2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)第十一章計數(shù)原理、概率、隨機變

量及其分布第六節(jié)二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡

預(yù)計2025年高考可能將二

單的實際問題.

項分布或超幾何分布與數(shù)

2.T解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.

字特征綜合起來呈現(xiàn)，也可

3.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量，通過具體實

能將正態(tài)分布與數(shù)據(jù)的統(tǒng)

例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.

計分析綜合起來呈現(xiàn).

4.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.

必備知識——強基礎(chǔ)

知識梳理

1.伯努利試驗與二項分布

⑴伯努利試驗

叵]只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗;將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所

組成的隨機試驗稱為阿w重伯努利試驗.

(2)二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<l),用X表示事

件4發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=Q=畫3/(1—〃)"f,k=O,1,2,…，n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作畫X?B(w,

nl-

(3)二項分布的均值、方差

若X?8(",p),則￡(%)=國建，￡>(X)=[06|w(l-p).

2.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不放回)，

用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為尸5=。=畫,隼畢,k=m,加+1,

m+2,r,其中，n,N,Af€N*,MWN,nWN,m=max{0,n—N+M),r=min{n,M}.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.其均值E(X)

nM~，八nM(,M\[.

3.正態(tài)分布

(1)正態(tài)曲線

_(x-//)2

函數(shù)危尸赤e、X6R,其中“小°＞。為參數(shù)’我們稱函數(shù)他為正態(tài)密度函數(shù),

稱它的圖象為網(wǎng)正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)曲線的特點

①曲線位于x軸畫上方,與x軸不相交;

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線回x=”對稱;

③曲線在回正區(qū)處達到峰值忐;

④曲線與x軸圍成的面積為叵］L

⑤在參數(shù)。取固定值時，正態(tài)曲線的位置由〃確定，且隨著回區(qū)的變化而沿?zé)o軸平移，如圖

1所示;

⑥當(dāng)〃取定值時，正態(tài)曲線的形狀由C確定，。畫較小時,峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，表示

隨機變量X的分布比較集中；。畫較大時,峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分

布比較分散，如圖2所示.

(3)正態(tài)分布的定義及表示

(%一〃)2

1

若隨機變量x的概率分布密度函數(shù)為yu)='2"2,x€R,則稱隨機變量X服從正態(tài)分

布，記為回X?N(〃，o2).特別地，當(dāng)〃=0,a=l時，稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

(4)3(7原則

①P(/Z—■戶0.6827；

②尸0/-24*?〃+2加0.9545；

③尸〃一3ZXW〃+3o戶0.9973.

(5)正態(tài)分布的均值與方差

若X?NQi,4)，則￡(田=回良，。(田=畫后.

常用

1.二項分布當(dāng)n=l時就是兩點分布.

2.“二項分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對應(yīng)二項分布，不放回抽取問題對應(yīng)

超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理.

3.若X服從正態(tài)分布，即X?N(〃，/)，要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱和曲線與x

軸之間的面積為1解題.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“位,錯誤的打“x”)

(1)"重伯努利試驗中各次試驗的結(jié)果相互獨立.()

(2)正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的.()

(3)X表示w次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.()

(4)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數(shù)X

服從超幾何分布.()

(5)正態(tài)分布中的參數(shù)〃和。完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù)，參數(shù)〃是正態(tài)分布的均值，。是

正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.()

答案(1W(2)4(3川(4)x(5)4

2.小題熱身

(1)(人教B選擇性必修第二冊4.2.4練習(xí)AT4改編)設(shè)50個產(chǎn)品中有10個次品，任取產(chǎn)品

20個，取到的次品可能有X個，則E(X)=()

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析由題意知，X服從超幾何分布，則反㈤二蟹2二義

(2)(人教B選擇性必修第二冊425練習(xí)BT2改編)隨機變量X?N(8,fr),若尸(7WXW9)=

0.4,則P(X>9)=()

A.0.6B.0.5

C.0.4D.0.3

答案D

解析,隨機變量X?N(8,o2),P(7WXW9)=0.4,.?.P(X>8)=0.5,P(8<X<9)=0.2,.?.尸(X>9)

=0.3.

