2025屆洛陽市重點中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆洛陽市重點中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（）A． B．C． D．2．正的邊長為2，將它沿邊上的高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．3．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村汽車登山線路，三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述：甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（）A．甲走桃花峪登山線路 B．乙走紅門盤道徒步線路C．丙走桃花峪登山線路 D．甲走天燭峰登山線路4．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．5．當(dāng)輸入的實數(shù)時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．6．已知正方體的棱長為，，，分別是棱，，的中點，給出下列四個命題:①;②直線與直線所成角為;③過，，三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中，正確命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面8．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B． C． D．9．是的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要10．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．11．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．312．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，的夾角為30°，，則_________.14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數(shù)列{}前2020項和為_____15．已知向量，，若，則________.16．已知的終邊過點，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）求函數(shù)的最大值．19．（12分）已知拋物線與直線.（1）求拋物線C上的點到直線l距離的最小值；（2）設(shè)點是直線l上的動點，是定點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點為A，B，求證A，Q，B共線；并在時求點P坐標(biāo).20．（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰的計算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為的概率.21．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出圖形，以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果．【詳解】畫出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合理選擇基底會給解題帶來方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運算或數(shù)乘運算．2、D【解析】

如圖所示，設(shè)的中點為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因為，故，因為，故.由正弦定理可得，故，又因為，故.因為，故平面，所以，因為平面，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一定的難度.3、D【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選：D【點睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：當(dāng)時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當(dāng)時，，所以不單調(diào)，故排除C；故選：B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可．【詳解】如圖；連接相關(guān)點的線段，為的中點，連接，因為是中點，可知，，可知平面，即可證明，所以①正確；直線與直線所成角就是直線與直線所成角為；正確；過，，三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖：是五邊形．所以③不正確；如圖：三棱錐的體積為：由條件易知F是GM中點，所以,而，．所以三棱錐的體積為，④正確；故選：．【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中檔題．7、B【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．8、A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見的長方形，且俯視圖應(yīng)為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系，即可得出?！驹斀狻吭O(shè)對應(yīng)的集合是，由解得且對應(yīng)的集合是，所以，故是的必要不充分條件，故選B?！军c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè)，如果，則是的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。10、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．12、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由求出，代入，進(jìn)行數(shù)量積的運算即得.【詳解】，存在實數(shù)，使得.不共線，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿足上式，.∴2（）.∴數(shù)列{}前2020項和為2（1）＝2（1）.故答案為：.【點睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.15、10【解析】

根據(jù)垂直得到，代入計算得到答案.【詳解】，則，解得，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學(xué)生的計算能力.16、【解析】

】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．【詳解】∵的終邊過點，若，．即答案為-2.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）按進(jìn)行分類，得到等價不等式組，分別解出解集，再取并集，得到答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在時恒成立，按和分類討論，分別得到不等式恒成立時對應(yīng)的的范圍，再取交集，得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時，等價于或或，解得或或，所以不等式的解集為：.（2）依題意即在時恒成立，當(dāng)時，，即，所以對恒成立∴，得；當(dāng)時，，即，所以對任意恒成立，∴，得∴，綜上，.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，分類討論研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.18、【解析】

試題分析：由柯西不等式得試題解析：因為，所以．等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立．所以的最大值為．考點：柯西不等式求最值19、（1）；（2）證明見解析，或【解析】

（1）根據(jù)點到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)，，，，表示出直線，的方程，利用表示出，，即可求定點的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)拋物線上點的坐標(biāo)為，則，時取等號），則拋物線上的點到直線距離的最小值；（2）設(shè)，，，，，，直線，的方程為分別為，，由兩條直線都經(jīng)過點點得，為方程的兩根，，直線的方程為，，，，，共線．又，，，解，，點，是直線上的動點，時，，時，，，或．【點睛】本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點的解法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）乙同學(xué)正確；（2）.【解析】

（1）根據(jù)變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點，判斷出乙正確.（2）由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)，計算出誤差，求得“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，由此利用古典概型概率計算公式，求得所求概率.【詳解】（1）已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，，代入兩個回歸方程，驗證乙同學(xué)正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計算估計數(shù)據(jù)如下表：021212由上表可知，“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為.用列舉法可知，從個不同數(shù)據(jù)里抽出個不同數(shù)據(jù)的方法有種.從符合條件的個不同數(shù)據(jù)中抽出個，還要在不符合條件的個不同數(shù)據(jù)中抽出個的方法有種.故所求概率為【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的判斷，考查古典概型概率計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析