2025高考數(shù)學壓軸導(dǎo)數(shù)大題訓練：常見函數(shù)模型的應(yīng)用（學生版+解析）

專題12常見函數(shù)模型的應(yīng)用

考情分析

有一些常見的函數(shù)，如>=111(無+1)-尤,y=e，'-x-l等，在導(dǎo)數(shù)解答題常常出現(xiàn)其身影，在導(dǎo)數(shù)解答題中或

利用其性質(zhì)進行求解，或以其為模型進行改編命題，無論以哪一種方式命題，掌握這些函數(shù)的性質(zhì)，并有

目的的使用這些函數(shù)性質(zhì)解題，能迅速找到解題思想，并使問題得以解決.

解題秘籍

(一)常見對數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)/(x)=ln(x+l)-x在(-1,0)上是增函數(shù)，在(0,+8)是減函數(shù)，/(x)在x=0處取得最大值0,

2.〃尤)=ln尤的圖象與直線y=x-l在x=l相切，以直線y=x-l為切線的函數(shù)有：y=lnx,y=eA-1-1,

y=x2-x,y=l--,y=xlnx.

X

..1

3.與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有:+——,lnx<x,lnx<5/x,

Inx<—)(x>1)，In%〉]1%—](0<x<1).

4.利用In(x+1)Wx可得到In("+1)-In”<工，再借助疊加法可得到一些復(fù)雜的數(shù)列不等式.

n

【例1】(2024屆陜西省學林高考全真模擬考試)已知函數(shù)/(x)=alnx—%+l(acR),g(x)=sinx—x.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵證明：g(K+J<。(〃￡N*);

(3)證明：ln2>sin-一+sin——+sin^—+---+sin—(〃《N*).

n+1n+2n+32n

【解析】⑴函數(shù)的定義域為(0,+8)，r(x)=2-1=三支，

①當時，r(x)<0恒成立，

所以函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+e);

②當a>0時，由/'（x）=。，得1=〃，

當）￡（0,。）時,/'（%）>0；當％￡（。,+8）時,/,（%）<0.

所以函數(shù)/（力的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,。），單調(diào)遞減區(qū)間為（弓內(nèi)）.

綜上，當aVO時，函數(shù)〃力的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+”）；

當a>0時，函數(shù)/（0的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,。），單調(diào)遞減區(qū)間為

(2),/g(x)=sinx-x,g'(x)=cosx—l?0，恒成立,

g(x)在R上單調(diào)遞減，又〃cN*,「OV:]玉g，，g[〃+i卜g⑼二0.

(3)由(1)知，當a=l時，f(x)<0,即lnx<x—1,「.InJw'-l,

XX

]Y—1Y

二.In%21—=----,「.ln(%+l)N----(當x=0時"="成立).

XXX+1

人1/*\](1八1口口1〃+11

令x=—(neN),/.In—+1>----,即In---->----,

n\nJn+1nn+1

ln(H+l)-lnn>―彳，從而ln(n+2)—ln(w+l)>—彳,

11

In(n+3)-In(n+2)>In(2n)—In(2n—1)>一

n+32n

累力口可得ln（2〃）一In九〉」一+」一+―一+???+」一,

n+1〃+2〃+32n

皿c1111

即In2>-----1-------------1------------F??---.

n+1〃+2n+32n

由(2)知，g(x)=sin元一％在(0,+e)是遞減函數(shù),.*.g(x)<g(O)=O,即sinx<%,

1111.1.1.1.1

----------1-------------1------------1-------1------->sin-----1-sin-----1-sin-----1-------i-sin——.

n+1n+2M+32nn+1〃+2n+32n

In2>sin-----bsin-----Fsin-----1---Fsin——(〃cN*).

n+1n+2〃+32n

（二）常見指數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)=e*-尤-1在（_oo,0）上是減函數(shù)，在（O.+oo）上是增函數(shù)，/（X）在x=0處取得最小值0,

2.與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：ex>x+l,ev>x,er>ex,er<^—(x>0),el<--(x<0),

1—XX

e">l+x+^x2(x>0).

【例2】（2024屆河北省衡水市部分示范性高中高三下學期三模）已知〃%）=]-%.

