2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：弦長(zhǎng)問(wèn)題

第70講弦長(zhǎng)問(wèn)題

知識(shí)梳理

1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式

①若A,3是直線、=履+機(jī)與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去y后得到一元二

次方程/2+/+r=0,則方@="7記也-司=川+公?四.

②若A,3是直線x=〃9+”與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去x后得到一元二

必考題型全歸納

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題

例1.（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知直線/與圓0:/+/=1相

切，且交橢圓C:3+q=l于4&,乂）,3（尤2，%）兩點(diǎn)，若%%=-小貝力4或=

【答案】《回

77

【解析】設(shè)直線/：x=，"y+t,

.直線/與圓。：/+丁=1相切，

將直線/方程與橢圓方程聯(lián)立，得（4+3/n2）/+6：亞y+3/-12=0,

6

所以必必="|，因?yàn)?/p>

7-

4+3m

二匚［、［3/—12622c

所以-----y=—m=l,t=2,

4+3療7

由對(duì)稱性，不妨取m=

6歷

..%+%=----z-,A51=J1+1

故答案為：粵

例2.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知橢圓!+必=1,過(guò)左焦點(diǎn)尸作傾斜角為臺(tái)的直線交

96

橢圓于A、8兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為.

【答案】2

【解析】在橢圓：+y=1中，a=3,b=l,貝Uc=J7萬(wàn)=20，故點(diǎn)尸卜20,0）,

設(shè)點(diǎn)A&,%）、3（W,為），由題意可知，直線AB的方程為y

x=y/iy-2A/2,

x=6y-25/2

聯(lián)立可得12y2-4島-1=0,A=16X6+4X12=144>0,

x2+9y2=9

由韋達(dá)定理可得％+為，%%=一0'

2

所以，|陰=J1+3.J(M+%)2.

故答案為：2.

22

例3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:二+與=1（。＞匕＞0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩

ab

個(gè)焦點(diǎn)為《，工，離心率為3.過(guò)月且垂直于的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，VAZ）E的

周長(zhǎng)是13,則|兇=

【答案】6

【解析】如圖，連接AR。耳,時(shí),

c

因?yàn)镃的離心率為J1,所以上=1：,即a=2c,

2a2

所以加=。2一/=3/,

因?yàn)閨A用忖A囿=a=2c=閨用,所以△明居為等邊三角形,

又皿AF。,所以直線。E為線段AK的垂直平分線，

所以|AD|=|D同，|AE閆理

則VADE的周長(zhǎng)為|451+1他1+1?！陓=|陷|+|明|+|?！陓=|期|+|巡|+|可|+|3|

4

13

/.c=—,

8

而NE￡B=30。，所以直線DE的方程為y=#（x+c）,

22

代入橢圓C的方程5+g=1,得13尤2+8cx-32c2=o,

設(shè)D（X],yJ,E（x2,y2）,則占+%=一^|,陽(yáng)％=一^-，

432,48c,

所以DE|=J，+][（%——二6,

~iT13

故答案為：6.

變式L(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知雙曲線C：—-/=1,若直線/的傾斜角為

3

60°,且與雙曲線。的右支交于M,N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P,若=則點(diǎn)尸的坐

標(biāo)為.

【答案】("0)

【解析】雙曲線雙曲線C：1-丁=1的漸近線方程為>=坐了，

而直線/的傾斜角為60。，則直線/的斜率為石，可設(shè)直線/的方程為>=瓜+利，

與雙曲線方程;一y2=l聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得8Y+6括必+3??+3=0,

由A=108/zz2-32（3m2+3）=12m2-96>0,得加〉2亞或〃？<-272.

3m3

設(shè)N（x2,y2）,則%+%=-2獸>0,-x2=^~>o,

貝所以加<-2行，

|MN|=J1+（回歸一無(wú)21=2,（尤|+%）2—4尤|.%=

=’3"一上=近,解得：m=3（舍去）或〃2=-3,

22

所以直線/的方程為y=Qr-3,令y=0,可得x=?.

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（百,。）.

故答案為：（6,0）.

變式2.（2024.貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:f一咋;2=1（加>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

K，B，點(diǎn)A,8分別在雙曲線C的左支與右支上，且點(diǎn)A,8與點(diǎn)瑞共線，若

|AB|:|AF；|:|B^|=2:2:3,貝.

