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文檔簡介
甘肅省天水高中名校2025屆高考適應性考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.2.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.3.的展開式中,項的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.634.復數(shù)()A. B. C.0 D.5.已知雙曲線的右焦點為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點到該漸近線的距離為,則雙曲線的實軸的長為A. B.C. D.6.已知函數(shù)的零點為m,若存在實數(shù)n使且,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.下列函數(shù)中,圖象關于軸對稱的為()A. B.,C. D.8.設集合,,若,則()A. B. C. D.9.百年雙中的校訓是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球,分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字,有放回地從中任意摸出一個小球,直到“仁”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間(含1和4)取整數(shù)值的隨機數(shù),分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示摸球三次的結果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù):141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計,恰好第三次就停止摸球的概率為()A. B. C. D.10.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設勞倫茨曲線對應的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④11.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.若數(shù)列滿足且,則使的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.秦九韶算法是南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法,如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例,若輸入,的值分別為4,5,則輸出的值為______.14.曲線在點處的切線方程是__________.15.的展開式中的系數(shù)為________.16.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.19.(12分)心形線是由一個圓上的一個定點,當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定點的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標系中,方程()表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在的直線為軸,極點為坐標原點的直角坐標系中.已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的極坐標方程;(2)若曲線與相交于、、三點,求線段的長.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長為2的正三角形,,為線段的中點.(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點,當二面角的余弦值為時,求三棱錐的體積.21.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.22.(10分)如圖,湖中有一個半徑為千米的圓形小島,岸邊點與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點向小島建三段棧道,,,湖面上的點在線段上,且,均與圓相切,切點分別為,,其中棧道,,和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)弧(圓上實線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當為何值時,棧道總長度最短.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
因為,所以排除C、D.當從負方向趨近于0時,,可得.故選A.2、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關鍵在于正確理解題意,屬于基礎題.3、B【解析】
根據(jù)二項式展開式的通項公式,結合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出,則出,該項為:;②出,則出,該項為:;③出,則出,該項為:;綜上所述:合并后的項的系數(shù)為17.故選:B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎知識,考查理解能力,計算能力,分類討論和應用意識.4、C【解析】略5、B【解析】
雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設點,則點到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實軸的長為,故選B.6、D【解析】
易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為,所以,∴,問題轉化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為,∴.故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構造函數(shù)法的應用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.7、D【解析】
圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進行判斷可解.【詳解】圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域為,不關于原點對稱,故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關于原點(軸)對稱.8、A【解析】
根據(jù)交集的結果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【點睛】本題考查集合的交,注意根據(jù)交集的結果確定集合中含有的元素,本題屬于基礎題.9、A【解析】
由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況,用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當1,2同時出現(xiàn)時即停止摸球,則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種:142,112,241,142,412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選:A.【點睛】本題考查了簡單隨機抽樣中隨機數(shù)的應用和古典概型概率的計算,屬于基礎題.10、A【解析】
對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.11、B【解析】
求得的導函數(shù),由此構造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令,利用分離常數(shù)法結合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設,要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號零點,令,則,令,則問題即在上有零點,由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點問題的求解策略,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.12、C【解析】因為,所以是等差數(shù)列,且公差,則,所以由題設可得,則,應選答案C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1055【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖中的程序,即可求得結果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下:,滿足,,滿足,,滿足,,滿足,,不滿足,輸出.故答案為:1055.【點睛】本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行,屬基礎題.14、【解析】
利用導數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知,,所以,又,所以切線方程為,即.故答案為:【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查學生的基本計算能力,要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別,是一道容易題.15、80.【解析】
只需找到展開式中的項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項為,令,則,故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為:80.【點睛】本題考查二項式定理的應用,涉及到展開式中的特殊項系數(shù),考查學生的計算能力,是一道容易題.16、0.22.【解析】
正態(tài)曲線關于x=μ對稱,根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。【詳解】【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,是一個基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)利用兩邊平方法解含有絕對值的不等式,再根據(jù)根與系數(shù)的關系求出的值;(2)利用絕對值不等式求出的最小值,把不等式化為只含有的不等式,求出不等式解集即可.【詳解】(1)不等式,即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個實數(shù)根即,解得(2)因為所以要使不等式恒成立,只需當時,,解得,即;當時,,解得,即;綜上所述,的取值范圍是【點睛】本題考查了含有絕對值的不等式解法與應用問題,也考查了分類討論思想,是中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉化為“當時,”恒成立,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當時,,當時,由得,解得;當時,無解;當時,由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價于在上恒成立,當時,等價于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉化能力及絕對值不等式的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.19、(1)();(2).【解析】
(1)化簡得到直線方程為,再利用極坐標公式計算得到答案.(2)聯(lián)立方程計算得到,,計算得到答案.【詳解】(1)由消得,即,是過原點且傾斜角為的直線,∴的極坐標方程為().(2)由得,∴,由得∴,∴.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,意在考查學生的計算能力和應用能力.20、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系,設,求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉化即得解.【詳解】(1)證明:因為是正三角形,為線段的中點,所以.因為是菱形,所以.因為,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系.則.于是,,.設面的一個法向量,由得令,則,即.設,易得,.設面的一個法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識點,考查了學生空間想象,邏輯推理,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理對式子化簡求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面積,求解三角形的周長即可.【詳解】(1),
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