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間和最值;

(2)定理：若函數(shù)Ax)在(。力)上可導(dǎo)，在團，切上連續(xù)，則存在gw(a,6),使得尸(■=〃?一/⑷.該定理

b-a

稱為“拉格朗日中值定理”，請利用該定理解決下面問題：

i4T『e"zn

右0<機<〃,求證：------<(m+l)-----.

nmynmJ

【解析】(1)r(x)=ex-l,令尸(x)=0,解得％=0,

當X￡(—oo,0)時，/(x)<O"(x)單調(diào)遞減；當%￡(0,+oo)時，/(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

當x=0時，/(九)取得最小值1,無最大值；

QmQn

(2)要證------<0+1)2-----,只需證me"-〃e"<(M+1)2(加一九)，因為0<根<〃，

nm\nmJ

故只需證”上吧〉(祖+1)2.

m-n

g(x)=XQ\X>0),顯然gO)在O,")上可導(dǎo),在［狼網(wǎng)上連續(xù)，

故由拉格朗日中值定理知存在Je(m,n)，使得g?=me，"-ne",

m-n

而g'(x)=(x+l)e*>O,g'(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

因為根<J<〃，故g'G)>g'O),即g'G)>(/w+l)e"',

故只需證("+De"'N(m+1)2即可，因為加>0,故只需證e'"2機+1.

由(1)知e，2x+l恒成立，因此原命題得證.

(三)常見三角函數(shù)模型

1.函數(shù)/(x)=sinx-x在(0,+co)上是減函數(shù)，函數(shù)g(無)=(工2+cosx在(0,+co)上是增函數(shù)(g1x)=-〃x))

2.與三角函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：sinx<x(x>0),sinx<x<tanx^O<x<^,sinx>x-^-x2,

I--%2<cos%<1--sin2%.

22

【例3】(2024屆江西省宜豐中學高三下學期模擬)設(shè)“X)=G：2+COSX-1,aeR

⑴當“時，證明：/(%)>0;

(2)證明：cos—+cos—+L+cos—>n--(HGN\H>1).

23n3v7

【解析】(1)因為/(%)=o?+cos九-1定義域為R,

所以/(一%)=加+cosx-l=/(x),

所以/'(X)為定義在R上的偶函數(shù)，下取尤20,

可知/,(x)=x-sin%,令夕(x)=/'(x)=x_sinx,^(x)=l-cos%>0,

則。⑴在［0,+功內(nèi)單調(diào)遞增,可得夕⑺>姒0)=0,

即/'⑺"在［0,+8)內(nèi)恒成立，可知/(x)在［0,+句內(nèi)單調(diào)遞增,

所以/(元)在［0,+e)內(nèi)的最小值為/(。)=0,結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知：”尤)20.

(2)由(1)可得：/(x)=1x2+cos^-l>0,當且僅當x=0時，等號成立，

BPcosx>l--x2,-$?x=—,n>2,neN*,貝!]COSL>1——>當〃22時，

2nn2n-

1.1.2.2,(11_1,f11

cos—>1------=1------>1-----z——=1------------------,BPcos—>1---------------------

n2n24n24H2—1\2n—\2n+l)n\2n—l2n+l

—

cos->l-

n2〃-12n+lJ

相力口可得：cos；+cosgd----Feos—>

2n+lJ32〃+l

因〃22,貝！]---->0,以cos—Fcos—FL+cos—>"—,

2〃+l23n3

即cos—+cos—H----1-cos—>n——(nG>1

23n3V

eIn%-x

(四)y=-----或>=-----

xInx

y=也在(0,e)上是增函數(shù)，在(e,+s)上是減函數(shù)，x=e時取得最大值工，利用了=匣性質(zhì)解題易錯點

xex

是該在(e,“o)上是減函數(shù)，但該函數(shù)在(e,+co)上沒有零點，因為x>e時y>0.

【例4】(2024屆海南省定安縣高三上學期考試)已知函數(shù)/(x)=lnx-2依.

⑴若x=l是/(x)的極值點，求。的值；

⑵若a=l,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑶若7(x)40恒成立，求a的取值范圍；

【解析】(1)由/(x)=lnx—26，得尸(力=：-2。=^|^,

因為x=l是/*)的極值點，

所以/''(1)=0,即1—2。=0,所以a=；,經(jīng)檢驗符合題意.

