，DE，則BF，又BF?平面BCC1B1，DE?平面DD1C1C且平面BCC1B所以P?CC1，即三條直線BF，DE，對于C，直線A1C為正方體的體對角線，所以直線A不可能在同一平面內(nèi)，所以直線A1C與直線對于D，A1，O，C，C1均在平面所以直線A1C上存在點N使M，N，O故選C．【點評】本題主要空間幾何體中，點線面的位置關系，屬于基礎題．4．《九章算術》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖），其中四邊形ABCD為矩形，EF//AB，若AB=3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD=2EF，則異面直線AE與A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：如圖，在平面ABFE中，過F作FG//AE交AB于G，連接則∠CFG或其補角為異面直線AE與CF所成的角．設EF=1，則，AD=2，因為EF//AB，AE//所以FG=AE=AD=2，AG=1，BG=2，又AB⊥BC，所以GC=B又CF=BC=2，所以，所以．解法二：如圖，以矩形ABCD的中心O為原點，CB的方向為x軸正方向建立空間直角坐標系，因為四邊形ABCD為矩形，EF//AB，△ADE和△BCF都是正三角形，所以EF?平面yOz，且Oz是線段設，則EF=1，AD=2，，，，，所以AE=?1，所以，所以AE⊥CF，所以異面直線AE與CF所成的角為，【點評】本題考查異面直線夾角的計算問題，常用以下方法：（1）平移法，將異面直線通過平移轉(zhuǎn)化成共面直線，結(jié)合三角形知識求解；（2）補形法：通過補形（一般是補一個相同的幾何體）將異面直線通過平移轉(zhuǎn)化成共面直線，結(jié)合三角形知識求解；（3）向量法：建立空間直角坐標系，結(jié)合向量夾角公式求解．5．已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1，其底面A． B． C． D．【答案】A【解析】由直四棱柱ABCD?A1B所以四邊形ABCD為球的一截面圓的內(nèi)接四邊形，所以對角互補．又四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD為矩形．在直四棱柱ABCD?A1B1C1D又AC1⊥BD，AC1∩CC所以四邊形ABCD為正方形，所以直四棱柱ABCD?A由外接球體積為，則球的半徑為R=3，由AC1為該外接球的直徑，則設，則，則，在△AB1D1中由余弦定理可得，所以，設△AB1D1的外接圓的半徑為所以，當且僅當，即a=23時取得等號，即r的最小值為22其外接球被平面AB1D1【點評】本題考查幾何體的外接球的截面面積問題，解答本題的關鍵是先由線面垂直關系得出直四棱柱ABCD?A1B1C二、填空題．6．如圖，大擺錘是一種大型的游樂設備，常見于各大游樂園．游客坐在圓形的座艙中，面向外．通常，大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險．座艙旋轉(zhuǎn)的同時，懸掛座艙的主軸在電機的驅(qū)動下做單擺運動．大擺錘的運行可以使置身其上的游客驚心動魄．今年元旦，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在點A處，“大擺錘”啟動后，主軸OB在平面α內(nèi)繞點O左右擺動，平面α與水平地面垂直，OB擺動的過程中，點A在平面β內(nèi)繞點B作圓周運動，并且始終保持OB⊥β，B∈β，已知OB=6AB，在“大擺錘”啟動后，下列4個結(jié)論中正確的是______（請?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號）．①點A在某個定球面上運動；②線段AB在水平地面上的正投影的長度為定值；③直線OA與平面α所成角的正弦值的最大值為；④直線OA與平面α所成角的正弦值的最大值為．【答案】①③【解析】對于命題①，OB、AB均為定值，∵OB⊥β，AB?β，∴OB∴OA=OB2+AB對于命題②，過點O作OC與水平地面垂直，設∠BOC=θ當AB?則直線AB與水平地面所成的角為θ，所以，線段AB在水平地面上的正投影的長度為ABcosθ，不為定值，命題對于命題③④，由于AB為定值，設點A到平面α的距離為d，則d≤AB，所以，直線OA與平面α所成角的正弦值的最大值為，則命題③正確，命題④錯誤，故答案為①③．【點評】本題考查立體幾何綜合，考查線面角的正弦值的計算、線段投影長度以及球面定義的應用，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．三、解答題．7．如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，三角形ABC是正三角形，PA=AB，點D、E、F分別為棱PA、PC、BC的中點，G為AD的中點．（1）求證：平面BDE；（2）求二面角B?DE?F的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）法一：連接PF交BE于點H，連接DH，見圖1：∵E，F(xiàn)分別是PC，BC的中點，∴H是三角形PBC的重心，∴PH=2HF．由已知得PD=2DG，∴，又DH?平面BDE，GF?平面BDE，∴平面BDE．法二：取EC中點M，連接FM，GM，見圖2：由已知得，∴DE?平面BDE，GM?平面BDE，∴平面BDE．∵M，F(xiàn)分別是EC，BC的中點，∴，又BE?平面BDE，MF?平面BDE，∴平面BDE，∴GM∩MF=M，∴平面平面BDE，又GF?平面GFM，∴平面BDE．法三：在平面ABC內(nèi)，以垂直于AB的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，AP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，見圖3：設正三角形ABC邊長為2a（a>0），則D0，0，a∴，DB=(0，設平面BDE的法向量為，則，，∴，可?。郑?，∴，∴，即，又GF?平面BDE，∴平面BDE．（2）在平面ABC內(nèi)，以垂直于AB的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，AP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，見圖3，設正三角形ABC邊長為2aa>0則D0，0，a，，由第（1）問方法三可知，平面BDE的法向量為，設平面DEF的法向量為，又EF=(0，a∵，，∴，可取，∴．∴二面角B?DE?F為銳二面角，∴二面角B?DE?F的余弦值為．【點評】立體幾何解答題的基本結(jié)構：（1）第一問一般是幾何關系的證明，用判定定理；（2）第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢越⒖臻g直角坐標系，利用向量法計算．8．如圖，底邊ABCD是邊長為3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AFDE（1）求證：平面ACE⊥平面BED；（2）在線段AF上是否存在點M，使得二面角M?BE?D的大小為60°？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）因為平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE?平面ADEF，DE⊥所以DE⊥平面ABCD，因為AC?平面ABCD，所以DE⊥又四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥因為DE∩BD=D，DE?平面BED，BD?平面BED，所以AC⊥平面BED．又AC?平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED．（2）因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以以則A3，0假設在線段A