2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：二項(xiàng)式定理（學(xué)生版）

第87講二項(xiàng)式定理

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題

(1)二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)”，都有：

nrr

(a+6)'=￡"+￡1％++Cna-b++C；b"(neN*),

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+6)"的二項(xiàng)展開式.

式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第廠+1項(xiàng)：

其中的系數(shù)C：(r=0,1,2,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

(2)二項(xiàng)式(。+力”的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有〃+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

②二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C：,最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的幕指數(shù)字母。降幕排列，次數(shù)由“到0；字母

b升用排列,次

數(shù)從0到"，每一項(xiàng)中，a,6次數(shù)和均為"；

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是C；,C：，C3…，G；，…，a，項(xiàng)的系數(shù)是。與6的系數(shù)

(包括二項(xiàng)式系

數(shù)).

(3)兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：

①(。-3"=C：a"-C：a"”++(-l)JC；a"-7/++(-1)"-C；；Z>"(nGN*)

@(l+.r)"=1+C,>+C>2++C,X++xn

(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tz=C；a"-b，(r=0,1,2,3,

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是

②字母6的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③。與人的次數(shù)之和為

注意：①二項(xiàng)式(a+b)"的二項(xiàng)展開式的第r+l項(xiàng)和3+0”的二項(xiàng)展開式的第

什1項(xiàng)優(yōu)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的。和6是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對(duì)在(。+6)"這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a-6)"的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是

=(-l)'C/i〃(只需把-6看成6代入二項(xiàng)式定理).

2、二項(xiàng)式展開式中的最值問題

(1)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即c：=c:;其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即

1n

_c“-1_|_c

②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：=C廠.

③二項(xiàng)式系數(shù)和令0=6=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為

C；+C：+Q++￡；++C：=2",變形式C；+C；++C；++C：=2"-1.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令

a=lfb=—lf

則C：-C：+C：-C：++(-l)nq=(l-l)"=0,

從而得到：C；+C；+C：…+C丁+…=C：+C；++。；川+…=，2"=2"T.

⑤最大值：

如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)”是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)7；的二項(xiàng)式系數(shù)存最大；

-4-1

2

n—1〃+1

如果二項(xiàng)式的嘉指數(shù)”是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)Tn+l的二項(xiàng)式系數(shù)G/,c3相等

————+1

22

且最大.

(2)系數(shù)的最大項(xiàng)

求(a+云)"展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為

A

A，4，…，4向，設(shè)第r+l項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有,從而解出廠來.

A

知識(shí)點(diǎn)3、二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

rr

(1)設(shè)(。+/?)"=d優(yōu)+&/-%++c^a"-b++C：b",

二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)。，。的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需

要靈活選取。，6的值.

①令U可得：2"=C>C*++C;

②令。=1,6=1,可得：0=C；Y+C：-C：+(-l)"C，即：

c：+c：++c;=c；+c：++Cf(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得：

C：+C；++C；=C：+C；++C；T=2—

(2)若/(x)=a/'+%_/"_+6_2%"-2++qx+a()，貝I

①常數(shù)項(xiàng)：令x=0,得％=/(0).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令x=l,得/'(1)=4+/+/++a?-i+a?-

③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

(/)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+的+%+/⑴7T)；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為0+/+%+J⑴7f.

(可簡記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

(ii)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+%+%+J⑴7T)；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為q+生+膽+=>⑴7T).

(可簡記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

若/(尤)=g+a3+出/+++?！盁o陵，同理可得.

注意：常見的賦值為令x=0,x=l或x=-l,然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)

果.

必考題型全歸納

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

例1.（2024?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（彳-、的展開式中的常數(shù)項(xiàng)與（尤一：+展開

式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則。的值為（）

A.-3B.-2C.2D.3

例2.（2024?四川成都?成都實(shí)外?？寄M預(yù)測(cè)）已知的展開式中存在常數(shù)

項(xiàng)，則〃的可能取值為（）

A.4B.5C.6D.8

‘以-jj展開式中的常數(shù)項(xiàng)為一160,則〃=（）

例3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）

A.-1B.1C.i1D.2

變式1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160,則實(shí)數(shù)

。二（）

A.2B.-2C.8D.-8

變式2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知［6一的展開式中第3項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則〃=

（）

A.6B.5C.4D.3

【解題方法總結(jié)】

在形如（依加+6招嚴(yán)的展開式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項(xiàng)求廠，貝Ur=迺二.