11—Or

(2)若4=1,/'(%)=——2=------,XG(0,+(X)).

當l—2x<0,即xN1時,r(x)=—<o,所以〃x)在1+8］上單調(diào)遞減;

2xL2)

當xe(0,￡|時，/(無)=上手>0；在(0,；］上單調(diào)遞增,

所以/(x)在巧上單調(diào)遞增，在［,+小單調(diào)遞減，

(3)/(x)的定義域為(0,+oo),若/(尤)4。恒成立，則lnx-2依W0恒成立，

即2?！怠愠蓙V，令g(%)=—,只需2〃Ng(%)max，又，⑺=1--2------=-L

XXXX

令g'(%)=。得%=e,%￡(0,e)時，則g(%)==In單X調(diào)遞增；

x

Inx

%￡(e,y)時，g'(x)v0,貝ljg(%)=—單調(diào)遞減；

X

所以2aNg(x)1mx=g(e)=,，解得：a>^-

e2e

(五)y=-^y=

xe

討論y=0的性質(zhì)要注意XHO,該在(-8,0)和(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增

X

【例5】(2024屆上海市格致中學高三下學期三模)已知/(x)=e*-依-1,aeR,e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴當°=1時，求函數(shù)y=/(x)的極值；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)+l=0有兩個不等實根，求〃的取值范圍；

(3)當a>0時，若滿足/(尤］)=/(%2)(占<%)，求證：尤i+X2<21na.

【解析】(1)當a=l時，f(x)=e-x-\,定義域為R,求導(dǎo)可得/，(x)=e-1,

令T(x)=O,得x=0,當x<0時，r(x)<0,函數(shù)〃x)在區(qū)間(7,0)上單調(diào)遞減，

當尤>0時，/'(力>。，函數(shù)/(力在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增，

所以產(chǎn)/⑺在x=0處取到極小值為。，無極大值.

(2)方程/(x)+l=e*-歐=0,當x=0時，顯然方程不成立，

所以xwO,則°=f，方程有兩個不等實根，即>與g(x)=巨的圖象有2個交點，

XX

g，(x)=(x?e',當無<?；?<》<1時，g，(x)<0,

g(x)在區(qū)間(-力,0)和(0,1)上單調(diào)遞減,

并且xe(e,0)時，g(x)<0,當xe(0,l)時，g(x)>0,

當X>1時，g'(x)>0,g(尤)在區(qū)間(I,+8)上單調(diào)遞增,

尤>0時，當尤=1時,g(x)取得最小值,g(l)=e,

作出函數(shù)y=g(x)的圖象，如圖所示：

因此與8(”=.有2個交點時，a>e,故”的取值范圍為(e,+s).

(3)證明：a>0,由r(x)=e*-<7=0,得尤=lna,

當x<lna時，當x>lna時，

所以函數(shù)y=/(x)在(-々Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

由題意&<尤2，且/(%)=/伍)，則為e(-8,lna),/e(lna,+ao).

要證Xi+/<21na,只需證為<21na-尤2，

而百<2加3-彳2<lna,且函數(shù)尤)在(一a,Ina)上單調(diào)遞減，

故只需證/(石6/⑵皿-%),又/(西六/伍)，所以只需證/伍)>/(2m。-々)，

即證〃動一J(21na-%)〉0,令〃(無)=〃x)-〃21na-x),

即〃(x)=e*-ax-1-[e"-*-a(21na-x)-1]=eA-a2e~A-2ax+2alna,

//(x)=e*+<rex-2a,由均值不等式可得h\x)=e*+a2e-x-2a>2yjex-a2e~x-2a=0,

當且僅當/=熱-，，即x=lna時，等號成立.所以函數(shù)人(另在R上單調(diào)遞增.

由x2>lna,可得/z(%2)>，(lna)=0,即/(x2)-/(21n<7-x2)>0,

所以/(玉)Afina—/)，又函數(shù)/(%)在(一”，ln〃)上單調(diào)遞減，

所以再<21n〃一9,即芯+%2<21ni得證.所以—〃>e,即av-e,即〃.一嗎―e).

典例展示

【例1】(2024屆江蘇省連云港市東?？h石高三下學期5月模擬)已知函數(shù)〃x)=e'-gx2-x.

