新教材2025版高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.6祖暅原理與幾何體的體積學(xué)案新人教B版必修第四冊

11．1.6祖暅原理與幾何體的體積課程標(biāo)準(zhǔn)1.相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu)．2．知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡潔的實(shí)際問題．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)學(xué)問點(diǎn)一祖暅原理(1)“冪勢既同，則積不容異”，即“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的隨意平面所截，假如截得的兩個(gè)截面的面積________，那么這兩個(gè)幾何體的體積________”．(2)作用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積________．學(xué)問點(diǎn)二柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式其中S′、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑．名稱體積(V)柱體棱柱________________圓柱πr2h錐體棱錐________________圓錐13πr2臺(tái)體棱臺(tái)________________圓臺(tái)13πh(r2＋rr′＋r′2球________________基礎(chǔ)自測1．若長方體的長、寬、高分別為3cm、4cm、5cm，則長方體的體積為()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm32．圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其體積為()A．15π B．30πC．12π D．36π3．假如軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．π B．2πC．4π D．8π4．若一個(gè)球的直徑是12cm，則它的體積為________cm3.課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1求柱體的體積例1如圖所示的幾何體，上面是圓柱，其底面直徑為6cm，高為3cm，下面是正六棱柱，其底面邊長為4cm，高為2cm，現(xiàn)從中間挖去一個(gè)直徑為2cm的圓柱，求此幾何體的體積．方法歸納計(jì)算柱體體積的關(guān)鍵及常用技巧(1)計(jì)算柱體體積的關(guān)鍵：確定柱體的底面積和高．(2)常用技巧：①充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，構(gòu)造直角三角形，從而計(jì)算出底面積和高．②由于柱體的體積僅與它的底面積和高有關(guān)，而與柱體是幾棱柱，是直棱柱還是斜棱柱沒有關(guān)系，所以我們往往把求斜棱柱的體積通過作垂直于側(cè)棱的截面轉(zhuǎn)化成求直棱柱的體積．跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)正方體的底面積和一個(gè)圓柱的底面積相等，且側(cè)面積也相等，求正方體和圓柱的體積之比．題型2求錐體的體積例2(1)半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的體積是()A．324πR3 B．38πC．524πR3 D．58π(2)如圖三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1C1的體積之比．狀元隨筆AB:A1B1=1:2→S△(3)如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1-D1EF的體積．狀元隨筆三棱錐A1-D1EF的高不易求出，可以轉(zhuǎn)換為求三棱錐F-A1D1E的體積．方法歸納1．三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺(tái)體的體積關(guān)系，割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法．2．求幾何體體積的常用方法跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ADC的體積是()A．16 B．C．12 D．(2)如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱AB上且EF＝2，動(dòng)點(diǎn)Q在棱D′C′上，則三棱錐A′-EFQ的體積()A．與點(diǎn)E，F(xiàn)的位置有關(guān)B．與點(diǎn)Q的位置有關(guān)C．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)D．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，是定值(3)如圖所示，三棱錐P-ABC的全部棱長都為1，求此三棱錐的體積．狀元隨筆將此三棱錐放在正方體中，看作正方體切去四個(gè)三棱錐得到，據(jù)此設(shè)計(jì)算法求解．題型3求臺(tái)體的體積例3已知正四棱臺(tái)兩底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面積是780cm2.求正四棱臺(tái)的體積．狀元隨筆可以嘗試借助四棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形．求出棱臺(tái)底面積和高，從而求出體積．方法歸納求臺(tái)體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺(tái)體的高．要留意充分運(yùn)用棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形或圓臺(tái)的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練3本例若改為“正四棱臺(tái)的上、下兩底的底面邊長分別為2cm和4cm，側(cè)棱長為2cm，求該棱臺(tái)的體積．”題型4求球的體積例4(1)過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積．