【答案】I

【解析】因?yàn)榍皘：忸耳|=2:2:3,設(shè)|知卜|明|=乙怛周=]f,

由雙曲線定義可得所以怛耳卜忸閶+2=4,

OQQ

即萬(wàn)/=4,?=|,即恒同=；.

故答案為：

變式3.（2024.四川巴中.高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋

物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)

拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，一條平行于x軸的光線

從點(diǎn)A（5,4）射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)B反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)C射出，則

W=.

25

【答案】v

4

【解析】如圖，由題意可知AB〃x軸，4（5,4）,

將'=4代入V=4尤中得x=4,即3（4,4）,

4-044

又尸(1,0),則=故BC的方程為y=；(x-l),聯(lián)立y2=4x,

4—133

可得417x+4=。，解得A；,或』（此時(shí)C與2關(guān)于x軸對(duì)稱’不合題意）,

則C(*l),故忸c|=J(4-；)2+(4+1)2=等,

故答案為：:.

變式4.（2024?河南鄭州?高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線y=8式的焦點(diǎn)為

F,準(zhǔn)線與*軸的交點(diǎn)為C,過(guò)點(diǎn)C的直線/與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，若

ZAFB=ZCFB,則IA尸1=

【解析】由題意得，F(xiàn)（2,0）,C（-2,0）,當(dāng)直線/的斜率為。時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn),

不合要求,

故設(shè)直線/的方程為尤=：町-2,不妨設(shè)機(jī)＞0,

聯(lián)立y2=8x,可得,2-8沖+16=0,易得A>0,

設(shè)4（/乂）,8仇，％），則%＞。,%＞。，

則%+%=8"?,%%=16,

則ABuJl+m2，

2

BC=71+m?|y2|=Jl+蘇?y2,

,_CFBCAFAB

由正弦定理Z得R--------=---------,---------=---------

sinZCBFsinZCFBsinZABFsinZAFB

因?yàn)閆AFB=NCFB,/CBF+ZABF=n,

2

b,、，、CFBCnn471+m-|y2|%

所以%>%，—=->i

BP——r2,,=——

A尸ABAFy/\+m-y2\%

又由焦半徑公式可知A尸=玉+2=陽(yáng)1—2+2=9%，

則嬴='即my'%=例-4%=44%+%『一二跖，

即16機(jī)=4J64病—64＞解得m=j，

16

則芳+y2=與號(hào)=，解得％=4垂1,

故|AF|=my=手、4—=8,

當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，同理可得到|AF|=8.

故答案為：8

變式5.(2024?新疆喀什??？寄M預(yù)測(cè))已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1,離心率

為2,直線/經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于4、8兩點(diǎn).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與該雙曲線的漸近線垂直，求的長(zhǎng)度.

【解析】(1)因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，

所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，

因?yàn)殡p曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1,

又因?yàn)殡x心率為2,

所以有￡=2n@=,代入式=,中，可得a=l,c=2nk=c2一/=4-1=3,

ac2c2

2

??.C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：尤2-匕=1；

3

(2)

由上可知：該雙曲線的漸近線方程為y=±gx,

所以直線/的斜率為土弓，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于y軸對(duì)稱,

所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.

又因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值小于漸近線斜率的絕對(duì)值，

所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線/的斜率為正，

3

方程為y=g(x-2)與雙曲線方程聯(lián)立為：

2V2

/_乙=1

3

\二9=8爐+4%-13=0,

y=")

113

設(shè)4(石,乂)3(%2，%),則有％+%2=-彳'再入2=一~~?

2o

網(wǎng)=}+￡X卜一%|=W義J(X|一/J=竿義J(X[+%)2_=子X(jué)J；一4義(一。]=3.

變式6.(2024.湖南邵陽(yáng)?高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知拋物線

V=2內(nèi)(？>0)的準(zhǔn)線方程是尤=.

(1)求拋物線的方程；

⑵設(shè)直線'=左。-2)(丘0)與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，若阿兇=2亞，求實(shí)數(shù)上的值.

【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€>2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-勺

所以-￡=-1，解得。=1，

22

所以拋物線的方程為V=2x.

(2)如圖，

設(shè)"(%,%),N(%2，%).

將y=k(x-2)代入y2=2x,

消去>整理得左2f—2Q左2+1h+4左2=().

