2025高考數學復習必刷題：面積問題（學生版）

第71講面積問題

知識梳理

1、三角形的面積處理方法

(1)?底?高(通常選弦長做底，點到直線的距離為高)

⑵5「3.水平寬.鉛錘高=3陽.昆_&|或5「；3卜|力一曲

(3)在平面直角坐標系xOy中，己知△OMN的頂點分別為0(0,0),/(再，%),

N(X2,y2),三角形的面積為5=-^yj.

2、三角形面積比處理方法

S^OAC_2_____________OA-OC

S~°BD_!OB0D-sina一OBOD

2

（2）等角、共角模型

o

S-OA-OC-sina

'OAC_2_____________OA-OC

q1一OBOD

△°BD—OB-OD-sina

2

3、四邊形面積處理方法

(1)對角線垂直

(2)一般四邊形

S=』AC-BD-sina

2

一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉化為某個變量的一個函數，再求解函數

的最值(一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數模型，利用二次函數、三角函數的有

界性求最值或利用導數法求最值，構造函數求導等等)，在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度

為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量.

必考題型全歸納

題型一三角形的面積問題之S△《底?高

22

例L（2024?福建漳州?高三統(tǒng)考開學考試）已知橢圓C:=+2=l（a＞匕＞0）的左焦點為

ab

月（-班,0）,且過點

⑴求C的方程；

（2）不過原點。的直線/與C交于尸，Q兩點，且直線。尸，PQ,OQ的斜率成等比數列.

⑴求/的斜率；

（ii）求△OP。的面積的取值范圍.

例2.（2024?湖南常德.高三常德市一中校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點

A（；0）,點8在直線/：x=-1上運動，過點5與/垂直的直線和的中垂線相交于點

⑴求動點M的軌跡E的方程；

⑵設點尸是軌跡E上的動點，點R,N在y軸上，圓C:（x-l）2+y2=i內切于△PRV,求

△PRN的面積的最小值.

例3.（2024?浙江?模擬預測）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難

入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加

以解決，己知曲線C上任意一點P（x,（滿足+夜I+9一一行＞=2.

（1）化簡曲線C的方程；

（2）已知圓O:尤2+y2=i為坐標原點），直線/經過點A（機,0）（加＞1）且與圓。相切，過點

A作直線/的垂線，交C于兩點，求0MN面積的最小值.

22

變式1.（2024?河北秦皇島?校聯考二模）已知雙曲線3r-與v=1（”>。8>0）實軸的一個端點是

ab

P,虛軸的一個端點是Q,直線尸Q與雙曲線的一條漸近線的交點為

⑴求雙曲線的方程；

⑵若直線y="+J（0<Z<l）與曲線C有兩個不同的交點4民。是坐標原點，求（MB的

面積最小值.

變式2.（2024?四川成都?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既＃┰O橢圓

從［+￡=1（4>6>0）過點且左焦點為耳上3,0）.

（1）求橢圓E的方程；

（2）ABC內接于橢圓E,過點P（4,l）和點A的直線/與橢圓E的另一個交點為點D,與

BC交于點Q,滿足,制。必=|4。||「目，求，ABC面積的最大值.

題型二：三角形的面積問題之分割法

例4.（2024?全國?高三專題練習）設動點M與定點B（c,0）（c>0）的距離和M到定直線/：

x=43的距離的比是c￡.

C2

（1）求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；

⑵當c=0時，記動點M的軌跡為Q,動直線機與拋物線「：/=4x相切，且與曲線。

交于點A,B.求二A03面積的最大值.

例5.(2024?四川成都?高三校聯考階段練習)已知橢圓C的對稱中心為坐標原點，對稱軸

為坐標軸，焦點在》軸上，離心率e=《，且過點尸(3,2).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線/與橢圓交于A，8兩點，且直線PA,P5的傾斜角互補，點M(0,8),求三角形

面積的最大值.