⑴求函數(shù)〃x)在x=l處的切線方程.

⑵證明：Vxe[0,-Ko),/(x)>sinx.

【解析】(1)由/(x)=e'—gx2—x,可得/，(%)=

13

/,(l)=e1-l-l=e-2,X/(l)=e'--xl2-l=e--,

31

所以函數(shù)/(無)在x=l處的切線方程為y-e+3=(e-2)(x-l),即(e-2)尤-丫+,二。.

(2)由/(尤)=e*—(尤2-尤，可得尸(x)=e*-x-1,令〃(x)=e*—x—1,可得/z'(x)=e*-1.

當xe[0,+s)時，/f(x)=e'-l>0,所以->)=e'在[0,+8)上單調(diào)遞增，

X/z(x)>/z(0)=e0-0-1=0,Bp/'(x)=ex-x-l>0,

所以/(x)=e'-g/一x在[0,+⑹上單調(diào)遞增，

所以〃尤)W/(0)=e°-：x()2-0=1,當x=0時，/(0)=l>sin0=0,

當％>0時，/(x)>l>sinx,綜上所述：Vxe[0,-Hx)),/(x)>sinx.

【例2】(2025屆河北省“五個一”名校聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=alnx-x.

⑴討論〃尤)的單調(diào)性；

(2)證明：當”>0時，/(x)<^-1.

【解析】(1)由題函數(shù)定義域為(0,+"),尸(x)=：7=亍，

故當&W0時，/'卜)<0恒成立，所以函數(shù)/(無)在(0,+動上單調(diào)遞減；

當a>0時，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，令/'(x)=o=>x=a,則xe(O,a)時，尤時,

/'(x)<0,所以函數(shù)在(OM)上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減，

綜上，當aWO時，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減；當a>0時，函數(shù)〃元)在(0,。)上單調(diào)遞增，在(0+⑹上

單調(diào)遞減.

(2)由(1)當“>0時，函數(shù)“X)在(OM)上單調(diào)遞增，在(。,四)上單調(diào)遞減，

故/(x)W/(a)=alna-a在(0,+8)上恒成立，

a—1(a>0)證aIna—aV[—]—1(。>0),

故證

即oln(3j<^—jT(a>0)oln(4jj+1<0,

令g(x)=lnx—x+l(x>0),貝！jg'(無)=,-1=^^(尤>0),

故當xe(O,l)時，g<x)>0；xe(l,+co)時，g<x)<0,

所以g(尤)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)Vg⑴=0在(0,+。)上恒成立，故In+1V0,

所以當a>0時，-1.

【例3】已知函數(shù)/(x)=xe'—e，+l.

⑴證明：f(x)>0.

(2)已知“eN*,證明：sin^—+sin——+L+sin—<ln2.

n+1n+22n

【解析】(1)函數(shù)〃x)=xe-e，+l的定義域為R,y'(尤卜起。

由>0得x>0,由/'(x)<0得x<0,

故;■(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，

故〃尤)的最小值是"0)=0,所以〃x)ZO.

(2)由(1)得，xe'-ex+l>0.令t=e3其中/>0,則//一/+120,即In此1」，

人n+kEIn+k1

令—一1二，貝Hn——>--)

n+k-1n+k-1n+k

所以---<In'+—=In(〃+左)一In(〃+左一1),kG.

n+kn+k-11'

令g(x)=x-sinx(x>0),貝!Jg'(%)=1-cos%20且不恒為零，

所以函數(shù)g("在(。,+8)上單調(diào)遞增，故g(x)>0—sin0=0,貝Ijsin犬vx(x>。).

所以sin---<---<In'+"=\n(n+k)-ln(n+k-l),左金[1,2,…

n+kn+kn+k-1

所以sin———卜sin--——I----bsin—

n+\n+22n

<[ln(K+l)-ln〃]+[ln(〃+2)-ln(〃+l)]H----b[ln2n-ln(2n-l)]

=In2〃一In〃=In2,問題得證.

【例4】(2024屆江蘇省蘇州市八校高三三模)已知函數(shù)/(x)=cosx,g(x)=a(2-1).

