2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：解三角形

解三角形

一、選擇題

1.在△ABC中，A=60。，AB=1，AC=2，則△ABC的面積=（）

A.-B3C.gD.2G

22

2.桂林日月塔又稱金塔銀塔、情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有

金銀塔之稱.如圖1,這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量該塔的高度，

在塔底。的同一水平面上的A,3兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在A處測(cè)得塔頂P的

仰角為60。，在5處測(cè)得塔頂尸的仰角為45。，AB=25米，NAOfi=30。，則該塔的高

度OP=（）

圖1

A.25五米B.25百米C.50米D.25?米

3.已知△ABC中,AB=2，CA=QC3,則△ABC面積的最大值為（）

A.2B.4C.V3D.2g

4.在四棱錐P—ABCD中,棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱PD垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,M為

棱PD的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面a分別與側(cè)棱出、PC相交于點(diǎn)E、￡當(dāng)尸時(shí),

截面ME3R的面積為（）

A.2B.3C.373D.20

5.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且等，則

△ABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

6.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=6,A=~,則△ABC外接

3

圓的面積為（）

A.4兀B.12TIC.16兀D.48TI

7.一電線桿°位于某人的正東方向上，某人在點(diǎn)A測(cè)得電線桿頂端C的仰角為

45。，此人往電線桿方向走了10米到達(dá)點(diǎn)3,測(cè)得電線桿頂端C的仰角為60。，則電

線桿。的高度約為（）米（百。1.732，忽路人的身高）

A.23.66B.24.66C.25.66D.26.66

8.在△ABC中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,已知a=32=l，cosC=-L則邊c上的

3

高為（）

逅逅

A.B.c.BD.同

2323

二、多項(xiàng)選擇題

9.在△ABC中，已知。=6/=3e，8=30。，則角4的值可能為（）

A.45。B.60°C.135°D.150°

10.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。=屈，b=3,A=-,

3

則（）

A.c=4B.ZV1BC的周長(zhǎng)為7+9

C.sinC=2\叵D.ZV1BC外接圓的面積為西

133

11.已知△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法中正確的有（）

A.若竺=^^,則△回（7一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

B.若QCOSA=Z?cos5,則ZxABC一定是等腰三角形

C.若bcosC+ccos^"/?,則△ABC一定是等腰三角形

D.若則AA5c一定是鈍角三角形

三、填空題

12.已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,。.若乃85。=。+2。855，

b=42c?則cosC=--------

13.在△AB。中，若a=2，Z?+c=7,cosB=—L,則Z?=

4

14.“若點(diǎn)尸為橢圓上的一點(diǎn)，片，工為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)P處的切線平分

22

的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一.已知橢圓0：a+(=1，點(diǎn)尸是橢圓上的點(diǎn)，

在點(diǎn)P處的切線為直線/,過(guò)左焦點(diǎn)寫作/的垂線，垂足為M設(shè)點(diǎn)般的軌跡為曲線E若Q

是曲線E上一點(diǎn)，已知點(diǎn)A(4,0),3(5,4)，則^\AQ\+\BQ\的最小值為

四、解答題

15.已知△ABC中,角A3,C所對(duì)的邊分別為風(fēng)瓦。，其中GasinBcosA=6sin2A.

⑴求A的值；

(2)若△ABC的面積為6，周長(zhǎng)為6,求△ABC的外接圓面積.

16.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足c=acosB+O/?.

5

(1)求cosA的值；

(2)當(dāng)BC與BC邊上的中線長(zhǎng)均為2時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng)；

(3)當(dāng)△ABC內(nèi)切圓半徑為1時(shí)，求△ABC面積的最小值.

17.在△ABC中,cos2A=—L，。=7，0=8且/。為銳角?求：

2

⑴求NA的大小；

(2)求△ABC的面積.

18.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量學(xué)校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學(xué)校操場(chǎng)選

擇了同一條直線上的A,3,C三點(diǎn)，其中AC=40m,點(diǎn)3為AC中點(diǎn),興趣小組組長(zhǎng)小王在

A,B,C三點(diǎn)上方5m處的A[,B]，G觀察已建建筑物最高點(diǎn)E的仰角分別為a,，，7,

其中tana=1，tan/?=2,tanr=3,點(diǎn)D為點(diǎn)E在地面上的正投影，點(diǎn)D1為DE上與

A，B],a位于同一高度的點(diǎn).