(3)設(shè)某實驗成功率是失敗率的3倍，3次實驗成功的次數(shù)為隨機變量乙則產(chǎn)(：=2)=()

27r1

AA-64B-3

92

C'64D'3

答案A

解析由于成功率是失敗率的3倍，所以成功率是點失敗率是/所以P(f=2)=ax|J|2x|=

27

正故選A.

(4)已知隨機變量X服從二項分布2(12,0.25),且E(°X—3)=3,則￡>(aX—3)=.

答案9

9

解析因為X?5(12,0.25),所以E(X)=12x0.25=3,D(X)=12x0.25x(1—0.25)=不又E(aX

9

-3)=aE(X)—3=3,即3.—3=3,解得°=2,所以。(0乂-3)=。(2乂-3)=22。(田=4乂^=9.

考點探究——提素養(yǎng)

考點一二項分布及其應(yīng)用

例1(2023?武漢聯(lián)考)在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的

比賽.已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀(jì)錄的概率都是導(dǎo)

(1)求該運動員至少能打破2項世界紀(jì)錄的概率；

(2)若該運動員能打破世界紀(jì)錄的項目數(shù)為X,求X的分布列及均值.

解(1)依題意知，該運動員在每個項目上“能打破世界紀(jì)錄''為獨立事件，并且每個事件發(fā)生

的概率相同.

設(shè)其打破世界紀(jì)錄的項目數(shù)為隨機變量3設(shè)“該運動員至少能打破2項世界紀(jì)錄”為事件4

則P(A)=P，=2)+PC=3)=C次(J)x|+C？x(Jj=|y.

(2)由(1)可知X?2(3,I),

則尸(X=O)=C/(1—I)弓,

,2<2丫2

尸(X=1)=Cg一句=§,

P(X=2)=Cgxg義(1_今=&,

尸(X=3)=0(|)=今

所以X的分布列為

X0123

1248

P

279927

1248

均值E(X)=O義或+lx§+2x§+3x方=2.

【通性通法】

二項分布概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=

k)=cy(l-pT~k的三個條件：

⑴在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；

(2)〃次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；

⑶該公式表示〃次試驗中事件A恰好發(fā)生了上次的概率.

【鞏固遷移】

1.為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方

案是“3+1+2”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科,

“2”是在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目.某學(xué)校為做好選課走班教學(xué),

給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學(xué)、生物，8組合：歷史、

政治、地理，C組合：物理、化學(xué)、地理，根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為選

擇2組合的概率為看選擇C組合的概率為點甲、乙、丙三位同學(xué)每人選課是相互獨立的.

(1)求這三位同學(xué)恰好選擇互不相同的組合的概率；

(2)記〃表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求〃的分布列及均值.

解用A表示第i位同學(xué)選擇A組合，用5表示第i位同學(xué)選擇B組合，用G表示第，,位同

學(xué)選擇C組合，i=l,2,3.

311

由題意可知，Ai，Bi，G互相獨立，且P(4)=5，m)=5>P(G)=5.

(1)三位同學(xué)恰好選擇互不相同的組合共有A?=6種情況，每種情況的概率相同，故三位同學(xué)

恰好選擇互不相同的組合的概率

3]]ig

P=6P(4B2c3)=6尸(4)P(4)P(C3)=6x^x-x^=—.

(2)由題意知，〃的所有可能取值為0,1,2,3,且〃?8(3,|),

所以p(〃=o)=c嶺jx(|)=急，

P(〃=D=C權(quán)蔑，

產(chǎn)(〃=2)=C權(quán)§x|=^-

P(〃=3)=cW|)l圖=蒜

所以〃的分布列為

0123

2754368

P125125125125

￡(7)=0x^+lx—+2x—+3x—=-

考點二超幾何分布及其應(yīng)用

例2(2023?天津模擬)某大學(xué)生志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3

名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10

名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).