(1)。=1時，求尸(%)=/(%)-g(%)的零點個數(shù);

(2)若/(%)>g(x)恒成立，求實數(shù)，的最大值；

(3)求證:^sin^-4j>T(九一2左。(左GR).

【解析】(1)當々=1時，g(x)=2-x2,貝!!尸(%)=/(%)-@(%)=35兀一2+/，

所以尸'(％)=—sin%+2%,令。(%)=—sin尤+2%,則/(％)=—cos%+2>0,

h(x)=-sinx+2xR上單調(diào)遞增，即戶'(%)=-sin尤+2%在R上單調(diào)遞增,

當%>0時，尸⑶>0,所以尸(%)在(0,+8)上為增函數(shù)，

當xvO時，尸⑺<0,所以尸(%)在(-8,0)上為減函數(shù),

又尸(0)=—1,F(2)=F(-2)=cos2+2>0,

且無f—8時，產(chǎn)⑴一+00,則存在西￡(ro,0),x2€(0,2),使得產(chǎn)(項)=0,/(%)=0,

所以廠(%)有兩個零點.

(2)令根(X)=COSX-2G+QX2,由相(0)之0,得〃

令M1)=cosx-l+g%2=cosx+；(%2-2),所以"(x)=-sin%+%,

令(p(x)=-sinx+x,可得『'(%)=-cosx+1>0,

所以°0)=—51口%+%在(0,+8)上為增函數(shù)，所以0(x)=-sinx+%>sinO+O=(),

所以“(%)>0,所以/?(%)=cosx-l+gf>cos0-l+^x02=0,

所以版x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以/7(x)2/7(0)=。，gpcosx>l-1x2

所以f(X)>g(X)恒成立，所以實數(shù)。的最大值是實數(shù)1;

兀k兀k兀k兀k

(3)因為退sin+1>sin=2sin=2cos-,

~3~1+COS~3~1

12,所以cos§

由(2)可得cosx>l-—x

22i

nk

所以￡[gsin+1]>24(cos—)>2n-2

Z=1

所以fgsin2

>n-

-^2(I+-^+4+---+^)<^2(I+I--+---+-+---+—)2

又-<2k,

23n2233n—1n

所以?>i—2左2)(女ER).

Z=1

2

【例5】(2024屆河南省部分名校高三上學期核心模擬)已知函數(shù)/(X)=依-lnx——(a￡R).

x

⑴當。二一1時,求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

Q+1

(2)若=當辦2<占〈尤2時，證明：(為+%)a+

【解析】(1)〃九)的定義域為(。，+8),

2

當Q=-1時,/(x)=-x-ln%一，

x

19+x—2(x+2)(x—1)

所以/(%)=-1---\--=(x>0),

XXX2

當％￡。1)時,/'(X)>0；當X￡(1,+00)時,/1(X)<0,

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).

22

(2)由/(%)=/(%),得〃再一加玉一不二1馬一皿馬一丁

/、22/、2(X-X.)

以In%—In再=〃(%—%)------=〃(％—再)-----2-----

%x2玉/

—ln^^a+—

則三

x{x2

(1Q+1

要證(石+工2)CL+<一廠,只需證(%+%2)In-F

7a%

/（x）=lnxd——,

⑴若加=1,求函數(shù)y=/（x）在（1,1）處的切線方程；

⑵是否存在。＜不＜々＜￡，且冷尤2,W依次成等比數(shù)列，使得/&）、/（七）、〃鼻）依次成等差數(shù)列？請

說明理由.

⑶求證：當初V0時，對任意4%40,內(nèi)），都有于■）+，㈤＞，（無1）一""）.

2玉-x2

3.（2024屆遼寧省部分高中2023-2024學年高三下學期三模）已知函數(shù)/Xx）=,其在》=1處的切

線斜率為1一2e.

⑴求。的值；

⑵若點（九〃）在函數(shù)/（X）的圖象上，求/0）-/（九）的取值范圍.

4.（2024屆河北省部分中學高三下學期考點評估）已知函數(shù)/（x）=xlnx-加+（2a-l）x-a+l（oeR）.

⑴若〃x）V0在［1,+⑹恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵證明：----1---------1---------1-----1---------1＞In2.

n+1n+2n+3n+n4n

5.（2024屆四川省內(nèi)江市高三三模）已知函數(shù)/（尤）=lnx+3-a,a＞0.