E

(1)求建造中的建筑物已經(jīng)到達(dá)的高度。石；

(2)求sin圈的值.

sin

19.在△ABC中，內(nèi)角48,。的對(duì)邊分別為〃，瓦G已知(cosA-2cosc)Z?=(2C-Q)COS5.

⑴求包￡的值；

sinA

(2)若cosB=j2=2,求AABC的面積.

4

參考答案

1.答案：B

解析：S.=-AB-AC-sinA=—?

△A/IBDCC22

本題選擇B選項(xiàng).

2.答案：B

解析：由題意可知，NQ4P=60。，NO6P=45。，

設(shè)=米，則

OP

在RtAAQP中，OA=

tanZOAP

OP

在中，OB=米

tanZOBP2

由余弦定理可得Ag2=042+05?一20A-OBcosZAQB，即

腔與=%，解得八國(guó)歷

因?yàn)锳B=25米，所以〃=256米.

故選：B.

3.答案：C

解析：設(shè)CB=x，則CA=GX，

由余弦定理得:COSB=財(cái)+802—82=4+1—3/=2-x^,

2AB-BC2x2%2x

所以sinB=["^f=巨透三2，

'I2xJ2x

所以sJ_43.5CSinA=L2x.—+"—4=j_『4十/一4，

MC222x2

所以當(dāng)f=_A=4時(shí)，即％=2吐△ABC的面積最大,最大為73，

故選:C

4.答案：D

解析：由題意,PD,平面ABC。，四邊形ABC。為正方形,

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則C（0,2,0）,P（0,0,2）,A（2,0,0）,M（0,0,1）,B（2,2,0）,=（2,0,-2）,=（-2,-2,1）,

設(shè)屋=f麗=（2f,0,-2f），0WMl,則E（2f,0,2—2f）,

又73后=五產(chǎn)，%=「。，所以而=/無(wú)=（0,2/,-2。,則歹（0,21,2—2。，

由題意,四點(diǎn)共面,所以麗=x而+y而，

-2=（2/-2）x-2y

所以<_2=_2x+（2%—2）y，解得％=y=』/=2,

1=（2-2。％+（2-2。y4,

所以唱。，?（。，*|），所以礪=—，-2，￡|，昉=[2,一,）,

28

所以cos甌麗叁_77

cosZEBF二一,

?44I”441111

4H----1—4H----1—

9999

所以sinZEBF=Vl-cos2ZEBF=

11

所以SEBF^-BExBFxsinZEBF—=

“EBF229113

又該*'°'T標(biāo)=lMT'

MEMF1

所以cos礪，而=

吆+。+l」。+“17

9999

即cosZEMF=—

17

所以sinZEMF=《—cos?NEMF=空叵

17

所以皿“xsin/EM/f*萼=半

所以截面MEBF的面積為s=S.EBF+S?F=逑+迪=20?

1

△乜titZXtLlVLr33

故選:D

5.答案：A

cosA+l1b

解析：由已知可得以以4=出,----------=—I,

22c2---22c

即cosA=—Z?=ccosA-

法一：由余弦定理得cosA=_+,則b=c.>+02一片

2bc2bc

所以c2=a2+b2,由此知△ABC為直角三角形.

法二：由正弦定理得：sinB=sinCeosA-

在△ABC中，sinB=sin(A+C),

從而有sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，

即sinAcosC=0?在△ABC中，sinAH0，所以cosC=0-

由此得C=巴，故△ABC為直角三角形.

2

故選：A.

6.答案：B

解析：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,則2R=—匕=二=46，解得R=26,

sinAV3

~2

所以△ABC外接圓的面積為1271.

故選：B.

7.答案：A

解析：根據(jù)題意設(shè)CD=x，則在RtZXACD中，A=45°?

所以AD=CD=X，

在RtABC。中，NCBD=60°，

所以BD=O-力CD力x，

tan60033

因?yàn)锳B=10，所以彳_走》=10，

3

所以X=5（3+G）《23.66米，即電線桿CD的高度約為23.66米.

