海南省嘉積中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2嘉積中學(xué)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期高三年級第一次月考數(shù)學(xué)科試題（時間：120分鐘滿分：150分）歡迎你參加這次測試，祝你取得好成績！一、單選題1．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，，都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（

）A．B．C．D．2．已知函數(shù)，，若的圖象如圖所示，則可能是（

）A． B．C． D．3．圓：與圓：的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切4．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．B．C． D．5．記，則（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上一點(diǎn)，直線AF交拋物線C的準(zhǔn)線l于點(diǎn)B，且，則（

）A． B．4 C． D．67．噴泉是流動的藝術(shù)，美妙絕倫的噴泉給人以無限的享受，若不考慮空氣阻力，當(dāng)噴泉水柱以與水平方向夾角為的速度v噴向空氣中時，水柱在水平方向上移動的距離為，能夠達(dá)到的最高高度為（如圖所示，其中g(shù)為重力加速度）若，則H與D的比值為（

）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有表有廣，而上有表無廣．芻，草也，甍，屋蓋也”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形為正方形，為兩個全等的等腰梯形，，則此芻甍的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知i為虛數(shù)單位，C為復(fù)數(shù)集，下列命題中正確的是（

）A．若x，，則的充要條件是B．是純虛數(shù)C．若，，，則D．當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)10．已知點(diǎn)P是的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）且，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．11．已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為6的正三角形，點(diǎn)M在棱PD上，且，點(diǎn)Q在底面及其邊界上運(yùn)動，且面，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)Q的軌跡為線段B．與CD所成角的范圍為C．的最小值為D．二面角的正切值為12．信息技術(shù)編程中會用到“括號序列”，一個括號序列是由若干個左括號和若干個右括號組成．合法括號序列可以按如下方式定義：①序列中第一個位置為左括號；②序列中左括號與右括號個數(shù)相同；③從序列第一個位置開始任意截取一個連續(xù)片段，該片段中左括號的個數(shù)不少于右括號的個數(shù)．例如（）（（））和（）（）都是合法括號序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括號序列．一個合法括號序列中包含的左括號和右括號的個數(shù)之和稱為該序列的長度．若A和B都是括號序列，則AB表示將B拼接在A后得到的括號序列．根據(jù)以上信息，下列說法中正確的是（

）A．如果A，B是合法括號序列，則也是合法括號序列B．如果是合法括號序列，則A，B一定都是合法括號序列C．如果是合法括號序列，則A也是合法括號序列D．長度為8的合法括號序列共有14種三、填空題13．雙曲線的漸近線方程為，則________．14．2021年10月26日國務(wù)院印發(fā)《2030年前碳達(dá)峰行動方案》，要求我國二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值．低碳生活已經(jīng)深入民心，新能源汽車備受歡迎，下表是某地區(qū)近5個月新能源汽車的銷售量統(tǒng)計表：月份代號x12345銷售量y（萬輛）0.40.60.91.21.4若根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得的x與y的線性回歸方程為，則________．15．若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．16．設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前100項之和為_______．四、解答題17．已知等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18．在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，，若，（1）求角C的大?。唬?）若，求的值．19．2022年6月5日神州十四號發(fā)射升空，神舟十四號任務(wù)期間，將全面完成以天和核心艙、問天實(shí)驗艙和夢天實(shí)驗艙為基本構(gòu)型的太空空間站建造等多項科研任務(wù)，并將繼續(xù)開展天宮課堂．某校“航空航天”社團(tuán)針對學(xué)生是否有興趣收看天宮課堂進(jìn)行了一項調(diào)查，獲得了如下數(shù)據(jù)：感興趣不感興趣合計男生人數(shù)29332女生人數(shù)21728合計501060（1）是否有95%的把握認(rèn)為“是否有興趣收看天宮課堂與性別有關(guān)”？（2）從不感興趣的10人中隨機(jī)抽取兩人做進(jìn)一步宣傳，設(shè)抽到的女生人數(shù)為X，求X的概率分布．參考公式：獨(dú)立性檢驗統(tǒng)計量，其中．臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．在三棱柱中，，平面平面，E，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，且，求三棱錐的體積．21．已知，，平面內(nèi)一動點(diǎn)滿足．（1）求點(diǎn)運(yùn)動軌跡的軌跡方程；（2）已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時，恒成立，試探究直線的斜率是否為定值？若為定值請求出該定值，若不是定值請說明理由．22．已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（1）若，求的值；（2）證明：隨著的增大而增大.