m—n

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

例4.（2024?重慶南岸?高三重慶第二外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知。＞0,二項(xiàng)式

6

1+的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.36B.30C.15D.10

例5.（2024?山西朔州?高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式，右-十］的展

開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

例6.（2024?北京房山?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（--46的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

X

A.240B.-240C.15D.-15

變式3.（2024?貴州貴陽?高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試）+的展開式中的

常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-20B.20C.-10D.10

若口+藍(lán)

變式4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）〃eN*）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則

5）

?=()

A.2M左eN*)B.3M左eN*)C.5碎eN*)D,7M丘N*)

變式5.（2024?全國?高三對(duì)口高考）若（岳+（weN*）展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，貝U〃

的最小值是（）

A.2B.3C.12D.10

【解題方法總結(jié)】

寫出通項(xiàng)，令指數(shù)為零，確定r,代入.

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

例7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在-而『的展開式中，有理項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-10B.-5C.5D.10

例8.（2024?全國?高考真題）二項(xiàng)式（&+可）5。的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有

（）

A.6項(xiàng)B.7項(xiàng)C.8項(xiàng)D.9項(xiàng)

例9.（2024?江西南昌?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）卜-乎］的展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)和

為（）

A.85B.29C.-27D.-84

變式6.（2024?四川瀘州?高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式［也+｛］

展開式中，有理項(xiàng)共有（）項(xiàng).

A.3B.4C.5D.7

變式7.（2024?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）在二項(xiàng)式124+的展開式中，有理項(xiàng)共

有（）

A.3項(xiàng)B.4項(xiàng)C.5項(xiàng)D.6項(xiàng)

變式8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若（3?匠-2人）"的展開式中有且僅有三個(gè)有理

項(xiàng)，則正整數(shù)”的取值為（）

A.4B.6或8C.7或8D.8

【解題方法總結(jié)】

先寫出通項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項(xiàng).

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

例10.（2024?四川成都?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知（尤-2城’的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的V丁項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.—4B.84C.—280D.560

例11.（2024?海南?？?海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（2-x）6展開式中x2的系

數(shù)為（）

A.270B.240C.210D.180

例12.（2024?廣東揭陽?高三?？茧A段練習(xí)）（x-l）2（l+x『的展開式中/的系數(shù)是

（）

A.20B.-20C.10D.-10

變式9.（2024?河北邢臺(tái)?高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知無2

展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式中/的系數(shù)為（）

A.-240B.240C.-160D.160

變式10.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式［五—彳］的展開式中，含x的項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)為（）

A.28B.56C.70D.112

變式11.（2024?北京?高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式上—彳）的展開式中，含Y項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)為（）

A.5B.-5C.10D.-10

【解題方法總結(jié)】

寫出通項(xiàng)，確定廠，代入.

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

例13.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在11+x-巖）的展開式中，/的系數(shù)為.

例14.（2024?山東?高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）（x-2y+l）5展開式中含孫3項(xiàng)

的系數(shù)為.

例15.（2024?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（x+2y-3z）6的展開式中孫?z3的系

數(shù)為（用數(shù)字作答）.

變式12.（2024?福建三明?高三統(tǒng)考期末）：+2）展開式中常數(shù)項(xiàng)是.（答案

用數(shù)字作答）

變式13.（2024?江蘇?金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）+展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

變式14.（2024?湖南岳陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（Y+x+yP的展開式中，丁產(chǎn)的系數(shù)

為.

變式15.（2024?廣東汕頭?統(tǒng)考三模）+展開式中爐的系數(shù)是.

【解題方法總結(jié)】

三項(xiàng)式（。+萬+c）"（〃￡N）的展開式:

{a+b+c）n=［（a+b）+cr=+C；（a+》）”「'，+

=+c：（+。3，眠+y+

=+c：cn附c，+

若令n—r—q=p,便得到三項(xiàng)式（a+b+c）〃（〃￡N）展開式通項(xiàng)公式：

pqr

C^C^_rabc（p,q,r^N,p+q+r=n）,

其中C；c：.=---------------（〃-r）!叫三項(xiàng)式系數(shù).

r!（n—r）lql（n—r—q）\p\q\r\

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

例16.（2024?廣西百色?高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1-2x）（1+3尤y的展開式

中x3的系數(shù)為.