故選：A-

8.答案：B

解析：由余弦定理可知c?=〃+/—2a6cosC=32+12—2x3xlx[—；1=12,即0=26，

又cosC=-g,Ce（0,7i）,

則5心坦

3

所以△ABC的面積5ABC--absmC=—x3xlx=^2>

A△ABC223

又△ABC面積S^BC=^c?肌即四=4x2?,

Z-X/id

解得h=理,

3

故選:B.

9.答案：AC

解析：由正弦定理得q=上,得.4asinB6x|五,

sinA

sinAsinB=—=^=T

因?yàn)?°<A<180°，且a>b，所以A=45°或A=135°?

故選：AC.

10.答案：ABD

解析：由片=/+02—2bccosA=9+c2—2x3ccos—=13,得c?—3c—4=0,解得c=4或

3

c=-l（舍去），所以△ABC的周長(zhǎng)為7+Jli,A正確，B正確.

因?yàn)椤?上，所以巫=」，解得sinC=其支，C錯(cuò)誤.

sinAsinCsin工sinC13

3

設(shè)△ABC外接圓的半徑為凡因?yàn)榻?2R,所以R=羋，ZVIBC外接圓的面積

sin71石

3

為?；?=變，D正確.

3

11.答案：ACD

及刀］匚“-TA廿。bcsinAsin5sinC

解析：對(duì)于A,右----=-----=-----,則1TH-----=-----=-----,即nn

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

tanA=tanB=tanC,即A=5=C,即ABC是等邊三角形，故正確；

對(duì)于B,若acosA=Z?cos5,則由正弦定理得2代111748571=2751115805,即

sin2A=sin25,貝!J2A=25或2A+25=180。，即A=5或A+5=90。，則A5C為等腰

三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若Z?cosC+ccos_B二6，所以sin5cosc+sinCeos5=sin5,所以

sin(B+C)=sinA=sinB,即A=5,則A5C是等腰三角形，故正確；

對(duì)于D,ABC中,?.?a2+b2<c2,又/=/+加-2aZ?cosC,所以cosC<0,.,.角。為

鈍角，但A3C一定是鈍角三角形，故正確；故選：ACD.

12.答案：-/0.75

4

解析：由正弦定理可得2sin5cosc=sinA+2sinCcos5，

故2sinJBCOSC=sin(5+C)+2sinCCOSB,

故2sinJBCOSC=sinBcosC+cosBsinC+2sinCeosB，

整理得到sinBcosC=3cosBsinC,

而b二瓶c，故sinBuV5sinO所以&cosC=3cos5，

故2sin?C+—cos2C=1,解得cosC=-或cosC=——，

944

若cosC=-2,則COSJBVO,故民C同為鈍角,這與0vJB+CVTI矛盾,

4

a

故cosC=—?

4

故答案為：2.

4

13.答案：4

解析：在△ABC中,利用余弦定理=

lac

—j_=4+(c+Z0(c—b)=4+7(c—加,化簡(jiǎn)得：&1_7〃+4=0,與題目條件1+c=7聯(lián)立，可解

44c4c

得a=2,Z?=4,c=3?

14.答案：5

22

解析：由橢圓C方程土+2L=1，知a=2后.

84

X

6。y

如圖,延長(zhǎng)耳M、gP交于點(diǎn)N,由題意可知=NNPM,

又因?yàn)镻M,￡N,則〃為耳N的中點(diǎn)，且|P周=|尸N],

所以，優(yōu)N|=|PN|+歸閶=|P￡|+|P閶=2a=4應(yīng)，

又因?yàn)?。為耳耳的中點(diǎn)，則|oM=gWN|=；x40=20.

故點(diǎn)M的軌跡E為以。為原點(diǎn),2夜為半徑的圓，圓的方程為好+丁=8.

設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)T(gO)，使得圓上任意一點(diǎn)?！对?滿足出外=*依山，

由A(4,0)，則"叫$=今&_牙+丁,

化簡(jiǎn)得了2+/-4(m-2)x+2(m2-8)=0,

又,:x2+y2=S，代入得4(加一2)%—2根2+8=0,

要使等式恒成立，則[機(jī)-2：°，即機(jī)=2.

