2025高考數(shù)學復習必刷題：切點與切點弦（學生版）

第75講切點與切點弦

知識梳理

1、點,%)在圓/+y2=/上，過點M作圓的切線方程為+%>=/.

2、點,%)在圓/+：/=/外，過點加作圓的兩條切線，切點分別為A,B,則

切點弦AB的直線方程為％彳+%>=嚴.

3、點M(x0,%)在圓蘆+/二產(chǎn)內，過點心作圓的弦至(不過圓心)，分別過A,B

作圓的切線，則兩條切線的交點尸的軌跡方程為直線尤°x+%y=產(chǎn).

4、點M(x0,%)在圓(尤-a)?+(,-6)2=/上，過點"作圓的切線方程為

2

(x0-a)(x-a)+(j0-Z?)(y-Z?)=r.

5、點M(x0,%)在圓(x-a)2+(y-32=戶外，過點"作圓的兩條切線，切點分別為

A,B,則切點弦AB的直線方程為(x0-")(尤-a)+(%-b)(y-b)=廠.

6、點M(x0,%)在圓(x-a)2+(y-b)2=/內，過點M作圓的弦至(不過圓心)，分

別過A,3作圓的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為

2

(x0-a)(x-a)+(y0-/?)(y-Z?)=r.

22

7、點加伍，％)在橢圓\+A=l(a>6>0)上，過點M作橢圓的切線方程為

ab

/b2~,

22

8、點,%)在橢圓二+2=1(。>6>0)外，過點M作橢圓的兩條切線，切點分別

ab

為A,B,則切點弦AB的直線方程為岑+浮=1.

ab

22

9、點M(x0,%)在橢圓二+1=1(。>6>0)內，過點M作橢圓的弦(不過橢圓中

ab

心)，分別過A,3作橢圓的切線，則兩條切線的交點尸的軌跡方程為直線警+誓=1.

ab

22

10、點Af(x0,%)在雙曲線［-2=l(a>0,6>0)上，過點M作雙曲線的切線方程

ab

22

11、點M（/o，%）在雙曲線各一斗=1（々>0,10）外，過點M作雙曲線的兩條切線，

ab

切點分別為A,B,則切點弦AB的直線方程為岑-岑=1.

ab

22

12、點M（%,%）在雙曲線J-I=l（a>0,6>0）內，過點M作雙曲線的弦AB（不

ab

過雙曲線中心），分別過A,8作雙曲線的切線，則兩條切線的交點尸的軌跡方程為直線

//-.

13、點“優(yōu)，％）在拋物線產(chǎn)二2px（p>0）上，過點M作拋物線的切線方程為

14、點M（%,%）在拋物線丁=2pxS>0）外，過點M作拋物線的兩條切線，切點分

別為A,B,則切點弦AB的直線方程為%〉=0（尤+尤（））.

15、點,%）在拋物線/=2p元（p>0）內，過點M作拋物線的弦AB,分別過

A,3作拋物線的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為直線為y=p（x+x0）.

必考題型全歸納

題型一：切線問題

例1.（2024?浙江杭州.高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知拋物線

E-.y2=2px（p>0）,焦點為產(chǎn).過拋物線外一點P（不在x軸上）作拋物線C的切線

PA,PB,其中AB為切點，兩切線分別交y軸于點C,。.

⑴求笈.濤的值；

⑵證明：

①附|是|網(wǎng)與|冏的等比中項；

②FP平分ZAFB.

例2.（2024.江西?高三校聯(lián)考開學考試）已知拋物線C:f=8y,尸為C的焦點，過點尸的

直線/與C交于H,1兩點，且在/兩點處的切線交于點T.

⑴當/的斜率為-1時，求|印卜

(2)證明：FT1HI.

例3.(2024?湖北.高三校聯(lián)考開學考試)已知拋物線C:y2=2px(0＞O)的焦點為尸，過歹

作斜率為依左＞0)的直線/與C交于A3兩點，當％=后時，|AB|=6.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)設線段AB的中垂線與x軸交于點P,拋物線C在A,8兩點處的切線相交于點Q,設

d.

P,Q兩點到直線/的距離分別為4，&，求才的值.

變式L(2024.全國.高三專題練習)設拋物線石：/=2川(？＞0)的焦點為尸，過尸且斜率

為1的直線/與E交于A,B兩點，＞|AB|=8.

(1)求拋物線E的方程；

⑵設尸(1,m)為E上一點，E在P處的切線與x軸交于。過。的直線與E交于M,N兩

點，直線PM和PN的斜率分別為％P”和原N.求證：MM+%V為定值.