解決本題要充分利用已知條件，尤其是球半徑，截面圓半徑和球心距構(gòu)成的直角三角形．(2)如圖，圓柱內(nèi)有一內(nèi)切球(圓柱各面與球面均相切)，若內(nèi)切球的體積為43π，則圓柱的側(cè)面積為(A．π B．2πC．4π D．8π方法歸納球的基本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的依據(jù)，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法．跟蹤訓(xùn)練4假如三個(gè)球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的體積是其余兩個(gè)球的體積之和的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是駕馭柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積的求法，難點(diǎn)是組合體的表面積．2．本節(jié)課要重點(diǎn)駕馭的規(guī)律方法(1)求空間幾何體的體積的方法．(2)求與組合體有關(guān)的體積的方法．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求與三視圖有關(guān)的幾何體的體積時(shí)，易把相關(guān)數(shù)據(jù)弄錯(cuò)．11．1.6祖暅原理與幾何體的體積新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]學(xué)問點(diǎn)一(1)總相等肯定相等(2)相等學(xué)問點(diǎn)二Sh13Sh13h(S＋SS'＋S′)4[基礎(chǔ)自測]1．解析：長方體的體積為3×4×5＝60(cm3)．答案：B2．解析：圓錐的高h(yuǎn)＝52-32＝4，故V＝答案：C3．解析：設(shè)軸截面正方形的邊長為a，由題意知S側(cè)＝πa·a＝πa2.又∵S側(cè)＝4π，∴a＝2.∴V圓柱＝π×2＝2π.答案：B4．解析：由題意，知球的半徑R＝6cm，故其體積V＝43πR3＝43×π×63＝288π(cm答案：288π課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】V六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm3V圓柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圓柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此幾何體的體積：V＝V六棱柱＋V圓柱－V挖去圓柱＝(483＋22π)(cm3)．跟蹤訓(xùn)練1解析：設(shè)正方體邊長為a，圓柱高為h，底面半徑為r，則有a由①得r＝ππa由②得πrh＝2a2，∴V圓柱＝πr2h＝2ππa∴V正方體∶V圓柱＝a3∶2ππa3＝例2【解析】(1)設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝l＝π·R.所以r＝12R所以圓錐的高h(yuǎn)＝R2-14所以V錐＝13πr2·h＝π3·R24·32R＝(2)設(shè)棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則S△A1∴VA1-ABC＝13S△ABC·VC-A1B1C1又V臺(tái)＝13h(S＋4S＋2S)＝73∴VB-A1B1C1＝V臺(tái)-V∴體積比為1∶2∶4.(3)由V三棱錐A1因?yàn)镾△A1D1E＝12EA1·A1又三棱錐F-A1D1E的高為CD＝a，所以V三棱錐F-A1D1E＝13×aV三棱錐A1-D【答案】(1)A(2)見解析(3)見解析跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)三棱錐D1-ADC的體積V＝13S△ADC×D1D＝13×12×AD×DC×D1D(2)V三棱錐A′-EFQ＝V三棱錐Q-A′EF＝13×12×EF×AA′×A′所以其體積為定值，與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)．(3)如圖所示，把三棱錐放在正方體中．三棱錐P-ABC可看作正方體切去四個(gè)三棱錐得到，因?yàn)檎拿骟w的棱長為1，所以正方體的棱長為22，所以三棱錐P-ABC的體積為223－4×1答案：(1)A(2)D(3)見解析例3【解析】如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高．設(shè)O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形．由S側(cè)＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得EE1在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1OE＝12AB∴O1O＝E1V正四棱臺(tái)＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3故正四棱臺(tái)的體積為2800cm3.跟蹤訓(xùn)練3解析：如圖，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面邊長分別為2cm和4cm，則O1B1＝2cm，OB＝22cm，過點(diǎn)B1作B1M⊥OB于點(diǎn)M，那么B1M為正四棱臺(tái)的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝(22-2)＝依據(jù)勾股定理MB1＝BB12S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱臺(tái)＝13×2＝13×2×28＝28例4【解析】(1)如圖，設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的截面為圓O′，連接OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，∴O′為正三角形ABC的中心，∴AO′＝33AB＝3設(shè)OA＝R，則OO′＝12R∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝32R＝3(cm)，∴R∴V球＝43πR3＝323π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm即球的體積為