2025版新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.5橢圓及其方程2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)課時作業(yè)新人教B版選擇性必修第一冊

2．5.2橢圓的幾何性質(zhì)1．下列與橢圓C：＋＝1焦點相同的橢圓是()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝12．以橢圓＋＝1的兩個焦點及短軸的兩個端點為四個頂點的橢圓方程是()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝13．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為()A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝14．若橢圓＋y2＝1(a>1)的離心率為，則該橢圓的長軸長為()A．B．C．D．或5．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則實數(shù)m的值為()A．2B．C．4D．6．(1)求與橢圓＋＝1有相同的焦點，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8，兩個頂點的坐標(biāo)分別是(－6，0)，(6，0)，求焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．7．(多選)若橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程可能為()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝18．已知橢圓C：＋y2＝1的一個焦點為(1，0)，則橢圓C的離心率為()A．B．C．D．9．(多選)已知橢圓＋＝1的焦距為2，則m＝()A．4B．5C．7D．810．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，若∠ABF＝90°，則橢圓C的離心率為()A．B．C．D．11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，橢圓上一點M滿意∠F1MF2＝120°，則該橢圓離心率取值范圍是()A．(0，)B．[，1)C．(0，]D．[，1)12．已知A(2，0)，M是橢圓C：＋y2＝1(其中a>1)的右焦點，P是橢圓C上的動點．(1)若M與A重合，求橢圓C的離心率；(2)若a＝3，求|PA|的最大值與最小值．13．已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1，1)是肯定點．則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．14．已知點A，B分別是橢圓＋＝1的左、右頂點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.(1)求點P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，且M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．2．5.2橢圓的幾何性質(zhì)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：D解析：由題意得，橢圓C中a2＝9，b2＝5，c2＝a2－b2＝4即焦點坐標(biāo)為(2，0)和(－2，0)；對于A選項，橢圓焦點在y軸上，不滿意題意；對于B選項，橢圓焦點在x軸上，a2＝10，b2＝5，c2＝a2－b2＝5，不滿意題意；對于C選項，橢圓焦點在x軸上，a2＝9，b2＝4，c2＝a2－b2＝5不滿意題意；對于D選項，橢圓焦點在x軸上，a2＝10，b2＝6，c2＝a2－b2＝4，滿意題意．故選D.2．答案：B解析：橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，短軸的兩個端點B1(0，－4)，B2(0，4)，則以點F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)及B1(0，－4)，B2(0，4)為四個頂點的橢圓長軸長2a＝|B1B2|＝8，短軸長2b＝|F1F2|＝6，其焦點在y軸上，中心在原點，方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1，所以所求的橢圓方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1.故選B.3．答案：B解析：由題設(shè)，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，且|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以△AF1B的周長為|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4a＝4eq\r(3)，即a＝eq\r(3)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，可得c＝eq\r(2)，則b2＝a2－c2＝1，綜上，C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.故選B.4．答案：A解析：由題意可得e＝eq\f(\r(a2－1),a)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(2\r(3),3)，則橢圓的長軸長為eq\f(4\r(3),3).故選A.5．答案：D解析：因為x2＋my2＝1，所以x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，所以a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，所以a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1，又長軸長是短軸長的兩倍，所以eq\r(\f(1,m))＝2，所以m＝eq\f(1,4).故選D.6．解析：(1)因為c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)，所以所求橢圓的焦點為(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0).設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，c＝eq\r(5)，所以a＝5，b2＝a2－c2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因為2c＝8，所以c＝4，又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.關(guān)鍵實力綜合練7．答案：AB解析：設(shè)短軸的一個端點為P，焦點分別為F1，F(xiàn)2，因為△PF1F2為正三角形，所以|OP|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|，可得b＝eq\r(3)c，即eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c.①又因為橢圓的焦點到橢圓上點的最短距離為eq\r(3)，所以a－c＝eq\r(3)，②聯(lián)立①②，可得a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝3.因此a2＝12且b2＝9，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.故選AB.8．答案：D解析：由已知可得b2＝1，c＝1，則a2＝b2＋c2＝2，所以a＝eq\r(2)，則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故選D.9．答案：BC解析：當(dāng)橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的長軸在y軸上時，得a2＝m－2，b2＝10－m，則c2＝a2－b2＝2m－12.又其焦距為2eq\r(2)，即2c＝2eq\r(2)，解得c＝eq\r(2)，所以2m－12＝2，解得m＝7.當(dāng)長軸在x軸上時，得10－m－m＋2＝2，m＝5.故選BC.10．答案：A解析：依據(jù)題意，A(－a，0)，B(0，b)，F(xiàn)(c，0)，因為∠ABF＝90°，所以kAB·kBF＝－1，即eq\f(b－0,0－（－a）)·eq\f(b－0,0－c)＝－1，所以eq\f(b2,ac)＝1，即b2＝ac.又因為b2＝a2－c2，所以c2－a2＋ac＝0，同除以a2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(c,a)－1＝0，即e2＋e－1＝0，所以e＝－eq\f(\r(5)＋1,2)(舍)或e＝eq\f(\r(5)－1,2).故選A.11．答案：D解析：如圖依據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，∠F1MF2當(dāng)點M在短軸頂點(不妨設(shè)上頂點A)時最大，要使橢圓上存在點M，滿意∠F1MF2＝120°，則∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，sin∠F1AO＝eq\f(c,a)≥eq\f(\r(3),2)，即e≥eq\f(\r(3),2)，又0<e<1，所以eq\f(\r(3),2)≤e<1，故橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)).故選D.12．解析：(1)由條件可知c＝2，又b＝1，所以a2＝4＋1＝5，即a＝eq\r(5)，所以離心率為e＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).(2)若a＝3，則橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1，設(shè)P(x，y)，則|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－eq\f(x2,9)＝eq\f(8,9)(x－eq\f(9,4))2＋eq\f(1,2)(－3≤x≤3)，故當(dāng)x＝eq\f(9,4)時，|PA|min＝eq\f(\r(2),2)；當(dāng)x＝－3時，|PA|max＝5.核心素養(yǎng)升級練13．答案：6＋eq\r(2)6－eq\r(2)解析：如圖所示，設(shè)橢圓右焦點為F1，則|PF|＋|PF1|＝6.所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時，等號成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2).故|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2).14．解析：(1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(xiàn)(4，0)，設(shè)點P的坐標(biāo)是(x，y)(y>0)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y).由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,（x＋6）（x－4）＋y2＝0，))則2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－6.由于y>0，所以只能取x＝eq\f(3,2)，于是y＝eq\f(5\r(3),2).所以點P的坐標(biāo)是(eq\f(3,2)，eq\f(5\r(3),2)).(2)易得直線AP的方程是x－eq