22

例6.(2024?廣東?高三校聯考階段練習)已知雙曲線二-1=1,(a>0力>0)的離心率為

2,右焦點廠到漸近線的距離為

(1)求雙曲線的標準方程；

⑵若點尸為雙曲線右支上一動點，過點尸與雙曲線相切的直線/,直線/與雙曲線的漸近線

分別交于Af,N兩點，求：FMN的面積的最小值.

22

變式3.(2024?廣東廣州?高三中山大學附屬中學?？茧A段練習)過橢圓三+匕=1的右焦

43

點/作兩條相互垂直的弦A3,CD.AB,8的中點分別為"，N.

⑴證明：直線過定點；

(2)若A3,C。的斜率均存在，求_/加面積的最大值.

題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標化

2

例7.（2024.全國?高三專題練習）如圖，已知雙曲線C:/-（=1的左右焦點分別為￡、

F],若點P為雙曲線C在第一象限上的一點，且滿足|「耳|+|尸凰=8,過點尸分別作雙曲線

C兩條漸近線的平行線PA、PB與漸近線的交點分別是A和瓦

22

（2）若對于更一般的雙曲線C':。-2=1（。>0]>0）,點P'為雙曲線C'上任意一點，過

ab

點P'分別作雙曲線C兩條漸近線的平行線尸’4、PE與漸近線的交點分別是A和B’.請問

四邊形。4/5的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用。、6表示該定值）；若不是

定值，請說明理由.

22

例8.（2024?浙江?高三競賽）已知直線/與橢圓C：=+與=1（。>>>0）交于A、3兩點,

ab

直線AB不經過原點0.

（1）求。鉆面積的最大值；

（2）設M為線段的中點，延長加交橢圓C于點P,若四邊形。1PB為平行四邊形,

求四邊形。4PB的面積.

例9.（2024?全國?高三專題練習）々，耳分別是橢圓于點+9=1的左、右焦點.

⑴若尸是該橢圓上的一個動點，求母;?尸名的取值范圍；

⑵設4（2,0）,3（。/）是它的兩個頂點，直線y=M左20）與相交于點與橢圓相交于

E、尸兩點.求四邊形AE8尸面積的最大值.

變式4.（2024?江蘇蘇州?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線

。：丁=4尤的焦點為歹，過尸的直線交C于A,B兩點（其中點A在第一象限），過點A

作C的切線交x軸于點尸，直線P8交C于另一點。，直線QA交無軸于點T.

⑴求證：|AF|.|AT|=|BF|.|eT|;

⑵記AAOP,△AFT,△8QT的面積分別為S―邑，S3,當點A的橫坐標大于2時，求

的最小值及此時點A的坐標.

一

變式5.（2024?上海浦東新?高三上海市進才中學校考階段練習）設橢圓E：

=l（a>b>0）的一個頂點為4（0,1）,離心率為白,尸為橢圓E的右焦點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過/且斜率為左的直線與橢圓E交于。，G兩點，若滿足ADLAG,求左的值；

⑶過點尸（2,0）的直線與橢圓E交于B,C兩點，過點8,C分別作直線/：x=r的垂線

（點8,C在直線/的兩側）.垂足分別為"，N,記BMP，^MNP,0vp的面積分

別為鳥，與，S,,試問：是否存在常數J使得岳，■，S3總成等比數列？若存在，求

出，的值，若不存在，請說明理由.

變式6.（2024?福建泉州?泉州七中?？寄M預測）已知圓C:（尤-石『+y2=i6,點

G（-V3,0）,圓周上任一點P,若線段PG的垂直平分線和CP相交于點Q,點。的軌跡為

曲線E.

⑴求曲線E的方程；

⑵若過點（1,0）的動直線〃與橢圓C相交于M,N兩點，直線/的方程為x=4.過點/作

畫人I于點T,過點N作于點R.記！G77?,!G7M,!GRN的面積分別為S,\,S2.

問是否存在實數彳，使得彳歷司-s=o成立？若存在，請求出兄的值；若不存在，請說

明理由.

