2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四單元圖形的初步認(rèn)識與三角形方法技巧訓(xùn)練（三）相似三角形的常見基本模型練習(xí)

方法技巧訓(xùn)練（三）相似三角形的常見基本模型模型1X字型及其變形（1）如圖1，對頂角的對邊平行，則△ABO∽△DCO；（2）如圖2，對頂角的對邊不平行，且有另一對角相等，則△ABO∽△CDO.圖1圖21.（2018·恩施）如圖，在正方形ABCD中，G為CD邊的中點(diǎn)，連接AG并延長交BC邊的延長線于點(diǎn)E，對角線BD交AG于點(diǎn)F，已知FG＝2，則線段AE的長度為（D）A.6B.8C.10D.122.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)F.若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝eq\f(3,4)，CF＝eq\f(10,3)，求BF的長.解：連接BD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×4＝8.由勾股定理，得AC＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).在Rt△ADB中，cos∠BAD＝eq\f(3,4)＝eq\f(AD,AB)，∴eq\f(3,4)＝eq\f(AD,8)，∴AD＝6.∴BD＝eq\r(82－62)＝2eq\r(7).∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，∴△DFB∽△AFC.∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(BD,CA)，即eq\f(BF,\f(10,3))＝eq\f(2\r(7),4\r(3))，解得BF＝eq\f(5\r(21),9).模型2A字型及其變形（1）如圖1，公共角的對邊平行，則△ADE∽△ABC；（2）如圖2，公共角的對邊不平行，且有另一對角相等，則△ADE∽△ABC；（3）如圖3，公共角的對邊不平行，兩個三角形有一條公共邊，且有另一對角相等，則△ACD∽△ABC.常見的結(jié)論有：AC2＝AD·AB.,圖1),圖2),圖3)3.如圖，正五邊形ABCDE的對角線AD與BE相交于點(diǎn)G，AE＝2，求EG的長.解：在⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE中，∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，∴∠BAG＝∠AGB＝72°，∴AB＝BG＝AE＝2.∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，∴△AEG∽△BEA.∴AE2＝EG·EB，即22＝EG·（EG＋2）.解得EG＝－1＋eq\r(5)或－1－eq\r(5)（不合題意，舍去）.∴EG＝eq\r(5)－1.模型3雙垂直型直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.4.（2018·南通）正方形ABCD的邊長AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，AF分別與DE，BD相交于點(diǎn)M，N，則MN的長為（C）A.eq\f(5\r(5),6)B.eq\f(2\r(5),3)－1C.eq\f(4\r(5),15)D.eq\f(\r(3),3)5.（2018·婁底改編）如圖，已知半圓O與四邊形ABCD的邊AD，AB，BC都相切，切點(diǎn)分別為D，E，C，半徑OC＝1，求AE·BE的值.解：連接OE.∵半圓O與四邊形ABCD的邊AD，AB，BC都相切，切點(diǎn)分別為D，E，C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE.∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∴∠OAB＋∠OBA＝90°.∴∠AOB＝90°.∵∠OAE＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠BOE＝90°，∴∠EAO＝∠EOB.∵∠AEO＝∠OEB＝90°，∴△AEO∽△OEB.∴eq\f(AE,OE)＝eq\f(OE,BE)，即AE·BE＝OE2＝OC2＝1.模型4一線三等角型（1）如圖1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分別為B，C，P，且三個垂足在同一直線上，則有△ABP∽△PCD；（此圖又叫作“三垂圖”）圖1圖2（2）如圖2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直線上，則①△ABP∽△PCD；②連接AD，當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時，△ABP∽△PCD∽△APD.6.如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP>AM），點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上點(diǎn)F處.（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對相似三角形？（不需說明理由）（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝eq\f(3,5)，求AB的長.解：（1）有三對相似三角形：△AMP∽△BPQ∽△CQD.（2）設(shè)AP＝x，由折疊的性質(zhì)，得BP＝AP＝EP＝x.∴AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ，得eq\f(AM,BP)＝eq\f(AP,BQ)，∴BQ＝x2.由△AMP∽△CQD，得eq\f(AP,CD)＝eq\f(AM,CQ)，∴CQ＝2.AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1.在Rt△FDM中，sin∠DMF＝eq\f(3,5)，DF＝DC＝2x，∴eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(3,5).解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)（不合題意，舍去）.∴AB＝2x＝6.7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P，D分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B.（1）求證：AC·CD＝CP·BP；（2）若AB＝10，BC＝12，當(dāng)PD∥AB時，求BP的長.解：（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠CPD，∴∠BAP＝∠CPD.∴△ABP∽△PCD.∴eq\f(BP,CD)＝eq\f(AB,PC).∴AB·CD＝PC·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.（2）∵PD∥AB，∴∠AP