當(dāng)A=4(2公+1)2-4k2?4左2>0時(shí),

2(2二+1)止+2.…

x+x=

l2k1k2

|A/A^|=Jl+k~[無(wú)]_x2|=Jl+k-J(%+*2)2—4國(guó)尤2

(4左2+2丫

\MN\=y]l+k2-16=2710'

化簡(jiǎn)得：(1+左2)(16/+4)=40〃，解得代=1，

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)A>0,故％=±1.

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題

22

例4.(2024?寧夏銀川?銀川一中?？家荒?如圖所示，由半橢圓￡：?+方=i(y40)和兩

個(gè)半圓G：(x+1)2+9=1(”0)、G：(無(wú)一1)2+丁=1(二。)組成曲線C：b(x,y)=0,其中

點(diǎn)A，4依次為G的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為C1的下頂點(diǎn)，點(diǎn)與月依次為G的左、右焦點(diǎn).若

點(diǎn)4,用分別為曲線的圓心.

⑴求G的方程;

⑵若過(guò)點(diǎn)耳，K作兩條平行線//分別與C|,C2和C1,C3交與M,N和P,。，求|MN|+1PQ|的

最小值.

【解析】(I)由兩圓的方程知：圓心分別為G(TO)，G(1,O)，即耳(—1,0),1(1析),

2

；./?+1=4,解得：從=3,G:?+《=l（y40）.

（2）由題意知：\MN\+\P^=\MF\+\PF^+2.

22

Q4〃4，.?.由對(duì)稱性可知：W蜀+|尸閶為橢圓寧+《_=1截直線4的弦長(zhǎng),

22

設(shè)/2：x=〃zy+l,其與橢圓?+=1交于點(diǎn)(看,無(wú))和伍，外)

x=my+1

由工+匚1得:（3加2+4）丁+6沖-9=0,則A=48（3機(jī)2+3）＞0

143

6m9

?二%+%=一一

3m2+4x%=3m2+4

y+%）2-例%」2（療+1）=4_

,阿用+|p周=Ji+.2

"R"23M+43m+4

當(dāng)〃z=0時(shí)，阿胤+|「可取得最小值4-1=3,.?.|MN|+|PQ|的最小值為3+2=5.

例5.（2024.河南安陽(yáng).安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：一般地，當(dāng)九>0且4旬時(shí)，我們

2222

把方程左+齊=X（a>b>0）表示的橢圓C，稱為橢圓2+a=1（a>6>0）的相似橢圓.已

知橢圓C:土+y2=l,橢圓Cz（4>0且2大1）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓Cz上異

4

于其左、右頂點(diǎn)",N的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)2=2時(shí)，若與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線。4恰好相交于點(diǎn)尸，直線4,4的

斜率分別為《&，求用傷的值;

（2）當(dāng)彳=e?（e為橢圓C的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓C交于點(diǎn)48,直線PN與橢圓

C交于點(diǎn)D,E,求|A5|+|DE|的值.

【解析】⑴設(shè)戶值,幾），則直線4的方程為y—%=尢（》一%），即y=5+%-也，

記/=%-左遇0，則人的方程為，=《x+f,

將其代入橢圓C的方程，消去兀得（4k+1）尤2+8勺江+4/—4=0,

因?yàn)橹本€\與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以A=（8A"）?—4（4左：+1）（4產(chǎn)-4）=0,即46一/+1=0,

將r=%-飆代入上式，整理得（片-4）6—2尤0%勺+y；-1=0,

同理可得，（*-4）后-2尤0%左2+y；-1=。，

所以匕,融為關(guān)于m的方程（片-4）加2?2%%加+y；-1=0的兩根，

所以，

無(wú)。-4

22

又點(diǎn)P（%幾）在橢圓G：土+匕=1上，

82

所以北=2-

（2）由橢圓C:土+y2=i,得其離心率e=——,

42

3工+匕-1

所以當(dāng)2=e2,即彳=：時(shí)，橢圓C，的標(biāo)準(zhǔn)方程為可+后一I

44

所以，M（-V3,0）,TV（73,0）,恰好為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，

易知直線尸M,PN的斜率均存在且不為0,

所以二仁.高rF'

X2

/\°I-1Qr

因?yàn)閼簦?幾）在橢圓C/上，所以33一，即￥=三一工

4

所以總心=-；-

設(shè)直線的斜率為％,則直線PN的斜率為-，

4k

所以直線PM的方程為丁=/1+百'