例17.（2024?河北保定?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）的展開式中含x項(xiàng)的

系數(shù)是.

例18.（2024?江西南昌?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（1-x+/）（i+x）6展開式中/的系數(shù)

是.

變式16.（2024?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）、+：+”（x+l）6的展開式常數(shù)項(xiàng)

是.（用數(shù)字作答）

變式17.（2024?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知多項(xiàng)式

（x+2）3（無一I），=q（x+1），+a2（X+1）6++%（x+l）+6/g,則%—.

變式18.（2024?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（x+y）（元-2y）6的展開式中含xV

項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

變式19.（2024?河北唐山?高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)（1-的）展開式

中的常數(shù)項(xiàng)為80,則實(shí)數(shù)用的值為.

變式20.（2024?安徽亳州?安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（》+1）6卜2+2》+1）展

開式中/的系數(shù)為.

【解題方法總結(jié)】

分配系數(shù)法

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

例19.（2024?山東青島?統(tǒng)考三模）若（1+五）展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

例20.（2024?全國?高三專題練習(xí)）二項(xiàng)式+的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)最大，則含尤$的項(xiàng)是

例21.（2024?人大附中?？既＃┮阎?xiàng)式（2x-。）”的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)最大，且展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為20,則實(shí)數(shù)。的值為.

變式21.（2024?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式2x-S=的展開式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，貝產(chǎn)=,展開式中含V的項(xiàng)的系數(shù)為

變式22.（2024?陜西西安?西安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知（1+尤）”的展開式中第4項(xiàng)與第

8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.

變式23.（2024?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在［近-的二項(xiàng)展開式中，只有第5項(xiàng)的二

項(xiàng)式系數(shù)最大，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于

【解題方法總結(jié)】

利用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可.

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

例22.（2024?海南海口?海南華僑中學(xué)?？家荒＃┰冢ㄓ?l『（y+z）6的展開式中，系數(shù)最

大的項(xiàng)為.

例23.（2024?江西吉安?江西省萬安中學(xué)?？家荒＃┮阎?+3元）”的展開式中，末三項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.（不用計(jì)算，寫出表達(dá)式即

可）

例24.（2024?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）（x+l『的二項(xiàng)式展開中，系數(shù)最大的

項(xiàng)為.

變式24.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知（1-3x）"的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則該

展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

變式25.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若（石+康）”展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163,

則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

2〃

變式26.（2024?全國?高三專題練習(xí)）|（”eN*）展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最

大，則其常數(shù)項(xiàng)為

變式27.（2024?安徽蚌埠?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若二項(xiàng)式展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)

最大，貝回的所有可能取值的個(gè)數(shù)為.

【解題方法總結(jié)】

有兩種類型問題，一是找是否與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)最值

問題；如無關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：[Tr-Tr+l,注意：系數(shù)比較大小.

[Tr>Tr_t

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

例25.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知

202322023

（1-2x）=a0+alx-i-a2x++a2023x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22儂

B.展開式中所有奇次項(xiàng)的系數(shù)的和為」±1

2

[2023[

C.展開式中所有偶次項(xiàng)的系數(shù)的和為~—

2

D.幺+與+尊++然=-1

2222322023

例26.（多選題）（2024?重慶南岸?高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知

1

尤+2）6=%+〃1%+。2%2H--------Fa1x,則（）

A.%=-64B.q=63

C.%+4+?,,+%=()D.4+。3+。5+%=1

9

例27.(多選題)(2024?全國?IWJ二專題練習(xí))已知(1-%)9=%+H-----Fiz9x,則

()

A.%=1

B.q+出+/---FQg=0

C.q+/+%+%+〃9=—256

D.2%+2?a?+2,/+,,,+%=-2

變式28.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知

（2%—1）1°—CLQ+ci^x+a?/++。］。幺。，貝（）

A.%=1B.4］二-20

C.%+%++%?！?D.q+〃3++%=1—310

變式29.（多選題）（2024?山東日照?三模）已知

（九一1）（%+2）6=%+/%+々2犬2H------則（）

A.。0=-64B.%=-1

C.q+a2+?,■+〃7=°D.q+/+%+%=1

變式30.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)

