2024年湖南省長沙市中考數(shù)學試題（含解析）

2024年長沙市初中學業(yè)水平考試試卷數(shù)學注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和座位號；2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.我國近年來大力推進國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過7.8萬門，學習人次達1290000000建設和應用規(guī)模居世界第一．用科學記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（）A. B. C. D.3.“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器．“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是、最高溫度是，則它能夠耐受的溫差是（）A. B. C. D.4.下列計算正確是（）A. B. C. D.5.為慶祝五四青年節(jié)，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數(shù)為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.66.在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（）A. B. C. D.7.對于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.它的圖象與y軸交于點 B.y隨x的增大而減小C.當時， D.它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限8.如圖，在中，，，．則的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為（）A.4 B. C.5 D.10.如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接，，過點A作于點P．設，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知____種秧苗長勢更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．12.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會，進入抽獎環(huán)節(jié)．抽獎方案如下：不透明箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個，每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會，小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為______．13.要使分式有意義，則x需滿足的條件是______．14.半徑為4，圓心角為的扇形的面積為______（結(jié)果保留）．15.如圖，在中，點D，E分別是的中點，連接．若，則的長為______．16.為慶祝中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動，現(xiàn)場參與者均為在校中學生，其中有一個活動項目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數(shù)，比如2010年對應的四位數(shù)是2010），得到最終的運算結(jié)果．只要參與者報出最終的運算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是______．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．18.先化簡，再求值：，其中．19.如圖，在中，，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線分別交于點D，E，連接（1）求的長；（2）求的周長．20.中國新能源產(chǎn)業(yè)異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術路線，加大研發(fā)投入形成了領先的技術優(yōu)勢，2023年，中國新能源汽車產(chǎn)銷量均突破900萬輛，連續(xù)9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調(diào)查活動（每人限選其中一種類型），并將數(shù)據(jù)整理后，繪制成下面有待完成的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖類型人數(shù)百分比純電m混動n氫燃料3油車5請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查活動隨機抽取了_____人；表中______，______；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）請計算扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)；（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有多少人？21.如圖，點C在線段上，，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．22.刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝．湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題湘繡作品作為紀念品．已知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元？（2）該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買A種湘繡作品多少件？23.如圖，在中，對角線，相交于點O，．（1）求證：；（2）點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．24.對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；（）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（）（2）如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．（3）已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長．25.已知四個不同的點，，，都在關于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上．（1）當A，B兩點的坐標分別為，時，求代數(shù)式的值；（2）當A，B兩點的坐標滿足時，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)，并說明理由；（3）當時，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點，且A，B，C，D四點的坐標滿足：，．請問是否存在實數(shù)，使得，，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于的m倍的線段）．