變式2.(2024.廣東廣州.高三華南師大附中?？奸_學考試)已知橢圓

22

￡：宗+方=l（a>b>0）的兩焦點分別為月卜6,。），耳（退，。），A是橢圓E上一點，當

4A月=:時，*伍的面積為卓

⑴求橢圓E的方程；

⑵直線4：勺x-y+2匕=0（勺>0）與橢圓E交于“，N兩點，線段肱V的中點為P,過P作

垂直x軸的直線在第二象限交橢圓E于點S,過S作橢圓E的切線36的斜率為以，求

k「h的取值范圍.

22

變式3.（2024?江西南昌?南昌市八一中學?？既＃┮阎獧E圓E:0+4=l（a>6>0）經(jīng)過

ab

點（。,3）,且離心率為g,尸為橢圓E的左焦點，點P為直線/:x=3上的一點，過點P

作橢圓E的兩條切線，切點分別為A,B,連接AB,AF,BF.

（1）證明：直線A3經(jīng)過定點“（2,0）；

⑵若記";加、△8R0的面積分別為S1和邑，當lE-Szl取最大值時，求直線AB的方

程.

22

參考結論：。（5,％）為橢圓5+方=1上一點，則過點。的橢圓的切線方程為

%。?11

/b2~'

題型二：切點弦過定點問題

例4.（2024?全國?高三專題練習）已知直線〃是拋物線C：x2=2py（p>0）的準線，直線

12：3^-4y-6=0,且/2與拋物線C沒有公共點，動點尸在拋物線C上，點尸到直線〃和/2

的距離之和的最小值等于2.

(1)求拋物線c的方程；

(2)點M在直線〃上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P,Pi,在平面內

是否存在定點N,使得恒成立？若存在，請求出定點N的坐標，若不存在，請

說明理由.

22

例5.(2024?福建寧德??？家荒?雙曲線C:「-A=l的離心率為血，右焦點P到漸近線

ab

h

y=-x的距離為應.

a

(1)求雙曲線C的標準方程；

b

(2)過直線x=l上任意一點P作雙曲線C的兩條切線，交漸近線y='x于A,8兩點，證

a

明：以為直徑的圓恒過右焦點F.

例6.(2024?四川綿陽?高三四川省綿陽南山中學?？奸_學考試)已知拋物線

C:y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離為1.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)設點尸&1)是該拋物線上一定點，過點尸作圓。:(》-2)2+/=產(chǎn)(其中的兩

條切線分別交拋物線C于點48,連接A3.探究：直線是否過一定點，若過，求出該

定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由.

變式4.(2024.陜西?校聯(lián)考三模)己知直線/與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,2兩點,

且tMJLOB,OD±AB,。為垂足，點。的坐標為(1,D.

⑴求C的方程；

⑵若點E是直線y=x-4上的動點，過點E作拋物線C的兩條切線EP,EQ,其中P,Q

為切點，試證明直線PQ恒過一定點，并求出該定點的坐標.

變式5.(2024?貴州?校聯(lián)考二模)拋物線G：y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離等于橢圓

22

C2:x+16y=1的短軸長.

⑴求拋物線G的方程；

⑵設。(1J)是拋物線G上位于第一象限的一點，過。作E:(x-2y+y2=/(其中

0<r<l)的兩條切線，分別交拋物線于點M,N,證明：直線MN經(jīng)過定點.

22

變式6.(2024?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知橢圓C：A+A=l(a>b>0)的焦距為2,圓

ab

/+丁=4與橢圓C恰有兩個公共點.

(1)求橢圓C的標準方程；

22

(2)已知結論：若點(七,為)為橢圓與+多=1上一點，則橢圓在該點處的切線方程為

ab

岑+*=1.若橢圓c的短軸長小于4,過點7(81)作橢圓C的兩條切線，切點分別為

A5,求證：直線A3過定點.

變式7.（2024?重慶九龍坡.高三重慶市育才中學?？奸_學考試）如圖所示，已知尸（0,1）在

22

橢圓「：土+與=1（0<匕<2）上，圓C:（無一1>+;/=/&>0）,圓c在橢圓r內部.

4b-

（1）求r的取值范圍;

⑵過尸（0,1）作圓C的兩條切線分別交橢圓「于A,B點（42不同于尸），直線A3是否過定

點？若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.

題型三：利用切點弦結論解決定值問題

例7.（2024?全國?高三專題練習）已知中心在原點的橢圓口和拋物線一有相同的焦點

（1,0）,橢圓口的離心率為拋物線門的頂點為原點.