(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率；

(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及期望.

解(1)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進行支教，樣本點總數(shù)〃=Ch

設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,事件A包含的樣本點個數(shù)機=GG+

改為

C3C7+C3C7=49

則選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為P(A)=^060-

(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

加奠1C|C?1

尸(x=°)=房=不P(x=D=k=5，

Cid3eleg1

P（X=2）F=T3,尸（X=3）FF

所以X的分布列為

X0123

1131

p

62To30

E（X）=Ox/+lx；+2x*^+3x芯=,.

【通性通法】

1.隨機變量是否服從超幾何分布的判斷

若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：（1）該試驗是不放回地抽取〃次；（2）隨機變

量X表示抽取到的次品件數(shù)（或類似事件），反之亦然.

2.求超幾何分布的分布列的步驟

步驟一驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N,M,〃的值

步驟二根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率

步驟三列出分布列

【鞏固遷移】

2.第三十一屆世界大學(xué)生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕.來自

113個國家和地區(qū)的6500名運動員在此屆運動會上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿

的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團結(jié)、友誼的新篇章.外國運動員在返家時紛紛購買紀(jì)念

品，尤其對中國的唐裝頗感興趣.現(xiàn)隨機對200名外國運動員（其中男性120名，女性80名）

就是否有興趣購買唐裝進行了解，統(tǒng)計結(jié)果如下:

有興趣無興趣合計

男性運動員8040120

女性運動員404080

合計12080200

（1）是否有99%的把握認(rèn)為“外國運動員對唐裝是否感興趣與性別有關(guān)”;

（2）按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名

運動員作進一步采訪，記3名運動員中男性有X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

央老八個___________n（ad—be）2________

多夫X―（〃+8）（c+-（〃+c）（8+d）.

臨界值表:

a0.1500.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.63510.828

2

.」L200x(80x40-40x40)50

解(1)由已知72=120x80x120x80=寸5.556<6.635,

故沒有99%的把握認(rèn)為“外國運動員對唐裝是否感興趣與性別有關(guān)”.

⑵按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，則其中男性運動員有

4名，女性運動員有2名，則X=l,2,3,

1C?3

尸尸

(X=l)=5f(X=2)=

Ci1

尸5=3)=d=亍

X的分布列為

X123

131

P

555

131

￡(X)=lx-+2x-+3x-=2.

考點三正態(tài)分布及其應(yīng)用（多考向探究）

考向1正態(tài)曲線及正態(tài)分布的概率計算

例3（1）（多選）（2024?哈爾濱模擬）某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺

寸分別記為X,Y,己知X,丫均服從正態(tài)分布，X?N也I，冼），Y?Ng貧），其正態(tài)曲線如

圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

答案AC

解析X,丫均服從正態(tài)分布，X?N（〃i，or）,Y?Ng，oi）,結(jié)合正態(tài)曲線可知，〃i=〃2，6＜。2,

故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲

工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯誤.

(2)(2022?新高考II卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,/),且P(2<XW2.5)=0.36,則P(X

>2.5)=.

答案或春)

解析因為X?NQ,/),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)—P(2〈

XW2.5)=0.5-0.36=0.14.

【通性通法】

利用正態(tài)曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，

及曲線與x軸之間的面積為1.注意活用下面兩個結(jié)論：

(1)P(X<a)=1—P(XNa)；

(2)P(X<〃-c)=P(X>〃+a).

【鞏固遷移】

3.(2024?惠州調(diào)研)若隨機變量X滿足正態(tài)分布N〃，o2),則有尸(/,—aWXW/z+c戶0.6827,

尸儀一2°WXW〃+2o■戶0.9545.現(xiàn)有20000人參加數(shù)學(xué)測試，成績大致服從正態(tài)分布N(100,102),

則可估計本次數(shù)學(xué)測試成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)為()

A.1587B.228

C.455D.3174

答案C

解析由題意可知〃=100,。=10,記本次數(shù)學(xué)測試成績?yōu)殡S機變量X,由于尸〃一

+2<7>0.9545,所以P(80WXW120戶0.9545,因此本次數(shù)學(xué)測試成績在120分以上的學(xué)生約

有20000X——-——=455人.