變式7.（2024.上海浦東新?高三上海市洋涇中學?？奸_學考試）設拋物線「：j?=4x的焦

點、為F,經過X軸正半軸上點M（私0）的直線/交r于不同的兩點A和反

⑴若|刑=3,求A點的坐標;

（2）若加=2,求證：原點?？傇谝跃€段A3為直徑的圓的內部；

（3）若|刑=|FN|,且直線4〃/,4與「有且只有一個公共點E,問：△Q4E的面積是否存

在最小值？若存在，求出最小值，并求出以點的坐標；若不存在，請說明理由.（三角形

面積公式：在.ABC中，設01=。=（玉,%），CB=Z?=（x2,y2）,貝!!ABC的面積為

變式8.（2024?四川眉山?高三校考階段練習）在△尸百鳥中，已知點片卜石,0）,

名邊上的中線長與尸居邊上的中線長之和為6；記△尸久鳥的重心G的軌跡為

曲線C.

⑴求C的方程；

⑵若圓。：x2+y2=l,￡（0,-1）,過坐標原點。且與y軸不重合的任意直線/與圓。相交

于點A,B,直線E4,與曲線C的另一個交點分別是點"，N,求EMN面積的最

大值.

題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型

例10.(2024.河北?統(tǒng)考模擬預測)已知拋物線C:/=2py(p>0),過點P(O,2)的直線/與

C交于A8兩點，當直線/與》軸垂直時，OA1OB(其中。為坐標原點).

(1)求C的準線方程；

(2)若點A在第一象限，直線/的傾斜角為銳角，過點A作C的切線與》軸交于點T,連接

TB交C于另一點、為D,直線AD與》軸交于點Q,求△APQ與面積之比的最大值.

例11.(2024?北京東城?高三北京市第H^一中學?？茧A段練習)已知橢圓

E:f2=l(a>b>0),c=Ja。-b。,且過(2,0)[1,J兩點.

⑴求橢圓E的方程和離心率e；

出若經過用(1，。)有兩條直線/14,它們的斜率互為倒數，4與橢圓E交于48兩點，4與

橢圓E交于C,。兩點，P,。分別是AB,CD的中點試探究：△OPQ與一MPQ的面積之

比是否為定值？

若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

22

例12.(2024.江蘇徐州.高三?？奸_學考試)設橢圓「r+斗v=l(a>6>0)的左右頂點分別為

ab

4,4,右焦點為尸，已知|A尸1=3,內尸|=L

(1)求橢圓方程及其離心率;

(2)己知點p是橢圓上一動點(不與端點重合)，直線&尸交y軸于點Q,若三角形4尸。的

面積是三角形4五尸面積的二倍，求直線右尸的方程.

變式9.（2024.廣東深圳.深圳中學?？寄M預測）已知定點尸（2,0）,關于原點。對稱的動

點尸，Q到定直線/:x=4的距離分別為dQ,且苧=竽，記尸的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程，并說明曲線C是什么曲線？

⑵已知點N是直線機:x=；y+2與曲線C的兩個交點，M,N在X軸上的射影分別

k

為N[（M1；M不同于原點。），且直線MW與直線/：元=4相交于點R,求：RMN

與面積的比值.

變式10.（2024?河北?高三校聯考階段練習）已知拋物線C：y2=2px（p>o）上一點

A（a,a）（ax0）到焦點尸的距離為g.

（1）求拋物線C的方程；

⑵過點廠的直線/與拋物線C交于P,Q兩點，直線OP。。與圓E：（x-2Y+y2=4的另一

交點分別為MMO為坐標原點，求△。尸。與面積之比的最小值.

變式11.（2024?陜西商洛?陜西省丹鳳中學?？寄M預測）已知橢圓

22

C:4+二=1(。>6>0)的左、右頂點分別為A,8,長軸長為短軸長的2倍，點P在C上運

ab

動,且-ABP面積的最大值為8.

(1)求C的方程；

⑵若直線/經過點。(1,0),交C于M,N兩點、,直線分別交直線x=4于。，E兩

點，試問與，AQE的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理

由.