8-2療=0

二存在定點(diǎn)T(2,0),使圓上任意一點(diǎn)。滿足出升=3出司，

則4+忸@=卻2忸邪當(dāng)Q,B,T三點(diǎn)共線（民T位于。兩側(cè)）時(shí)，等號(hào)成立.

由T（5,4），則\BT\=J（5-2）2+（4_0『=5，

所以4恒@+忸@之5,當(dāng)。，昆T三點(diǎn)共線（氏T位于。兩側(cè)）時(shí)等號(hào)成立.

如圖，連接3T，線段3T與圓。的交點(diǎn)即為取最值時(shí)的點(diǎn)。，此時(shí)取到最小值5.

故答案為：5.

15.答案:⑴A=f；

⑵加

3

解析：（1）由正弦定理得y/3sinAsinBcosA=sinBsin2A，

因?yàn)閟inA,sinBw0，故6cosA=sinA，則tanA=百，

因?yàn)槿恕辏?,兀），故A=

（2）由題意8AAM=‘AcsinA==石,故歷=4.

4ziDc24

2

由余弦定理得“2=/+02_2/?CCOSA=（b+c）2—3bc=（6—a）—12，

解得〃=2.

故△ABC的外接圓半徑R=之，

―2sinA，3

故所求外接圓面積S=7lT?2=—.

3

16.答案：（1）cosA=—;

5

⑵2+2尋

(3)3+75

解析：（1）因?yàn)閏=QCOSB+—匕，

5

3

由正弦定理得sinC=sinA-cosB+—sinB,

5

3

又由sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，得cosAsinB=—sinB?

5

、3

因?yàn)閟inBw0，所以cosA=—;

29

(2)由余弦定理得"—+C—2Z?CCOSA

BP4=Z?2+c2——be>①

5

設(shè)5c的中點(diǎn)為。，貝S而=通+初，

則4而2=(AB+AC)2=AB2+AC2+2ABAC，

則16=〃+，，②

5

由①+②得〃+/=10，

b2+c2=10

聯(lián)乂<226，解得b+c=2布，

4=b2+c2--bc

I5

所以〃+b+c=2+2有，即△ABC的周長(zhǎng)為2+2石;

(3)由(1)得sinA=—,

5

由/XABC內(nèi)切圓半徑為1，得g(a+b+c)xl=；bcsinA,即a+b+c=[bc，

2

由余弦定理得"=62+。2所以《Z?c—e+c)=/+(:2-

得b+c=gbc+2，因?yàn)?+cN,所以gbc+2?2A/^，

解得/7c>I",百或°<,c<15-5君,

22

又因?yàn)椤鰽BC的面積大于其內(nèi)切圓面積，即|■^〉兀，

得兒〉生〉15-56,所以歷［5+5

222

當(dāng)且僅當(dāng)6=C=時(shí)，△ABC的面積取到最小值3+若?

17.答案：⑴N

3

（2）106

解析：⑴因?yàn)閍<c,所以NAe1，。所以Z2Ae（0㈤，由cos2A=—；<0得

所以N2A=0,NA/，

33

7_8廠

（2）由正弦定理q=工，得「？=寂，所以sinC=仝@,

sinAsinCsin—7

因?yàn)镹C為銳角，所以cosC=Jl—sin2c=

7

所以Z\ABC存在且唯一確定.

因?yàn)?+5+。=兀，

所以sinB=sin（A+C）=sin]C+—=—sinC+cosC=-xx—=

''\3）22272714

從而S人ABC=Lacsin3=Lx7x8x處=106?

△ABC2214

18.答案：（1）5+12°日

11

⑵-

3

解析：（1）如圖，設(shè)EQ=丸,因?yàn)樵贏1,B「G處觀察已建建筑物最高點(diǎn)E的仰角分別為

a,0,y，且tana=1,tan/7=2,tan/=3,

所以AA=〃,與2=g,CQ=g,又AG=40，耳是A?的中點(diǎn),

400+--—h2

在△4與2中，由余弦定理得到cos/ABQ=-----^—―

2x20x0

2

h~h"

400H------

在△C[5]2中，由余弦定理得到cosNC/Qi=