4.(多選)(2023?石家莊模擬)若隨機變量X?N(l,/),且正態(tài)分布N(l,4)的正態(tài)密度曲線如

圖所示，則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是()

A.3-RXWO)

B.g-P(X22)

C.3P(XW2)一；P(XW0)

D.3―PQWXW2)

答案ABC

解析根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)密度曲線關(guān)于直線尤=1對稱，所以題圖中陰影部分的

面積為P(XWO),A正確；根據(jù)對稱性，尸(XW0)=P(X22),所以題圖中陰影部分的面積

可表示為尸(OWXW1)=3—P(XWO)=T—P(X22),B正確；陰影部分的面積也可以表示為

p(x<2)—P(XV0)

——二^------一，C正確；陰影部分的面積也可以表示為P(OWXWl),而P(OWXWl)

=P(1WXW2),D不正確.

考向2正態(tài)分布的實際應(yīng)用

例4(2023?山東濰坊模擬)2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事

共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知這種球

的質(zhì)量指標(biāo)。(單位：g)服從正態(tài)分布X-N&,/)，其中〃=270,。=5.比賽賽制采取單循環(huán)

方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下(比賽采取5局

3勝制)：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負(fù)隊積0分；而在比賽中以3:2取勝

的球隊積2分，負(fù)隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1

班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設(shè)每局比賽1

班排球隊取勝的概率為p(O<p<l).

(1)令〃=匚;，則〃?N(0，1).且孰a)=P(〃<a),求。(一2),并證明再一2)+孰2)=1；

⑵第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為fip),求出加)的最大值點p0,并以po

作為0的值，解決下列問題.

①在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為X,求X的分布列；

②已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后，無

論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊積分最多)？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，

請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：X?(r),貝ijo-)~0.6827,20WXWM+2辦0.9545,PQi

-3oWXW〃+3o■戶0.9973.

解(l)O(—2)=P(〃<—2)=PC<260),

又P(M-2(TWXW〃+2加0.9545,

09545

所以縱—2)=尸(。<260戶0.5—：-=0.5-0.47725=0.02275.

因為。(一2)=「(〃<一2),根據(jù)正態(tài)曲線對稱性，。(一2)=尸(〃<一2)=尸(〃>2),

又因為O(2)=P(〃<2)=1—P(〃力2),

所以它—2)+。(2)=1.

(2W=C>3(1一0=303(1—p)，

f(p)=3[3p2(1—p)+p3x(—1)]=3P2(3-4p).

3

令f(p)=0,得。=不

當(dāng)p€(0,胃時，f(p)>0,加)在(0，1上為增函數(shù);

當(dāng)pe?'1)時,/3)<。，1Ap)在?,1)上為減函數(shù).

33

所以加)的最大值點po=4，從而p=[

①X的所有可能取值為3,2,1,0.

P(X=3)=p3+C02(l-p)〃=黑，

Q1

P(X=2)=C為2(1_p)2p=近,

27

P(X=1)=C>2(1—p)3=無，

13

P(X=0)=(1_p)3+C如(1—p)3=場

所以X的分布列為

X3210

189812713

P

256512512256

②若X=3,則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，則11

輪過后的總積分是28分，29>28,所以1班如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，

189

其概率為尸(X=3)=痂.

【通性通法】

正態(tài)分布出現(xiàn)在解答題中，通常與二項分布、超幾何分布相結(jié)合.解決正態(tài)分布問題有三個

關(guān)鍵點：(1)對稱軸為直線x=〃；(2)標(biāo)準(zhǔn)差0；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概

率值；由〃，6分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間，從而求出所求

概率.