變式12.(2024.福建廈門?廈門一中校考模擬預測)已知A,B分別是橢圓C：

221

.+方=l(a>6>0)的右頂點和上頂點，阿|=6直線A3的斜率為-亍

(1)求橢圓的方程；

(2)直線〃/AB,與x,》軸分別交于點/，N,與橢圓相交于點C,D.

(i)求，OQ0的面積與△ODV的面積之比；

(ii)證明：|。0「+|阿>「為定值.

題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型

22

例13.(2024.安徽黃山?屯溪一中?？寄M預測)已知橢圓C:3+方=1(〃>6>0)的離心

率為孝，且C經過點1,

⑴求橢圓C方程；

⑵直線y=6(左>。)與橢圓C交于點”、N,尸為C的右焦點，直線MRNF分別交C于另

一點想、M，記RVW與△啊乂的面積分別為百、邑，求5t的范圍.

例14.(2024.全國.高三對口高考)在平面直角坐標系xoy中，點B與點關于原點。

對稱，尸是動點，且直線釬與3P的斜率之積等于-g.

⑴求動點尸的軌跡方程；

(2)設直線AP和族分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得，必8與.PMN的

面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

例15.(2024.重慶.高三重慶一中?？茧A段練習)已知。為坐標原點，拋物線的方程為

22

x2^2py(p>0),F是拋物線的焦點，橢圓的方程為下方=1(〃>6>0),過F的直線/

與拋物線交于M,N兩點，反向延長OM,QV分別與橢圓交于P,。兩點.

y.

(1)求kOM,kON的值;

⑵若|OP「+QQ「=5恒成立，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，若沁的最小值為1,求拋物線的方程（其中“。煩，分別

是：OMN和AOPQ的面積）.

22

變式13.（2024?四川?校聯考一模）已知點（-2,0）在橢圓C：3+3=l（a>>>0）上，點

ab

相片0）在橢圓C內.設點以A,2為C的短軸的上、下端點，直線4%分別與

橢圓C相交于點EI,且助,配的斜率之積為

（1）求橢圓C的方程；

（2）記S^BME，SAMF分別為_勵/￡,AMF的面積，若加?-坦,-11[1,百），求5AM，的

取值范圍.

變式14.（2024.貴州貴陽?高三貴陽一中?？奸_學考試）已知點（-2,0）在橢圓C：

4+4=1（?>&>0）±,點”（九與（相/0）在橢圓C內.設點A,B為C的短軸的上、下端

ab\

點，直線AM,分別與橢圓C相交于點E,F,且EA,EB的斜率之積為一5.

4

⑴求橢圓C的方程；

S1

⑵記/典上，分別為—力質的面積，若言皿=工，求機的值.

,△BME今

變式15.（2024?四川南充.四川省南充高級中學?？既＃┮阎獧E圓

尤2d1

C:1r+}=1（。>6>0）的左、右焦點為0工，離心率為巳.點尸是橢圓C上不同于頂點的

任意一點，射線尸耳，尸4分別與橢圓C交于點A8,△尸耳8的周長為8.

（1）求橢圓C的標準方程；

ss

⑵設譙，APF、B,RW的面積分別為L邑，邑.求證：三三+不、為定值.

d3-d2?2一》1

題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型

22

例16.（2024?河南?襄城高中校聯考三模）設雙曲線E:1r暇=1（。>0,6>0）的左、右焦

點分別為斗工，忻用=2技且E的漸近線方程為y=±（

⑴求E的方程；

⑵過B作兩條相互垂直的直線《和/2，與E的右支分別交于4C兩點和8,。兩點，求四

邊形ABC。面積的最小值.

22

例17.（2024?山西朔州?高三校聯考開學考試）已知橢圓E：2T=1（。＞匕＞0）的左、右

焦點分別為耳，居，M為橢圓E的上頂點，岫?叫=0,點N（形,-1）在橢圓￡上.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設經過焦點工的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A,8兩點和C,。兩點，求

四邊形ACBD的面積的最小值.

例18.（2024?江西?高三統(tǒng)考階段練習）已知直線/：尤-y+l=O與拋物線C:無2=2py（p＞0）

交于A,B兩點，|AB|=8.