（1）求橢圓口和拋物線L的方程；

⑵設點尸為拋物線口準線上的任意一點，過點尸作拋物線門的兩條切線24，PB,其中

A,B為切點.設直線R4,PB的斜率分別為尤，k2,求證：為定值.

例8.（2024?全國?高三專題練習）已知尸是拋物線C：公=2點（。>0）的焦點，以尸為圓

心，2P為半徑的圓F與拋物線C交于A,B兩點,且|AB|=4石.

（1）求拋物線C和圓尸的方程；

（2）若點尸為圓/優(yōu)弧A8上任意一點，過點尸作拋物線C的兩條切線PM,PN,切點分別

為M,N,請問|地卜|詆|是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

例9.（2024?全國?高三專題練習）已知拋物線C：/=2/（°>0）的焦點為尸，過點尸引

圓/：口+行+仆一以=；的一條切線，切點為N,|印|=半.

（1）求拋物線C的方程；

⑵過圓M上一點A引拋物線C的兩條切線，切點分別為尸，Q,是否存在點A使得

△AP。的面積為主8?若存在，求點A的個數(shù)；否則，請說明理由.

2

變式8.（2024?全國?高三專題練習）已知拋物線。:丁=2°吠°>0）的焦點尸到準線的距離

為2,圓〃與y軸相切，且圓心又與拋物線C的焦點重合.

（1）求拋物線C和圓M的方程；

⑵設尸為圓M外一點，過點尸作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個

不同的點4（%,%）,川々,為）和點。（玉,%）,^%，^）?且％%%%=16,證明：點尸在一條定

曲線上.

變式9.(2024?全國?模擬預測)己知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為凡尸為拋物線上

一動點，點P到F的最小距離為1.

(1)求拋物線C的標準方程；

⑵過點A(T-2)向C作兩條切線AM,AN,切點分別為M,N,直線AF與直線MN交于

點。，求證：點0到直線的距離等于到直線FN的距離.

變式10.(2024?全國?高三專題練習)已知點P(-2,〃2)在拋物線C:Y=2Q(P>0)上,且到

拋物線C的焦點廠的距離為2.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過點4(-1,-2)向拋物線C作兩條切線切點分別為MN,若直線AF與直線

d,

初V交于點Q,且點。到直線97、直線M的距離分別為4,4.求證：于為定值.

變式11.(2024?上海長寧?高三上海市延安中學校考開學考試)在以A(-2,0)為圓心，6為

半徑的圓A內有一點3(2,0),點尸為圓A上的任意一點，線段3尸的垂直平分線/和半徑

AP交于點

(1)判斷點M的軌跡是什么曲線，并求其方程；

(2)記點M的軌跡為曲線「，過點8的直線與曲線「交于C、。兩點，求云?麗的最大

值；

⑶在圓一+,2=14上的任取一點Q,作曲線r的兩條切線，切點分別為E、F,試判斷QE

與。尸是否垂直，并給出證明過程.

變式12.(2024?全國?高三專題練習)已知拋物線。:丁=22穴°>0),尸為焦點，若圓

E:(X-l)2+戶16與拋物線C交于兩點,S.\AB\=4y/3

(1)求拋物線C的方程；

⑵若點尸為圓E上任意一點，且過點尸可以作拋物線C的兩條切線切點分別為

求證：斗|他代亙?yōu)槎ㄖ?

變式13.(2024?浙江金華?浙江金華第一中學校考模擬預測)已知拋物線G：/=y,圓

G:Y+(y-4尸=1,尸是Cj上異于原點的一點.

⑴設。是C?上的一點，求|PQ|的最小值；

⑵過點尸作G的兩條切線分別交G于A,B兩點(異于尸).若|冏=|印，求點尸的坐標.

22

變式14.(2。24?湖南長沙?湖南師大附中校考模擬預測)如圖‘橢圓C點+?=1("2),

圓0:》2+>2="+4,橢圓C的左、右焦點分別為招，工.

(1)過橢圓上一點尸和原點O作直線/交圓。于N兩點，若忸耳卜|根|=6,求

的值;

(2)過圓。上任意點R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直.

22

變式15.(2024.河南?校聯(lián)考模擬預測)在橢圓C：二+多=1(a>A>0)中，其所有

ab

2222

外切矩形的頂點在一個定圓「：X+y=a+b1.,稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓C過

尸(亭”白

⑴求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的蒙日圓上一點作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點N,若G，

k()N存在，證明：kOM-kON為定值.

題型四：利用切點弦結論解決最值問題

例10.(2024.福建泉州.高三校聯(lián)考階段練習)已知尸為拋物線C：f=2py(0>O)的焦

點，"(-4,m)是C上一點，M■位于F的上方且I"周=5.

