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文檔簡介
2025屆江西省浮梁一中高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,2.已知圓與拋物線的準線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.43.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個,每個景點去一人.已知:①甲不在遠古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠古村寨;③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠古村寨.若以上語句都正確,則游玩千丈瀑布景點的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.已知函數(shù),若,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知集合,,則集合的真子集的個數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.37.已知實數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)有兩個不同的極值點,,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.9.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.10.()A. B. C. D.11.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,12.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________.14.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積是_____;最長棱的長度是_____.15.設(shè)滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為_.16.已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和,則該圓錐的體積為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點.(1)求證:平面平面;(2)點在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.(12分)一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)設(shè)拋擲4次的得分為,求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)當游戲得分為時,游戲停止,記得分的概率和為.①求;②當時,記,證明:數(shù)列為常數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列.19.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.20.(12分)設(shè)為坐標原點,動點在橢圓:上,該橢圓的左頂點到直線的距離為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若橢圓外一點滿足,平行于軸,,動點在直線上,滿足.設(shè)過點且垂直的直線,試問直線是否過定點?若過定點,請寫出該定點,若不過定點請說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,證明:當時,;(2)若在只有一個零點,求的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
因為圓與拋物線的準線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請在此輸入詳解!3、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.4、D【解析】
根據(jù)演繹推理進行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨,必有丙同學(xué)去了遠古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點的同學(xué)是丁.故選:D.【點睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).5、A【解析】分析:作出函數(shù)的圖象,利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到結(jié)論.詳解:作出函數(shù)的圖象,如圖所示,若,且,則當時,得,即,則滿足,則,即,則,設(shè),則,當,解得,當,解得,當時,函數(shù)取得最小值,當時,;當時,,所以,即的取值范圍是,故選A.點睛:本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù),求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,以及分析問題和解答問題的能力,試題有一定的難度,屬于中檔試題.6、D【解析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個數(shù)為個.故選:D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算,考查了集合真子集個數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)題意,對于函數(shù)分2段分析:當,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當,若為增函數(shù),則①,
當,若為增函數(shù),必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調(diào)遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③
聯(lián)立①②③可得:.
故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).8、C【解析】
先求導(dǎo)得(),由于函數(shù)有兩個不同的極值點,,轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù),通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因為函數(shù)有兩個不同的極值點,,所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因為.設(shè),,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍,以及運用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,還考查分析和計算能力,有一定的難度.9、D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.10、D【解析】
利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時,函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標函數(shù)的最小值為:4目標函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.12、B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎(chǔ)題.14、【解析】
由三視圖還原原幾何體,該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,由棱錐體積公式求棱錐體積,由勾股定理求最長棱的長度.【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示:該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,則該幾何體的體積為,,,因此,該棱錐的最長棱的長度為.故答案為:;.【點睛】本題考查由三視圖求體積、棱長,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,是中檔題.15、【解析】
根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積?!驹斀狻吭O(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為。【點睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得底面,由此證得,結(jié)合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點,∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標系,則,,,由已知,得,設(shè)平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為6;(2)①;②證明見解析【解析】
(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8,分別求出對應(yīng)的概率,進而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,分別求出兩種情況的概率,進而可求得;②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,可知當且時,,結(jié)合,可推出,從而可證明數(shù)列為常數(shù)列;結(jié)合,可推出,進而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8.每次拋擲一次硬幣,正面向上的概率為,反面向上的概率也為,則,.所以變量的分布列為:45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,概率的和為.②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,故且時,有,則時,,所以,故數(shù)列為常數(shù)列;又,,所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明,考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證能力,屬于中檔題.19、(1):,:;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標方程.(2)求得直線的標準參數(shù)方程,代入圓的直角坐標方程,化簡后寫出韋達定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標方程為;(2)經(jīng)檢驗點在直線上,可轉(zhuǎn)化為①,將①式代入圓的直角坐標方程為得,化簡得,設(shè)是方程的兩根,則,,∵,∴與同號,由的幾何意義得.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問題,屬于中檔題.20、(1);(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)點到直線的距離公式可求出a的值,即可得橢圓方程;(2)由題意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),根據(jù),可得y1=2y0,由,可得2x0+2y0t=6,再根據(jù)向量的運算可得,即可證明.【詳解】(1)左頂點A的坐標為(﹣a,0),∵=,∴|a﹣5|=3,解得a=2或a=8(舍去),∴橢圓C的標準方程為+y2=1,(2)由題意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),則依題意可知y1≠y0,得(x0﹣2x0,y1﹣2y0)(0,y1﹣y0)=0,整理可得y1=2y0,或y1=y(tǒng)0(舍),,得(x0,2y0)(2﹣x0,t﹣2y0)=2,整理可得2x0+2y0t=x02+4y02+2=6,由(1)可得F(,0),∴=(﹣x0,﹣2y0),∴?=(﹣x0,﹣2y0)(2,t)=6﹣2x0﹣2y0t=0,∴NF⊥OP,故過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法,直線和橢圓的關(guān)系,向量的運算,考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2)【解析】
分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點,等價研究的零點,先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個討論點,一個是a與零,一個是x與2,當時,,沒有零點;當時,先減后增,從而確定只有一個零點的必要條件,再利用零點存在定理確定條件的充分性,即得a的值.詳解:(1)當時,等價于.設(shè)函數(shù),則.當時,,所以在單調(diào)遞減.而,故當時,,
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