【鞏固遷移】

5.在某大學(xué)舉行的自主招生考試中，隨機抽取了100名考生的成績（單位：分），并把所得數(shù)

據(jù)列成了如下所示的頻數(shù)分布表：

組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)5182826176

（1）求抽取樣本的平均數(shù)1（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認(rèn)為這次成績Z服從正態(tài)分布N（〃,/）（其

中〃近似為樣本平均數(shù)/近似為樣本方差S2=161），且規(guī)定82.7分是復(fù)試線，那么在這

2000名考生中，能進入復(fù)試的約有多少人？附：V161~12.7,若Z?N（〃，『），則

+（7）=0.6827,PQi~+2。戶0.9545.

解（1）由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，得

尤=45x0.05+55x0.18+65x0.28+75x0.26+85x0.17+95x0.06=70.

⑵由⑴知Z?M70,161）,

所以P（70—12.7WZW70+12.7戶0.6827,

…1-0.6827

所以P（拄82.7）?------2------=0.15865,

所以在這2000名考生中，能進入復(fù)試的約有2000x0.15865=317人.

課時作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固練

一、單項選擇題

1.若隨機變量X?8（5,則P（X=3）=（

)

1

A.B

3-翡

10

D

27-5

答案B

解析隨機變量X?8（5,￡）,則尸（X=3）=C$xg）xg=翡

2.（2024?貴州模擬）若隨機變量X?N（10,22）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.尸（X三10）=0.5

B.P(XW8)+P(XW12)=1

C.尸(8WXW12)=2P(8WXW10)

D.O(2X+1)=8

答案D

解析根據(jù)隨機變量X?N(10,22),可知正態(tài)密度曲線的對稱軸為X=10,方差為4,所以

P(X210)=0.5,故A正確；P(XW8)+P(XW12)=P(X212)+P(XW12)=1,故B正確；

產(chǎn)(8WXW12)=2P(8WXW10),故C正確；Z)(2X+1)=4Q(X)=16,故D錯誤.故選D.

3.某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得

下列說法中正確的是()

A.甲學(xué)科總體的均值最小

B.乙學(xué)科總體的方差及均值都居中

C.丙學(xué)科總體的方差最大

D.甲、乙、丙的總體的均值不相同

答案C

解析由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知c越大，

正態(tài)曲線越扁平，c越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、

丙，則三科總體的方差從小到大依次為甲、乙、丙.故選C.

4.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，檢驗員從中隨機抽取2件進行檢測，記取到的正

品數(shù)為3則均值E(。為()

49

A-5B-10

C.1D.|

答案D

C?1c?Cl3C?

解析。的所有可能取值為0,1,2,則尸(<=0)=E|=正尸C=l)h1/=m，P(4=2)=《|=

W'則E?=oxm+1><5+2X正=亍

5.在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球、4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取的4個

小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

A.尸(X=l)=|

B.隨機變量X服從二項分布

C.隨機變量X服從超幾何分布

D.￡(X)=|

答案C

解析由題意知隨機變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；X的可能取值為0,1,2,

金1ClC?8C?Cg3C?Cg4

3,4,則P(X=°)=高=誦，°區(qū)=1)=而=五，P(x=2)=京=亍尸(乂=3)=而=方,

Q41183418

P(X=4)=^r=2io，所以￡(田=0乂誦+1乂丸+2x,+3x行+4x丸=亍故A,D錯誤.

6.據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N(90,202),考生共50000

人，估計數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在130?150分的學(xué)生人數(shù)約為(附：若隨機變量。服從正態(tài)分布股,

/)，則P(/t-+a)~0.6827,P(jn—+2(r)~0.9545,P(/z-+

3加0.9973)()

A.1070B.2140

C.4280D.6795

答案A

解析由題設(shè)P(130<XW150)=+2o<XW〃+3Q=—+3c)—一

2cW1fW〃+2Q]=1x(0.9973-0.9545)=0.0214,所以數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在130?150分的學(xué)生人數(shù)

約為0.0214x50000=1070.故選A.