⑴求P；

⑵若點尸在直線x+y+3=0上，PA,尸2是C的兩條切線，A,2是切點，求恒刊所|的最

小值.

例11.(2024.全國?高三專題練習)已知拋物線C:y2=2pxO>0)的焦點/到準線的距離為

(1)求拋物線C的方程及焦點F的坐標；

⑵如圖，過拋物線C上一動點尸作圓/:(工-2)2+尸=1的兩條切線，切點分別為A3,求

四邊形24MB面積的最小值.

22

例12.(2024?全國?高三專題練習)己知橢圓C:\+方=l(a>6>0)的左、右焦點分別為

月,尸2,左頂點為D,離心率為經(jīng)過耳的直線交橢圓于A8兩點，A&AB的周長為

8.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過直線x=4上一點尸作橢圓C的兩條切線，切點分別為M,N,

①證明：直線MN過定點；

②求“DMN的最大值.

22

備注：若點(1,%)在橢圓c：A+斗=1上，則橢圓C在點(1,%)處的切線方程為

ab

6b2一

變式16.（2024?貴州?高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線。：￡=2刀（°>0）上的點（2,%）到

其焦點尸的距離為2.

（1）求拋物線C的方程；

⑵已知點。在直線八、=-3上，過點。作拋物線C的兩條切線，切點分別為A3,直線

A3與直線/交于點過拋物線C的焦點尸作直線A3的垂線交直線/于點N,當最

小時,的值.

22

變式17.（2024.全國?高三專題練習）已知橢圓C:三+當=1（0>6>0）的左、右焦點分別

ab

為耳,F2,戶（如兒）為C上一動點，|尸耳|的最大值為4+26,且長軸長和短軸長之比為

2.

（1）求橢圓C的標準方程；

⑵若1<%<2,過P作圓。:/+3；2=1的兩條切線心心設34與x軸分別交于〃，N

兩點，求APMN面積的最小值.

變式18.（2024.貴州黔東南?凱里一中校考三模）已知直線丫=辰+1與拋物線C：/二打交

于A,8兩點，分別過48兩點作C的切線，兩條切線的交點為D.

(1)證明點。在一條定直線上；

⑵過點。作y軸的平行線交C于點E,線段的中點為尸，

①證明：E為DP的中點；

②求VADE面積的最小值.

變式19.(2024?新疆喀什?統(tǒng)考模擬預測)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為產(chǎn)，且

/與圓+(y+3)、1上點的距離的最小值為3.

⑴求P;

⑵若點尸在圓M上，PA,網(wǎng)是拋物線C的兩條切線，A8是切點，求三角形R4B面積

的最大值.

變式20.(2024.黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預測)已知拋物線的頂點在原點，焦點

在>軸上，其上一點”(孤1)到焦點的距離為2.

(1)求拋物線方程；

(2)圓E：Y+(y+l)2=l,過拋物線上一點尸伍,九)(/22)作圓E的兩條切線與x軸交于

M,N兩點，求的最小值.

變式21.（2024?廣東茂名?高三?？茧A段練習）已知平面內動點P（尤,y）,P到定點廠（遙,0）

的距離與P到定直線/:x=地的距離之比為更，

32

⑴記動點尸的軌跡為曲線C,求C的標準方程.

⑵己知點M是圓龍2+y2=10上任意一點，過點"作做曲線C的兩條切線，切點分別是

A,B,求面積的最大值，并確定此時點M的坐標.

注：橢圓：/+/■=1（。>6>0）上任意一點戶（外,幾）處的切線方程是：學+孝=1.

22

變式22.（2024?湖北黃岡?流水縣第一中學?？既＃┮阎獧E圓亍+}=lgb>0）經(jīng)過點

過原點的直線與橢圓交于M，N兩點，點G在橢圓上（異于“，N）,且

-k?N=~~-

（1）求橢圓的標準方程；

⑵若點尸為直線x=4上的動點，過點尸作橢圓的兩條切線，切點分別為E,F,求

tan/EPF的最大值.

變式23.（2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考二模）已知拋物線C：%2=24（°>0）的準線為/,圓

O：x2+y2=r2.

⑴當廠=君時，圓。與拋物線C和準線/分別交于點A,8和點M,N,S.\AB\^\MN\,求

拋物線C的方程；

⑵當廠=1時，點■?（%,%乂%>r）是⑴中所求拋物線C上的動點.過尸作圓。的兩條切

線分別與拋物線C的準線/交于。，E兩點，求足〃面積的最小值.

題型五：利用切點弦結論解決范圍問題

丫2?1

例13.(2024.全國?高三專題練習)已知橢圓