（l+X+%2）=%+%兀+%%2+…+，則下列選項(xiàng)正確的是（）

n

A.%=1B.aQ+ax+a2+--a2n=2

C3"+ln3n-l

C?4。+。2+”4,,,+。2〃=D?%+/+%+。2〃-1=

變式31.（多選題）（2024?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知

（%-1）（%+2）6=%+%%+〃2兄2++%f.貝IJ（）

A.4=-64B.a2=48

C.。［+%++%=0D.%+/+“5+%=1

變式32.（多選題）（2024?全國?校聯(lián)考三模）若在

（1+2x）2+（1+2x）3++（1+2x）〃=a。+ciyX+-+?！?1+中，%=5,貝［］（）

37-9

A.〃=7B.“0+%++a_+=

nx2

C.4=224D.4=64

變式33.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知

（2x—=4+q（1—x）+%（1—x）++%（1—尤），若％+方+^|"++^*=-128,貝！]有

（）

A.m=2

B.a.=-280

C.a0=-l

D.-%+2%—3%+4%—5%+6〃6—7%=14

變式34.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知

（1+2%）〃+〃（3—%）7=%+4]+-+心%6（〃工0）,貝I」（）

A.n=6B.a=128

C.叁+4+...+&=儀）D.4+25+…+64=_64

37363

變式35.（多選題）（2024?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知

292ls

（x+x+l）=a0+a1x+a2x+--+alsx,下列說法正確的有（）

A.%=1B.〃2=42

3鄉(xiāng)+]11

C.622+6Z4H--F〃]8=~~-D.。|+2〃2+3〃3~1---b18d!18=3

變式36.（多選題）（2024?福建寧德?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若

（%—1）6=%+%（九+1）2+/（兀+1）3++〃6（兀+]）6,則（）

A.%=64B./+4+%+“6=365

C.%=12D.q+2a2+3a3+4/+5%+66=-6

變式37.（多選題）（2024?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知

721

（l-2x）=a0+aix+a2x-\----va1x,則（）

A.%=1B.2=2’

C.%+q+a2T----cbj=-1D.+同|++…+]=37

變式38.（多選題）（2024?全國-高三專題練習(xí)）若

220222022

（l+x）+（l+x）++（1+x）=a0+aix++?2022x,貝U（）

A.a°=2022B.%=Cf023

20222022

C.E（-1）4=-1D.X（T）'%a,=l

Z=11=1

【解題方法總結(jié)】

二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和：2"；奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等：才1.

系數(shù)和：賦值法，二項(xiàng)展開式的系數(shù)表示式：（or+b）"=g+%尤+°2*2+…

n

（%,%…，a”是系數(shù)），令x=l得系數(shù)和：a0+ax+...+an=（a+b）.

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

例28.（2024?北京東城?高三北京二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)

665

（2x-1）=a6x+asx+--+OjX+a0,則4+/+%=.（用數(shù)字作答）

例29.（2024?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習(xí)）設(shè)多項(xiàng)式

（X+I）6+（X—I）10=+a/'+++4,貝lj+。。+。4+。6+。8+。10=.

例30.（2024?新疆?高三八一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知

415

（x+m）（x—2）=a0+alx+a2x++a5x,若旬=16,貝1）4+%+。5=.

變式39.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）在（a+x）（l-*）6的展開式中，x的所有奇次幕的系數(shù)和

為-32,則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

變式40.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知

(1-X)5+(1+X)7=dg—++46%6—%"，則%+%+%的值

為.

變式41.(2024?安徽?高考真題)已知(1—x)5—ao~\~aix-\-a2X2+asx3+U4X4+asx5,則(ao+

42+聞(。7+43+C15)的值等于.

變式42.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知(2X-1)”的展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次

項(xiàng)系數(shù)的和小3%貝|C；+C：+C：+…+C：=.

變式43.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知

434

(2%+1)=a0+?[(x-l)+a2(x-l)~+a,(%-l)+a4(.x-1),貝!JaQ+a2+&的值為.

【解題方法總結(jié)】

2n

(ax+by=aQ+ayx+a2x+...+anx,令x=l得系數(shù)和：4+q+...+%=(a+Z?)"①；

令x=-1得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：

—

a0—...ctn=(G—b)"=(g+?+…)—(q+/+-?')②,聯(lián)“①②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

例31.(2024?河北?高三校聯(lián)考期末)981°除以1000的余數(shù)是.

例32.(2024?全國?高三專題練習(xí))若

0303

(x+5)-"=a0+a^x+a2x"++a2023x~",T=a0++a2++a2Q23,則T被5除所得的余數(shù)

為.

