2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)質(zhì)量評估新人教A版必修第一冊

第三章質(zhì)量評估(時(shí)間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)f(x)=12x-A.0,B.3C.-∞,3D.3答案:D2.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+7(其中a,b為常數(shù)),若f(-7)=-17,則f(7)的值為 ()A.15B.17C.-17D.31答案:D3.已知函數(shù)y=ax和y=-bx在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數(shù),則f(x)=bx+a是 (A.增函數(shù),且f(0)>0 B.增函數(shù),且f(0)<0C.減函數(shù),且f(0)>0 D.減函數(shù),且f(0)<0答案:D4.若不等式x2+2x-a>0對隨意x∈[1,+∞)恒成立,則a的取值范圍是 ()A.(-∞,3] B.(3,+∞)C.(-∞,3) D.[3,+∞)答案:C5.若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增,且有最小值0,則它在區(qū)間[-3,-1]上 ()A.單調(diào)遞減,有最小值0 B.單調(diào)遞增,有最小值0C.單調(diào)遞減,有最大值0 D.單調(diào)遞增,有最大值0答案:D6.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則∑k=122f(k)A.-3 B.-2 C.0 D.1解析:令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x)?f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即f(x)周期為6.令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)?f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2.故∑k=122f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3.即∑k=122f(k)=-答案:A7.已知冪函數(shù)f(x)=(t3-t+1)x15(7+3t-2tA.-1 B.0 C.1 D.-1或1答案:D8.若函數(shù)f(x)=cx2x+3x≠0,且x≠-32A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3答案:B二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)f(x)=x,x≥A.f(f(-2))=-4 B.f(f(-2))=4C.f(f(2))=-2 D.f(f(2))=2答案:BD10.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[-6,6]上的偶函數(shù),且f(4)>f(1),則下列各式肯定成立的是()A.f(-1)<f(4) B.f(4)>f(3)C.f(2)>f(0) D.f(1)<f(-4)答案:AD11.偶函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示,依據(jù)圖象所給的信息,下列結(jié)論正確的是 ()A.函數(shù)f(x)肯定有最小值B.f(-1)-f(2)=0C.f(-1)-f(2)<0D.f(-1)+f(2)>0答案:CD12.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品xt所需費(fèi)用為P元,而賣出的價(jià)格為每噸Q元,已知P=1000+5x+110x2,Q=a+xb,若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部賣出,且當(dāng)產(chǎn)量為150t時(shí)利潤最大,此時(shí)每噸的價(jià)格為40元,則有 (A.a=45 B.a=30 C.b=45 D.b=-30答案:AD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)f(x)=1x+1-x的定義域是(-∞,0)14.若函數(shù)f(x)=x2+axx是奇函數(shù),則f15.如圖所示,定義在區(qū)間[-1,+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成,則函數(shù)f(x)的解析式為y=x+16.已知函數(shù)f(x)=|x|,x>0,-x2-2x+四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x.(1)畫出偶函數(shù)f(x)的大致圖象,并依據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)直線y=k(k∈R)與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí),求k的取值范圍.解:(1)大致圖象如圖,單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,0],[1,+∞).(2)由圖象可知,當(dāng)-1<k<0時(shí),直線y=k(k∈R)與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn).18.(12分)已知冪函數(shù)f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)滿意f(2)<f(3).(1)求實(shí)數(shù)k的值,并寫出函數(shù)f(x)的解析式.(2)對于(1)中的函數(shù)f(x),試推斷是否存在正數(shù)m,使函數(shù)g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在區(qū)間[0,1]上的最大值為5.若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.解:(1)對于冪函數(shù)f(x)=x(2-k)(1+k)滿意f(2)<f(3),因此(2-k)(1+k)>0,解得-1<k<2,因?yàn)閗∈Z,所以k=0或k=1,當(dāng)k=0時(shí),f(x)=x2,當(dāng)k=1時(shí),f(x)=x2.綜上所述,k的值為0或1,f(x)=x2.(2)函數(shù)g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,因?yàn)閙>0,所以拋物線開口向下,對稱軸方程為x=2m-12m=1-12所以1-1解得m=52+6,且滿意題意19.(12分)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),有f(x)=4x(1)推斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性,并證明;(2)求函數(shù)f(x)的解析式(寫成分段函數(shù)的形式).解:(1)f(x)=4xx+4證明:設(shè)x1>x2≥0,則f(x1)-f(x2)=4x1x1+4-4x2所以x1-x2>0,x1x2≥0,x1+x2>0,所以16(x1則f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函數(shù)f(x)=4xx+4(2)因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí),有f(x)=4xx+4,而當(dāng)x<所以f(-x)=-4x-x+4=4xx-4=f(x),即所以f(x)=420.(12分)由于共享單車停取便利、租用價(jià)格低廉,各色共享單車受到人們的寵愛.某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車,已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一輛新樣式單車須要增加投入100元.依據(jù)初步測算,自行車廠的銷售額(單位:元)滿意分段函數(shù)h(x),其中h(x)=400x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位:輛),利潤=銷售總額-總成本.(1)試將自行車廠的利潤y(單位:元)表示為月產(chǎn)量x(單位:輛)的函數(shù);(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少輛時(shí),自行車廠的利潤最大?最大利潤是多少?解:(1)依題設(shè),總成本為20000+100x,則y=-(2)當(dāng)0<x≤400時(shí),y=-12(x-300)2+則當(dāng)x=300時(shí),ymax=25000;當(dāng)x>400時(shí),y=60000-100x是減函數(shù),則ymax<60000-100×400=20000,所以當(dāng)月產(chǎn)量x=300輛時(shí),自行車廠的利潤最大,最大利潤為25000元.21.(12分)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在區(qū)間[-2,2]上的最大值、最小值分別為M,m.集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;(2)若A={1},且a≥1,記g(a)=M+m,求g(a)的最小值.解:(1)由f(0)=2,可知c=2.又A={1,2},故1,2是關(guān)于x的方程ax2+(b-1)x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以1+2=1-所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2],所以f(x)min=f(1)=1,即m=1;所以f(x)max=f(-2)=10,即M=10.(2)由題意知,關(guān)于x的方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即x1=x2=1,所以1+1=1-ba,1=ca,即b=1-2a,c其對稱軸方程為x=2a-12a又a≥1,故1-12a∈所以M=f(-2)=9a-2,m=f2a-12ag(a)=M+m=9a-14a-1,又g(a)在區(qū)間[1,所以當(dāng)a=1時(shí),g(a)min=g(1)=31422.(12分)記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,則稱(x0,x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=3x-1x(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證函數(shù)f(x)必有奇數(shù)個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).(1)解:設(shè)函數(shù)f(x)=3x則f(x)=3x-即x2所以(解得a<1或a>5,且a≠-13因此存在a∈-∞,-13∪-13,1