X

（1）若“X）的圖象不在光軸的下方，求a的取值集合；

（2）證明：sin--——Fsin--——F…+sin——-——＜In2024（n￡N*）.

n+1n+22024〃v）

6.（2024屆河北省滄州市滄縣中學高三下學期模擬）已知函數(shù)/（x）=lnx-ln（x-1）-L

x

⑴求/（X）的值域；

（2）求證：當〃wN*時，Zsin-----；＜In2.

z=in+i

7.（2024屆山東省荷澤第一中學高三下學期5月月考）已知函數(shù)〃元）=6-hr-=.

a

⑴當時，求〃尤）的極值；

（2）當X21時，不等式"x）Z0恒成立，求〃的取值范圍；

I/八111

⑶證明：】n（〃+l）＜N+五區(qū)+…+通聲

8.（2024屆廣西百色市貴百聯(lián)考高三上學期9月月考）已知函數(shù)〃x）=sinx-依-2（aeR）.

⑴當“=當時，討論在區(qū)間嗚上的單調(diào)性；

(2)當尤NO時，/(x)+ex+cos^>0,求〃的取值范圍.

9.已知函數(shù)/(%)=絲-+lnx-x(a>。)-

x

⑴若1=1,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)存在兩個極小值點%,，求實數(shù)。的取值范圍.

10.已知函數(shù)/(x)=lnx-62一切M，bgR).

⑴當。=0時，若在無?0,內(nèi))上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；

⑵設(shè)為〃尤)的兩個不同零點，證明：〃為+%)〈五三-2.

e

11.(2024屆陜西省西安市第一中學高三下學期高考預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=(x-a)lnx+(a-l)x(aeR).

⑴若函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的值；

(2)^1^t正：ln2>sin-----Fsin-----1--??+sin.

100101198

12.(2024屆四川省江油中學高三上學期9月月考)已知函數(shù)/(x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)當a>0時，求函數(shù)/a)在區(qū)間［l,e］上的最大值；

⑵若修為函數(shù)g(x)=x"(x)+lnx-2］的極值點，求證：2太<e而-1

13.(2024屆黑龍江省哈爾濱市高三上學期9月月考)已知函數(shù)

⑴若函數(shù)“X)的圖象與直線>=xT相切，求實數(shù)”的值；

⑵若函數(shù)g(x)=〃x)-丈+1有且只有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

14.(2023屆四川省成都市高三上學期摸底)己知函數(shù)〃無)=gf+cosx.

⑴記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是尸(x).證明：當x20時,尸(元)20；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=sinx+co；：2x2,*x)=/(x)+g(x),其中“<0.若0為函數(shù)網(wǎng)力存在非負的極小

值，求a的取值范圍.

15.(2024屆海南省瓊中縣高三上學期9月高考全真模擬)已知函數(shù)/⑺=-l(aeR),且/(x)在x=1

處取得極值.

⑴求。；

(2)求證：+<?+—+—+???+—^—+1(HEN*).

23n—1'7

16.(2024屆河南省周口市項城市高三5校青桐鳴大聯(lián)考9月)已知函數(shù)〃司=1111(4+力-龍，/'(0)=0.

⑴求實數(shù)。的值；

(2)證明：x>ln4時，/(x)>x2.

專題12常見函數(shù)模型的應(yīng)用

考情分析

有一些常見的函數(shù)，如y=ln(x+l)-x,y=e'-x-l等，在導(dǎo)數(shù)解答題常常出現(xiàn)其身影，在導(dǎo)數(shù)解答題中或

利用其性質(zhì)進行求解，或以其為模型進行改編命題，無論以哪一種方式命題，掌握這些函數(shù)的性質(zhì)，并有

目的的使用這些函數(shù)性質(zhì)解題，能迅速找到解題思想，并使問題得以解決.