,得（1+4左2）尤2+8辰2%+1242—4=0,

12左2-4

=---------T

設(shè)4&，乂），3（々，%），則占+%=；8坐12

1十4/C1+4左2

所以|AB|=J1+萬(wàn)門

4（1+左2）

1+4左2

1+16〃

同理可得|Z）E|=

1+4/

4。+公）1+16公

所以|Aa+|OE卜=5-

1+4左21+4標(biāo)

22

例6.（2024.江西九江?統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓￡*+}=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分

別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)A為G上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（非左右頂點(diǎn)），連接A耳并延長(zhǎng)交G于點(diǎn)8,且

△AB鳥的周長(zhǎng)為8,△△耳工面積的最大值為2.

⑴求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若橢圓C2的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為耳耳，且C?與G的離心率相等，尸為與C2異于月的交點(diǎn),

直線尸￡交G于兩點(diǎn)，證明：IABI+I跖VI為定值.

【解析】（1）AB月的周長(zhǎng)為8,由橢圓的定義得4a=8,即a=2,

又△△￡與面積的最大值為2,=2,即bc=2,

a2=b2+c2,.-.b2+c2=4,?,-Z?2+^=4,解得6=0，

22

橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+工=1.

42

（2）由（1）可知耳卜后,0）,心（忘,0）,橢圓G的離心率e=f=￥，

設(shè)橢圓c?的方程為，+,=i,則有或=忘，,解得少=1,

橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+丁=1,

設(shè)尸（%，%），A（占,%）,3。2，%），,點(diǎn)尸在曲線C2上，.?.x；+2y；=2,

依題意，可設(shè)直線A3,的斜率分別為％,質(zhì),

則AB,MN的方程分別為y=匕1+后），V=用［―后），

1

于是k.k=%%=%=______

2

'x0+V2X.-41%-2片-22

y=%](x+0)

聯(lián)立方程組尤2：,2,消去＞整理，得（2婷+1優(yōu)+4岳）+4片—4=0,

——+—=1

142

%+4

2儲(chǔ)+1

同理可得：|地|=猾3

Z/C?II

8%；+2

k、=----

-2kJ24+1

..■I4公+48k：+2.

由.r上加+加=6為r定值.

丫2?1

變式7.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓三+方=l(a>b>0)的離心率為且點(diǎn)

〃[1，j在橢圓上.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)尸?作兩條互相垂直的弦A8與CD,求|AB|+|CD|的取值范圍.

【解析】(1)?.%=￡==，所以

a2a4

設(shè)橢圓方程為工+匯=2,將代入，得X=L

43V2；

22

故橢圓方程為上+匕=1.

43

(2)①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，

易得其中一條弦為長(zhǎng)軸2a=4,另一條弦長(zhǎng)為橢圓的通徑為里=3,BP|AB|+|CD|=7；

a

②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)4(芯,y)，B(x2,y2),

設(shè)直線AB的方程為y=%(x-l),則直線CD的方程為y=-y(x-l),

將直線A3的方程代入橢圓方程中，并整理得：

（3+442）了2一8人2了+442-12=0,

8k24k2-12

國(guó)+當(dāng)XX,=---------丁

3+4左2123+4左2

12儼+1）

,,|AB|=\Jl+k2\x—x,|=

x3+4k2’

耳*"12&+1）

同理,

\CD\=-

.43^+4

,,n（k2+i）n（ic+\\84（F+I）

\AB\+\CD\^--——J+—------=----~；——，

11113+4k-3k2+4（3+4燈（3左2?+4）

令f=F+l,則，>1,

lABhm-84』84184

.J'??（4?-1）（3Z+1）⑵2+1,1]+49,

'：t>l,Z.0<-<1,

1

.?強(qiáng)----<一

4912,

+一

4

.-.y<|AB|+|CD|<7,

48

綜合②可知，|AB|+|CD|的取值范圍為y,7.

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題

例7.（2024?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:;/=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-26），直線

4:丁=履+加（人270）與C交于A,3兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)。）.

⑴若。4?。2=0，證明：直線4過(guò)定點(diǎn).

（2）已知k=2,直線4在直線人的右側(cè)，〃/4，4與4之間的距離d=J?,4交C于M,N

兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在“J使得IW|A8|=1O?若存在，求垃的值；若不存在，說(shuō)明理

由.