⑴求P;

（2）設拋物線C的焦點為尸，過點尸且與/垂直的直線與拋物線C交于E,G,求四邊形

AEBG的面積.

題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形

22

例19.（2024?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習）已知橢圓C:1r+方=1（。＞6＞0）過

兩點.

（1）求橢圓C的方程;

(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A,B,當動點M在定直線x=4上運動時，直線

AM,8M分別交橢圓于兩點尸和。.

(i)證明：點B在以尸。為直徑的圓內；

(ii)求四邊形AP3Q面積的最大值.

22

例20.(2024.新疆伊犁.高三?？茧A段練習)已知橢圓C：力方=1(">>>0)經過點

-g],。為坐標原點，若直線/與橢圓C交于A,B兩點，線段AB的中點為直

線/與直線。/的斜率乘積為-；.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若四邊形0AP8為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積.

22

例21.(2024.上海黃浦.高三格致中學?？奸_學考試)定義：若橢圓C:=+A=l(a>6>0)

上的兩個點4(g%),3(%，%)滿足安+節(jié)1=0，則稱AB為該橢圓的一個“共軌點對”，

記作[A,用.已知橢圓C的一個焦點坐標為￡(-2>/2,0),且橢圓C過點4(3,1).

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵求“共輾點對”[A司中點8所在直線/的方程；

(3)設。為坐標原點，點尸,Q在橢圓C上，且PQ//OA,(2)中的直線/與橢圓C交于兩點

練鳥，且用點的縱坐標大于0,設四點4,尸，與，。在橢圓C上逆時針排列.證明：四邊形

耳尸反。的面積小于8g.

變式16.(2024四川成都?高三石室中學?？奸_學考試)己知橢圓Cj：4+4=1

ab

(a>8>0)左、右焦點分別為耳，F2,且工為拋物線C2：V=8X的焦點，尸(2,0)為

橢圓C1上一點.

⑴求橢圓Cj的方程；

(2)已知A,8為橢圓C1上不同兩點，且都在x軸上方，滿足耳A=26反

(1)若2=3,求直線4A的斜率；

(ii)若直線KA與拋物線產=》無交點，求四邊形片85A面積的取值范圍.

22

變式17.(2024.湖北?高三孝感高中校聯考開學考試)已知橢圓E:亍+方=1(°>人>0)的

離心率e=q,且經過點(虛，-1).

⑴求橢圓E的方程；

⑵設直線/：丁=履+m與橢圓E交于A,8兩點，且橢圓E上存在點使得四邊形。4MB

為平行四邊形.試探究：四邊形0AM2的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形0AM3

的面積；若不是定值，請說明理由.

變式18.(2024?浙江.高三浙江省普陀中學校聯考開學考試)類似于圓的垂徑定理，橢圓

22

C：1+2=1(a>6>0)中有如下性質：不過橢圓中心。的一條弦PQ的中點為

ab

M,當尸Q,OM斜率均存在時，kPQ-kOM=~,利用這一結論解決如下問題：已知橢圓

E：—+^=1,直線。尸與橢圓E交于A,8兩點，且04=30尸，其中。為坐標原點.

819

⑴求點尸的軌跡方程:T；

⑵過點尸作直線CD交橢圓E于C,。兩點，使尸C+PD=0，求四邊形AC8O的面積.

變式19.(2024?浙江?高三舟山中學校聯考開學考試)已知拋物線E：丫=尤2與圓加：

X?+(y-4y=/(r>0)相交于A,B,C,Z)四個點.

(2)四邊形ABCD的對角線交點是否可能為若可能，求出此時『的值，若不可能，請說

明理由；

(3)當四邊形ABC。的面積最大時，求圓"的半徑『的值.

變式20.(2024?四川成都?校聯考模擬預測)已知橢圓C|：—+9=1(〃>1)與橢圓

a

22_

c2：足方=1(0<)<2百)的離心率相同，且橢圓C?的焦距是橢圓C］的焦距的相

倍.

⑴求實數。和b的