解題秘籍

(一)常見對數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)〃x)=ln(x+l)-x在(-1,0)上是增函數(shù)，在(0,+oo)是減函數(shù)，在x=0處取得最大值0,

2.7(%)=lnx的圖象與直線y=%-1在x=l相切，以直線y=%-1為切線的函數(shù)有：y=inx,y—ex-1—1,

211i

y=x-x,y=1——,y=x\nx.

x

3.與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：ln(x+l)Kx,lnxK%—l,lnx'l—,/nx<x,liix〈石,

4.利用也(％+1)<%可得到ln(〃+l)-再借助疊加法可得到一些復(fù)雜的數(shù)列不等式.

n

【例1】(2024屆陜西省學林高考全真模擬考試)已知函數(shù)/(x)=〃lnx-x+1(acR),g(x)=sinx-x.

⑴討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

⑵證明：gL+J<°(nGN*);

(3)證明：ln2>sin^—+sin---+sin―—+---+sin—(neN*).

n+1n+2n+32n

【解析】(1)函數(shù)的定義域為(0,+。)，r(x)=1-i=^^,

①當aWO時，/'(尤)<0恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+“)；

②當a>0時，由/'（x）=。，得1=〃，

當）￡（0,。）時,/'（%）>0；當％￡（。,+8）時,/,（%）<0.

所以函數(shù)/（力的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,。），單調(diào)遞減區(qū)間為（弓內(nèi)）.

綜上，當aVO時，函數(shù)〃力的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+”）；

當a>0時，函數(shù)/（0的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,。），單調(diào)遞減區(qū)間為

(2),/g(x)=sinx-x,g'(x)=cosx—l?0，恒成立,

g(x)在R上單調(diào)遞減，又〃cN*,「OV:]玉g，，g[〃+i卜g⑼二0.

(3)由(1)知，當a=l時，f(x)<0,即lnx<x—1,「.InJw'-l,

XX

]Y—1Y

二.In%21—=----,「.ln(%+l)N----(當x=0時"="成立).

XXX+1

人1/*\](1八1口口1〃+11

令x=—(neN),/.In—+1>----,即In---->----,

n\nJn+1nn+1

ln(H+l)-lnn>―彳，從而ln(n+2)—ln(w+l)>—彳,

11

In(n+3)-In(n+2)>In(2n)—In(2n—1)>一

n+32n

累力口可得ln（2〃）一In九〉」一+」一+―一+???+」一,

n+1〃+2〃+32n

皿c1111

即In2>-----1-------------1------------F??---.

n+1〃+2n+32n

由(2)知，g(x)=sin元一％在(0,+e)是遞減函數(shù),.*.g(x)<g(O)=O,即sinx<%,

1111.1.1.1.1

----------1-------------1------------1-------1------->sin-----1-sin-----1-sin-----1-------i-sin——.

n+1n+2M+32nn+1〃+2n+32n

In2>sin-----bsin-----Fsin-----1---Fsin——(〃cN*).

n+1n+2〃+32n

（二）常見指數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)=e*-尤-1在（_oo,0）上是減函數(shù)，在（O.+oo）上是增函數(shù)，/（X）在x=0處取得最小值0,

2.與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：ex>x+l,ev>x,er>ex,er<^—(x>0),el<--(x<0),

1—XX

e">l+x+^x2(x>0).

【例2】（2024屆河北省衡水市部分示范性高中高三下學期三模）已知〃%）=]-%.

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間和最值;

(2)定理：若函數(shù)Ax)在(。力)上可導(dǎo)，在團，切上連續(xù)，則存在gw(a,6),使得尸(■=〃?一/⑷.該定理

b-a

稱為“拉格朗日中值定理”，請利用該定理解決下面問題：

i4T『e"zn

右0<機<〃,求證：------<(m+l)-----.

nmynmJ

【解析】(1)r(x)=ex-l,令尸(x)=0,解得％=0,

當X￡(—oo,0)時，/(x)<O"(x)單調(diào)遞減；當%￡(0,+oo)時，/(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

當x=0時，/(九)取得最小值1,無最大值；

QmQn

(2)要證------<0+1)2-----,只需證me"-〃e"<(M+1)2(加一九)，因為0<根<〃，

nm\nmJ

故只需證”上吧〉(祖+1)2.

m-n

g(x)=XQ\X>0),顯然gO)在O,")上可導(dǎo),在［狼網(wǎng)上連續(xù)，

故由拉格朗日中值定理知存在Je(m,n)，使得g?=me，"-ne",

m-n

而g'(x)=(x+l)e*>O,g'(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

因為根<J<〃，故g'G)>g'O),即g'G)>(/w+l)e"',

故只需證("+De"'N(m+1)2即可，因為加>0,故只需證e'"2機+1.