參考答案：1．B【分析】題圖中陰影部分表示集合，即可求【詳解】題圖中陰影部分表示集合.故選：B2．C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再計算，由圖象知函數(shù)為過原點(diǎn)的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)定義判斷選項即可.【詳解】，是偶函數(shù)，且.，，是奇函數(shù)且，由圖象知函數(shù)是奇函數(shù)且，對于A，，，，函數(shù)不是奇函數(shù)，故錯誤；對于B，，無意義，函數(shù)不過原點(diǎn)，故錯誤；對于C，，，，函數(shù)是奇函數(shù)，故正確；對于D：，無意義，圖象不過原點(diǎn)，故錯誤.故選：C3．A【分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項.【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A4．A【分析】根據(jù)的單調(diào)性可得，再由的符號，判斷a，b，c的大小.【詳解】由，而為增函數(shù)，所以，而，故.故選：A5．B【分析】利用賦值法求二次項系數(shù)和，令求出，再令即可求解.【詳解】由題意可知，令，得，令，得，所以.故選：B.6．D【分析】根據(jù)拋物線的定義及三角形平行線分線線段成比例定理即可求解.【詳解】由題意可知，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn),如圖所示由，得，即.在中，，由，得，即，所以,即,所以,由拋物線的定義知，.故選：D.7．B【分析】先表示出，再用二倍角公式進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】因為，，所以.故選：B8．C【分析】設(shè)，取中點(diǎn)為N，設(shè)，求出即得解.【詳解】解：設(shè)，取中點(diǎn)為N，由題意知，球心O在直線上，由可得，設(shè)，則，解得，故，所以外接球的表面積.故選：C9．BD【分析】A、C應(yīng)用特殊值法判斷；B、D根據(jù)純虛數(shù)定義判斷即可.【詳解】A：若，，則，錯誤；B：由，則，故是純虛數(shù)，正確；C：若，，則，錯誤；D：由，則，，故為純虛數(shù)，正確.故選：BD10．AC【分析】可以證明.所以選項A正確，選項B錯誤；利用基本不等式證明選項C正確；利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)證明選項D錯誤.【詳解】解：因為，所以,又三點(diǎn)共線，所以.所以選項A正確，選項B錯誤；，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以選項C正確；因為，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）所以，所以選項D錯誤.故選：AC11．ACD【分析】作出與面平行且過的平面，即可得出點(diǎn)Q的軌跡判斷A，當(dāng)點(diǎn)在處時，異面直線所成角小于可判斷B，當(dāng)時求出可判斷C，作出二面角的平面角求正切值判斷D即可.【詳解】對于A，取點(diǎn),，使得，，連接,，如圖，由線段成比例可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，，所以平面平面，故當(dāng)點(diǎn)時，總有面，所以點(diǎn)Q的軌跡為線段，故A正確；對于B，由知與CD所成角即為與NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即運(yùn)動到點(diǎn)時，異面直線所成的角小于，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，最小，此時，故C正確；對于D，二面角即平面與底面所成的銳角，連接相交于，連接，取點(diǎn)H，使得，連接MH，過H作于G，連接，如圖，由正四棱錐可知，面，由，知，，由可得，，面，，又，，平面，，即為二面角的平面角，，故D正確.故選：ACD12．AD【分析】根據(jù)合法括號序列的定義可判斷A；舉反例可說明B,C的正誤；分類討論，考慮在前面四個位置上左括號的個數(shù)，算出符合條件的合法括號序列共有14種，判斷D.【詳解】出題意知如果A，B是合法括號序列，則也是合法括號序列,A正確;對于B,AB為（（））（）為合法括號序列，但取A為（（，B為））（）顯然都不是合法括號序列，故B錯誤；對于C,如果是合法括號序列，比如（）（）為合法括號序列，但A為）（，不是合法括號序列，故C錯誤；對于D選項，由題意知第一個位置為左括號，最后一個位置為右括號，分類考慮：（1）當(dāng)前4個位置都為左括號時，則后4個位置都為右括號，故滿足條件序列有1個；（2）當(dāng)前4個位置有3個左括號時，則第2，3，4個位置任取兩個位置是左括號，第5，6，7個位置任取一個位置是右括號，故滿足條件序列共有個；（3）當(dāng)前4個位置有2個左括號時，則第2或第3個位置為左括號，第5個位置一定為左括號，第6，7個位置有一個為左括號，滿足條件序列共有個，綜上，共有個，D正確，故選：AD．13．##0.25【分析】根據(jù)方程表示雙曲線可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，由可求出結(jié)果.【詳解】由表示雙曲線，可知，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，所以，，所以，所以.故答案為：.14．##0.26【分析】根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)中心可求出結(jié)果.【詳解】,,由，得，得.故答案為：.15．16．4950【分析】先研究函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，最后求和即可.【詳解】的定義域為，且，所以為R上的奇函數(shù).又因為在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，根據(jù)為R上的奇函數(shù)，從而可知為R上的增函數(shù)，所以為R上單調(diào)遞增奇函數(shù)，所以，得，即，故．故答案為：17．（1）；（2）則．設(shè)——①則——②①②，得，所以．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列求和、分組求和法、裂項相消法求和、錯位相減法求和，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.18．（1）（2）【分析】（1）利用推出a，b，c的關(guān)系，利用余弦定理求出C的大小即可.（2）由正弦定理可得，得出，將化簡得，進(jìn)而求出答案.【詳解】解：（1），則，.由余弦定理得，故有.（2），，即.【點(diǎn)睛】本題考查了平行向量與共線向量，余弦定理、正弦定理的運(yùn)用.19．(1)沒有95%的把握認(rèn)為“是否有興趣收看天宮課堂與性別有關(guān)”(2)答案見解析【分析】（Ⅰ）求出，從而沒有的把握認(rèn)為“是否有興趣收看天宮課堂與性別有關(guān)”；（Ⅱ）從不感興趣的女生人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．(1)解：提出假設(shè)：是否有興趣收看天宮課堂與性別無關(guān)