【解析】（1）證明：將點(diǎn)（2,-2"）代入/=2px,得24=4°,即。=6.

V2=121

聯(lián)立｛'得_12y+12m=0,

[y=kx+m,

由物7#。，設(shè)4（百,％）,B（x2,y2）,則乂%=空，%%=日戈="必）=*

k121212144k2

因?yàn)椤?-OB=0，所以&々+%%=勺+*^=°恒成立，貝!1加=一12左，

kk

所以4的方程為y=Mx-12）,故直線4過(guò)定點(diǎn)（12,0）.

x+x=-m

（y2=12Xi2+3,

（2）聯(lián)立＜'得4f+（4機(jī)一12江+加=0,則＜m2

[y=2x+m,石馬----,

且A=（4加一12）2-16加2=48（3—2加）＞0,即機(jī)

|AB|=J1+2~上-%|=Jl+2~+%2）-4XJ%2=-'/5,。9-6rn，

^l2:y=2x+n,同理可得|MN|=，.j9-6〃.

m—TIr~

因?yàn)橹本€4在4的右側(cè)，所以〃〈根，則=辨,即〃=加一5.

所以|的|一|4例=括［,9-6（加一5）-19-6”“=10,即J39-6"?=2^^/^嬴,解得

31331

因?yàn)槲?，所以滿足條件的加存在，加―.

例8.（2024?云南保山?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線G：V=4尤的焦點(diǎn)為橢圓C?：

22

二+當(dāng)=1（〃>5>0）的右焦點(diǎn)E點(diǎn)尸為拋物線G與橢圓Q在第一象限的交點(diǎn)，且

Ia”b.

⑴求橢圓G的方程；

⑵若直線/過(guò)點(diǎn)凡交拋物線G于A,C兩點(diǎn)，交橢圓C?于2,。兩點(diǎn)（A,B,C,。依次

排序），且M。-怛。|=石，求直線/的方程.

【解析】（1）由拋物線丁=4x可知：F（l,0）,

CCQ

故由陽(yáng)=15得：附=s+l=],/=;,故第=],則尸

3

a2-b2=l

22a2=4

則對(duì)于土7+2=1有:，解得

424,2

a"b訝+b=3'

22

故橢圓方程為：—+^=1;

43

1>2

（2）過(guò)點(diǎn)/的直線/的斜率不存在時(shí)，/:x=l,

3

所以直線/在點(diǎn)P的右側(cè)，與兩曲線的交點(diǎn)順序變成A,B,D,C的順序,

不滿足題意，如下圖；

所以過(guò)點(diǎn)廠的直線/的斜率存在，

故設(shè)直線/的斜率為k,則直線方程為y=k（x-l）,

聯(lián)立拋物線方程：0加'整理得：-心+4）"=。,

,4

設(shè)A(X]，M),C(x2,y2),貝Ux+XzuZ+i"

故|AC[=%+N+2=4+,

y=k{x-X)

聯(lián)立y2,整理得(3+4%2)/-8左2尤+4/-12=。，

—+—=1

8F4/-12

設(shè)8（W，%），。（了4，”），則$+%=

3+4左23+4F

則IBD\=J(%3-%)2+(%-%)2=J[+左2?'(演+又)2―4龍3%

虱3+4/J3+4k23+4/

又|AC|-怛&=耳，

即4+:」2（1+%：）=處,整理得38/—43公一66=0,

七3+4s11

解得/=2,因?yàn)椤福?，￥，尸?，°），而1>|，

且A,B,C,。依次排序，所以々>0,如下圖,

故左=加，故直線/的方程為y=J5（尤-1）.

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題

例9.（2024?重慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線0￡-4=1（°>0力>0）的離心率是出，點(diǎn)

ab

F是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)尸到雙曲線C的一條漸近線的距離是2.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵設(shè)點(diǎn)M在直線x上，過(guò)點(diǎn)M作兩條直線4,，直線4與雙曲線C交于A3兩點(diǎn)，直

線4與雙曲線C交于。E兩點(diǎn).若直線AB與直線DE的傾斜角互補(bǔ)，證明：—

【解析】（1）根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)歹（G。），其漸近線方程為法±3=0,

因?yàn)榻裹c(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離是2.

-Md

所以2=/11,,

Jb+a

因?yàn)殡p曲線C的離心率是逐，

上=逐

a

\bc\仿=1,

所以，2=r^,解得匕；

yJb2+a23=2.

c2=a2+b2

2

所以，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V一匕=1.