參考答案一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.【答案】B【解析】解：A中圖形軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B中圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D中圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意，故選：B．2.【答案】C【解析】解：用科學記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為，故選：C．3.【答案】D【解析】解：能夠耐受的溫差是，故答案為：D．4.【答案】A【解析】解：A、，計算正確；B、不能合并，原計算錯誤；C、，原計算錯誤；D、，原計算錯誤；故選A．5.【答案】B【解析】解：甲班演唱后七位評委給出的分數(shù)為：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位數(shù)為：9.4，故選B．6.【答案】D【解析】解：在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為，即，故選：D．7.【答案】A【解析】解：A.當時，，即一次函數(shù)的圖象與y軸交于點，說法正確；B.一次函數(shù)圖象y隨x增大而增大，原說法錯誤；C.當時，，原說法錯誤；D.一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，原說法錯誤；故選A．8.【答案】C【解析】解：∵在中，，，∴,∵，∴．故選：C．9.【答案】B【解析】解：∵在中，弦的長為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．10.【答案】C【解析】解：如圖，過D作，交延長線于H，則，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.【答案】甲【解析】解：∵，∴甲種秧苗長勢更整齊，故答案為：甲．12.【答案】##【解析】解：小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為，故答案為：．13.【答案】【解析】解：∵分式有意義，∴，解得，故答案為：．14.【答案】【解析】解：由題意，半徑為4，圓心角為的扇形的面積為，故答案為：．15.【答案】24【解析】解：∵D，E分別是，的中點，∴是的中點，∴，故答案為：．16.【答案】2009【解析】解：設這位參與者的出生年份是x，從九個數(shù)字中任取一個數(shù)字為a，根據(jù)題意，得，整理，得∴，∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是為慶祝中國改革開放46周年，且參與者均為在校中學生，∴x只能是2009，故答案為：2009．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.【答案】【解析】解：原式．18.【答案】；【解析】解：．當時，原式．19.【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】解：由作圖可知，是線段的垂直平分線，∴在中，點D是斜邊的中點．∴．【小問2詳解】解：在中，．∵是線段的垂直平分線，∴．∴的周長．20.【答案】（1）50；30，6（2）見解析（3）（4）人【解析】【小問1詳解】解：本次調(diào)查活動隨機抽取人數(shù)為（人），，則，，則，故答案為：50；30，6；【小問2詳解】解：∵，∴補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：【小問3詳解】解：扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)為；【小問4詳解】解：（人）．答：估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有3600人．21.【答案】（1）見解析（2）【解析】【小問1詳解】證明：在與中，，所以；【小問2詳解】解：因為，，所以，，所以是等邊三角形．所以．22.【答案】（1）A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元（2）最多能購買100件A種湘繡作品【解析】【小問1詳解】設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元．根據(jù)題意，得，解得答：A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元．【小問2詳解】設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品件．根據(jù)題意，得，解得．答：最多能購買100件A種湘繡作品．23.【答案】（1）見解析（2），【解析】【小問1詳解】證明：因為四邊形是平行四邊形，且，所以四邊形是矩形．所以；【小問2詳解】解：在中，，，所以，因為四邊形是矩形，所以，．因為，所以．過點O作于點F，則，所以，在中，，所以．24.【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型單圓；②見解析（3），，【解析】【小問1詳解】解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內(nèi)切圓的四邊形的對邊之和相等，所以①當平行四邊形對角不互補，對邊之和也不相等時，該平行四邊形無外接圓，也無內(nèi)切圓，∴該平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯誤；②∵內(nèi)角不等于的菱形的對角不互補，∴該菱形無外接圓，∵菱形的四條邊都相等，∴該菱形的對邊之和相等，∴該菱形有內(nèi)切圓，∴內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形，故②正確；③由題意，外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，則，，，，∴為等腰直角三角形，∴，即；故③正確，故答案為：①×；②√；③√；【小問2詳解】解：①∵四邊形中，，∴四邊形無內(nèi)切圓，又該四邊形有外接圓，∴該四邊形是“外接型單圓”四邊形，故答案為：外接型單圓；②∵的平分線交于點E，的平分線交于點F，∴，，∴，，∴，∴，即和均為半圓，∴是的直徑．【小問3詳解】①證明：如圖，連接、、、、，∵是四邊形的內(nèi)切圓，∴，，，，∴，在四邊形中，，同理可證，，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，∴該四邊形有外接圓，則，∴，則，∵，，∴，∴，∴；②如圖，連接、、、，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點E，F(xiàn)，G，H，∴∴，，，，，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，則，在中，由得，解得；在中，，∴，同理可證，∴，∴，∴．25.【答案】（1）（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點個數(shù)為兩個，理由見解析（3）存在兩個m的值符合題意；當時，此時該函數(shù)的最小值為；當時，此時該函數(shù)的最小值為【解析】【小問1詳解】將，代入得，②-①得，即．所以．【小問2詳解】此函數(shù)圖象與x軸的公共點個數(shù)為兩個．方法1：由，得．可得或．當時，，此拋物線開口向上，而A，B兩點之中至少有一個