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得

因為．而，所以沒有95%的把握認(rèn)為“是否有興趣收看天宮課堂與性別有關(guān)”.(2)解：依題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，

隨機(jī)變量X的概率分布表如下：X012P20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證線線垂直，再證明線面垂直，從而可得線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中的條件得，再將問題轉(zhuǎn)化為求即可.（1）∵，E為AC的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，平面平面，∴平面，且平面，∴，∵，∴，又，∴平面，又平面，∴．（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x，z軸正方向，所外建立空問直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量，則，即是，解得，由題意：，即，解得或，∵，∴，由有，可知,∴.21．(1)(2)是定值；【分析】對于小問1，設(shè)點(diǎn)，代入，整理化簡得點(diǎn)軌跡方程；對于小問2，設(shè)出直線：，聯(lián)立曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，代入，整理得到和的關(guān)系，進(jìn)而判斷直線是否過定點(diǎn)．（1）設(shè)，則，所以點(diǎn)軌跡方程為：．（2）顯然直線不垂直于軸，故設(shè)：，，代入并整理得：，∴，整理得：，若，此時過，不合題意；若，即符合題意，故直線的斜率為．22．(1)(2)證明見解析【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，由點(diǎn)在切線上列方程求的值；(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，是方程的兩根，設(shè)由此可得，證明隨著的增大而增大，隨著的增大而增大，由此證明隨著的增大而增大.(