例33.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）99100除以100的余數(shù)是.

2

變式44.（2024?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模）若（1+力2°23=4+空+…+%023鏟3，貝I

。0+。2+〃4+…+〃2022被5除的余數(shù)是.

變式45.（2024?全國?高三專題練習(xí)）寫出一個(gè)可以使得992023+〃被10。整除的正整數(shù)

d—.

變式46.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知742°22+。能夠被15整除，其中。?0/5）,

則".

題型十二：近似計(jì)算問題

例34.（2024?全國?高三專題練習(xí)）用二項(xiàng)式定理估算1.01°=.（精確到0.001）

例35.（2024?福建泉州?高三福建省南安國光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）

Cj0.998+C"0.9982+CjO.9983+C5O.9984+CjO.9985a（精確到0.01）

例36.（2024?全國?高三專題練習(xí)）某同學(xué)在一個(gè)物理問題計(jì)算過程中遇到了對(duì)數(shù)據(jù)

0.98Kl的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個(gè)近似值是.

變式47.（2024?全國?高三專題練習(xí)）（1.05）6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值

是.

變式48.（2024?全國?高三專題練習(xí)）1.028々（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）.

題型十三：證明組合恒等式

例37.（2024?全國?高三專題練習(xí)）求證:

2cHW+?++/(…T”)

例38.（2024?全國?高三專題練習(xí)）證明：￡?）2=6.

k=Q

例39.（2024?全國?高三專題練習(xí)）證明：為0=殳黑：+（-1廣七小

k=l/

變式49.(2024?全國?高三專題練習(xí))求證：

T-C：x2"-1+C；xr--+...+(-I)"—C『x2+(-1)"=1.

變式50.（2024?全國?高三專題練習(xí)）（1）設(shè)加、〃eN*,m<n,求證:

廠機(jī)+1"+1

?+1

m+1n

（2）請(qǐng)利用二項(xiàng)式定理證明：3'>2/+l（〃23,〃eN*）.

變式51.（2024?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同

而構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項(xiàng)式定理，可以得

到很多有趣的組合恒等式.

（1）根據(jù)恒等式（1+x）'*"=（1++無丫的〃eN*）兩邊W的系數(shù)相同直接寫出一個(gè)恒等

式，其中peN,pVm,pV”；

（2）設(shè)機(jī)〃eN*,peN,〃V〃z,p<〃，利用上述恒等式證明：C；C^,_「￡c：C『（i一1）=C；一黑.

三2

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和

例40.（2024?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)〃為正整數(shù)，C為組合數(shù)，則

C短+3C/+5C短++4037嘲=（）

A.2018-22018B.2018!

C.C蕾D.前三個(gè)答案都不對(duì)

例41.（2024?全國?高三專題練習(xí)）1C；+4C；+9C：+-+/C：=（）

A.n(n+l)2"-2B.n2n-'C.T-xD.〃(“+1)(W+2)2"T

例42.（2024?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界

近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題.當(dāng)“eN*時(shí)，—

,又根據(jù)泰勒展開式可以得到

,根據(jù)以上兩式可求得？+級(jí)+鏟++~+

212_2

A.—B.—C.—D.—

6384

變式52.(2024?重慶永川?重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知

(1+幻2。21=+a2%?+++%021元2°21,貝！J

02020+2“2019+3“2018+4。2017++2020%+2021?！?()

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

變式53.(2024?湖南邵陽?高三統(tǒng)考期末)已知(2-?)”("N2,weN),展開式中x的系

r\,2r\3,2019

數(shù)為了("),貝u-++———等于()

㈠/⑵”3)/(4)/(2020)"

2019?2019〃1009—1009

AA.------B.------C.------D.------

1105051010505

變式54.（2024?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)必w{l,2,3,4}伏=1,2,3,4）,對(duì)于有序數(shù)組

（q,%,%,4）,記NQ,%%,%）為%,%，%，%中所包含的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如

N（l,1,2,2）=2,N（l,2,3,1）=3.當(dāng)（q,q,外,4）取遍所有的44個(gè)有序數(shù)組時(shí)，

Mi,外,%%）的平均值為（）

173口87小175n11

AA.---B.—C.-----D.—

6432644

題型十五：楊輝三角

例43.（多選題）（2024?海南?海南中學(xué)?？既＃皸钶x三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中

的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出

現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余

每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正

確的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行13