4

設(shè)Mg"），

（2）證明：由題意可知直線4的斜率存在,

直線4：＞=/[了-口+人必看,％）,"%，%）.

1~)

7/1、

y=k(x-—)+t

4)x2+12H—；左2)x+\上2—；笈+產(chǎn)+4=0,

聯(lián)立2整理得伊-

X----------1

14

1

二匚a2kt—k9—k2--kt+t2+4

所以'r+r2rr._162________.

2

人1十人2—k—4，々人21k2-4

廣代+1)卒2-4&+々)+16」4|L4|)

—

故|A/A|,|Affi|Xj——x2*

(小+1)(4/+15)

設(shè)直線，2的斜率為玄，同理可得MD\-\ME\=-----i-L.

1114小_4

因?yàn)橹本€AB與直線DE的傾斜角互補(bǔ),

所以左=—《，所以廿=心，

貝?伊+產(chǎn):0=1）（4入15）,

BPAM-MB=.A/E,

M4|ME

所以=?

MD\MB

例10.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓A：（X+2）2+/=9,圓3：（x-2）?+/=l,

圓C與圓A、圓B外切，

⑴求圓心C的軌跡方程民

⑵若過(guò)點(diǎn)B且斜率上的直線與E交與/、N兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸與點(diǎn)p,

\MN\

證明謁的值是定值.

【解析】（1）因?yàn)閳AC與圓A、圓8外切，

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)（X，V）,圓C半徑為r,

則|C4|=r+3,|CB|=r+l,

所以|C4j-|CB|=2<4,

所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，

又2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2—c2—a2=3,

22

所以其軌跡方程為[-]=1,xe（l,+。）；

（2）設(shè)直線為丫=左（彳一2）,Af（與另），N（X2,%），

y=k^x-2）

2

聯(lián)立2y，消去y得：（3-燈爐+4/尤-軟2_3=0,

13

-4k2

X+X,=---7

123-k2

所以

-(4)t2+3))

“也=3-E'

’2k26k)

設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為G,則G2_3,12—3J

22

所以\MN\=yjl+k|xj—x2\=Jl+左J(X]+%4-4元1/，

6+6k2

3-k2

直線GP的方程為:y-居一把-恚:

當(dāng)『時(shí),

所以附=磊一2，

6+6人之

所以\M胃N\=3-k2

-8p~~=1.

k2-3-

22

例11.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:0-去=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)為

廠（6,0）,過(guò)點(diǎn)尸與x軸垂直的直線4與雙曲線C交于跖N兩點(diǎn)，S.\MN\=4.

⑴求C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)4（0,-1）的直線4與雙曲線C的左、右兩支分別交于。，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條

漸近線分別交于G,H兩點(diǎn)，若心”|=川￡?同，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

34-

了一鏟一1

【解析】（1）由題意得

a2+b2=3

a2=1,

解得

b1=2.

2

故C的方程為一一匕=1.

2

（2）顯然直線4率存在，設(shè)直線4的方程為產(chǎn)質(zhì)-1，。（小乂），雙孫％），

y=kx-1

聯(lián)立2,^（2-k2）x2+2kx-3=0

%2---=1f

2

因?yàn)?與雙曲線C的左，右兩支分別交于。，E兩點(diǎn),

2-廿wo

3

故，x,x.=—；-<-0-,

'2甘-2

=8（3-左2）>:0

解得-應(yīng)＜k＜插,

2k

此時(shí)有再+%2=-5-.

K一，

I。目=，1+/,,-%21=J1+-2，石+兀2)—4國(guó)入2，

y=kx-l11

由，y=g解得%==‘同理可得%二U7T

1120J+/

所以|6"|="平

k-亞k+丘~2—k2

,,..GH\1

因?yàn)?川=40同，^2=—=

因?yàn)橐?＜/＜及，故等4九＜1,

故實(shí)數(shù)彳的取值范圍是#，1]

變式8.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知雙曲線C的漸近線方程為y=±百x,右焦點(diǎn)

尸9,。)到漸近線的距離為g.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過(guò)廠作斜率為左的直線/交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交無(wú)軸于。，求

工四1%土梏

證：|即|為超瓦

【解析】(1)設(shè)雙曲線方程為'一丁=處彳＞0)