由(1)知e，2x+l恒成立，因此原命題得證.

(三)常見三角函數(shù)模型

1.函數(shù)/(x)=sinx-x在(0,+co)上是減函數(shù)，函數(shù)g(無)=(工2+cosx在(0,+co)上是增函數(shù)(g1x)=-〃x))

2.與三角函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：sinx<x(x>0),sinx<x<tanx^O<x<^,sinx>x-^-x2,

I--%2<cos%<1--sin2%.

22

【例3】(2024屆江西省宜豐中學高三下學期模擬)設(shè)“X)=G：2+COSX-1,aeR

⑴當“時，證明：/(%)>0;

(2)證明：cos—+cos—+L+cos—>n--(HGN\H>1).

23n3v7

【解析】(1)因為/(%)=o?+cos九-1定義域為R,

所以/(一%)=加+cosx-l=/(x),

所以/'(X)為定義在R上的偶函數(shù)，下取尤20,

可知/,(x)=x-sin%,令夕(x)=/'(x)=x_sinx,^(x)=l-cos%>0,

則。⑴在［0,+功內(nèi)單調(diào)遞增,可得夕⑺>姒0)=0,

即/'⑺"在［0,+8)內(nèi)恒成立，可知/(x)在［0,+句內(nèi)單調(diào)遞增,

所以/(元)在［0,+e)內(nèi)的最小值為/(。)=0,結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知：”尤)20.

(2)由(1)可得：/(x)=1x2+cos^-l>0,當且僅當x=0時，等號成立，

BPcosx>l--x2,-$?x=—,n>2,neN*,貝!]COSL>1——>當〃22時，

2nn2n-

1.1.2.2,(11_1,f11

cos—>1------=1------>1-----z——=1------------------,BPcos—>1---------------------

n2n24n24H2—1\2n—\2n+l)n\2n—l2n+l

—

cos->l-

n2〃-12n+lJ

相力口可得：cos；+cosgd----Feos—>

2n+lJ32〃+l

因〃22,貝！]---->0,以cos—Fcos—FL+cos—>"—,

2〃+l23n3

即cos—+cos—H----1-cos—>n——(nG>1

23n3V

eIn%-x

(四)y=-----或>=-----

xInx

y=也在(0,e)上是增函數(shù)，在(e,+s)上是減函數(shù)，x=e時取得最大值工，利用了=匣性質(zhì)解題易錯點

xex

是該在(e,“o)上是減函數(shù)，但該函數(shù)在(e,+co)上沒有零點，因為x>e時y>0.

【例4】(2024屆海南省定安縣高三上學期考試)已知函數(shù)/(x)=lnx-2依.

⑴若x=l是/(x)的極值點，求。的值；

⑵若a=l,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑶若7(x)40恒成立，求a的取值范圍；

【解析】(1)由/(x)=lnx—26，得尸(力=：-2。=^|^,

因為x=l是/*)的極值點，

所以/''(1)=0,即1—2。=0,所以a=；,經(jīng)檢驗符合題意.

11—Or

(2)若4=1,/'(%)=——2=------,XG(0,+(X)).

當l—2x<0,即xN1時,r(x)=—<o,所以〃x)在1+8］上單調(diào)遞減;

2xL2)

當xe(0,￡|時，/(無)=上手>0；在(0,；］上單調(diào)遞增,

所以/(x)在巧上單調(diào)遞增，在［,+小單調(diào)遞減，

(3)/(x)的定義域為(0,+oo),若/(尤)4。恒成立，則lnx-2依W0恒成立，

即2。〉——恒成乂，令g(%)=—,只需2〃Ng(%)max，又，⑺=1--2------=-L

XXXX

令g'(%)=。得%=e,%￡(0,e)時，則g(%)==In單X調(diào)遞增；

x

Inx

%￡(e,y)時，g'(x)v0,貝ljg(%)=—單調(diào)遞減；

X

所以2aNg(x)1mx=g(e)=,，解得：a>^-

e2e

(五)y=-^y=

xe

討論y=0的性質(zhì)要