2

由題知c=2「.§+X=4n2=3

2

???雙曲線方程為：/—匕=1

3

2

(2)設(shè)直線/的方程為k依-2)代入尤2一匕=i

3

整理得(3-左24+4左2彳一4左2-3=0,設(shè)4(%,乂),8(%,%)

4k2-4k2-3

所以：%+尤2=_（3_.），占尤2=

由弦長(zhǎng)公式得：I+k2-J（X]+々）2-4占.=:f；：）

設(shè)A8的中點(diǎn)P（x0,九）

貝微。=?一番，代入/得：L盤

AB的垂直平分線方程為y=-_L（x+，）—_J

k3-k3-k

―8左之..—8k26（1+左之）AB

令廣。得程=美，即|如上蓬-2=U，所以：方=1為定值?

22

變式9.（2024?河南鄭州?鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C:j+與=1（。>b>0）

ab

的左、右焦點(diǎn)分別為耳心，且⑶閶=4.過(guò)右焦點(diǎn)工的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，Am的

周長(zhǎng)為8后.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

|AB|

⑵過(guò)原點(diǎn)。作一條垂直于I的直線4,4交c于P,。兩點(diǎn)，求留的取值范圍.

【解析】（1）由忸6|=2c=4,得c=2,

又，4期的周長(zhǎng)為8應(yīng)，即4a=80，

a=2-\/2,c=2,護(hù)=a2—c~=8—4=4,

22

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為乙+二=1.

84

（2）設(shè)人（不，％）,6（%2，%），。（%3，%），。（九4，%），

當(dāng)直線A3的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線A8：x="+2,直線P0:y=Vx,

聯(lián)立直線AB和橢圓C的方程，并消去x整理得

(/2+2)y2+4ry-4=0,

A=16r+4?4(/+2)=32?+32>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得%+%4=t-*,%必=-4六，

所以|A.=J(1+/)[(X+%)—%%]=4，(：J)?

聯(lián)立直線PQ和橢圓c的方程，并消去y整理得

(1+2產(chǎn)卜?_8=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得無(wú)3+.%=0,$匕=一事^，

令〃=/+2(〃22),則/二〃-2,

不妨設(shè)〃")=工產(chǎn)-3)

w>2,

1I-

??一￡°，3，

“12」

\AB\「1~\

綜上可得，留的取值范圍為匕,0r.

22

變式10.（2024.陜西.統(tǒng)考一模）在橢圓C：A+《=l（a>b>0）,c=2,過(guò)點(diǎn)（0,6）與

cib

（a,0）的直線的斜率為-

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)尸為橢圓C的右焦點(diǎn)，尸為直線x=3上任意一點(diǎn)，過(guò)尸作PF的垂線交橢圓C于

\MN\

N兩點(diǎn)，當(dāng)尋取最大值時(shí)，求直線MN的方程.

|P典

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)（0㈤與（。,0）的直線的斜率為-3，所以2=-3，即一后，

3-a3

又c=2,BP6Z2=Z?2+4,解得/=2,〃2=6.

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是土+工=1.

（2）如圖所示

由題知尸（2,0）,設(shè)點(diǎn)尸（3,〃z）,則直線FP的斜率為％=，〃.

當(dāng)力沖0時(shí)，直線MN的斜率左的=-一，直線的方程是*=-沖+2；

當(dāng)％=0時(shí)，直線MN的方程是x=2,也符合龍=-沖+2的形式，

22

將直線MN的方程％=_根）+2代入橢圓二+二=］方程得2+3）3；2_4妙_2=0,且

62

A=（-4m）2+8（m2+3）=24m2+24>0,

設(shè)"（％,另），N（X2，%），則%+%=~2Qf%%=2o9

m+3m+3

所以|MN|=，（七一%）2+（%-為>=J（*+1）（%一%）2

=J"+i）［（M+yJ-4yH=卜2+1>^^**

,_____,_____|MN|可t@一扃.

又陽(yáng)=荷+i,令7療+i”i）,則「刊一“尸石一"？一？應(yīng)一^，

t

2._____

當(dāng)且僅當(dāng)r=7,即r=0時(shí)等號(hào)成立，由r="H=JL解得病=1,

\MN\

即當(dāng)相=±1時(shí)取最大值時(shí)，此時(shí)直線MN的方程為尤+y-2=0或x