7.甲、乙兩羽毛球運動員之間要進行三場比賽，且這三場比賽可看作三次伯努利試驗，若甲

至少取勝一次的概率為震，則甲恰好取勝一次的概率為()

A』Ba

c.40-4

一9-27

C-64D-64

答案C

解析設(shè)甲取勝為事件4每次甲勝的概率為p,由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X?8(3,p),

則有1—（1—p）3=胃，得p=l，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為小3（1一5=總

8.某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住

眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機

抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如表所示：

用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人數(shù)1721139

女性人數(shù)810166

以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超

過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范

圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概

率最大）是（）

A.3B.4

C.5D.6

答案C

解析根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為2需5=不1設(shè)隨機抽取的2。

名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為則4?B（20,2,其中尸（。=4）=。0。??）

,k=O,1,2,20,4=0時，P(<f=0)=C%|j).(J)=圖；顯然尸(。=1)=@0。圖

19(3、20

=P(<f=0)，即尸(。=0）不可能為=心最大值，當(dāng)上21時，由

\P代=k)2尸&=4+1),/0

(P4=k)》尸(E=左一1),行

卜然)\由裝曠

3(4+1)》20T,1721

化簡得，解得寧4W亍,又kez,.?#=5,.?.這20名盲擰魔方愛好者

21TN3Z,

中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是5.故選C.

二、多項選擇題

9.（2023?遼寧沈陽三模）下列命題中正確的是（）

A.已知一組數(shù)據(jù)6,6,7,8,10,12,則這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是7.5

B.已知隨機變量X?N(2,f)，且P(X>3)=0.3,則P(l<X<2)=0.2

C.已知隨機變量0，則E(y)=|

A

D.已知經(jīng)驗回歸方程y=—2x+3,則y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

答案ABD

7+8

解析對于A,6x50%=3,第3個和第4個數(shù)的平均數(shù)為三一=7.5,故A正確；對于B,

P(l<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.5-0.3=0.2,故B正確；對于C,F?800,；),則

E(n=?P=10x1=5,故C錯誤；對于D,—2<0,可得y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可知D

正確.故選ABD.

10.(2023?遼寧大連二十四中?？既?若隨機變量X?2。0,下列說法中正確的是()

A.尸(X=3)=CMx自Xe

20

B.￡(X)=y

C.E(3X+2)=22

D.￡)(3X+2)=20

答案BCD

解析對于A,因為I),所以尸(X=3)=C：oX停Jx(l—l),故A錯誤；對于B,

22020

￡(X)=10x^=y,故B正確；對于C,E(3X+2)=3E(X)+2=3xy+2=22,故C正確；對

2(2、2020

于D,￡)(㈤=10乂熱1一寸=豆，D(3X+2)=32D(X)=9xy=20,故D正確.故選BCD.

三、填空題

11.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第17,18,19,20層停靠，若該電梯在底層有5

位乘客，且每位乘客在這四層的每一層下電梯的概率都為匕用1表示5位乘客在第20層下

電梯的人數(shù)，則P(0=4)=.

答案1^4

解析每位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗，故。?8(5,

即有尸c=期=c§x（￡jx圖,k=0,1,2,3,4,5.故世=4）=00號=懸.

12.設(shè)隨機變量^服從正態(tài)分布N（〃，o2）,向量a=（l,2）與向量》=仁，-1）的夾角為銳角

的概率是則〃=.

答案2

解析當(dāng)向量。=（1,2）與向量）=咯-1）的夾角為銳角時，a?加＞0且°,力不共線，則。＜1

+2x（-l）＞0,且1x（—1）—2分0,解得傘＞2,又向量。=（1,2）與向量8=（。一1）的夾角為銳

角的概率是看所以尸（今2）=；,又隨機變量。服從正態(tài)分布N（/z,/），〃=2.

13.一個口袋中裝有7個球，其中有5個紅球，2個白球，抽到紅球得2分，抽到白球得3

分.現(xiàn)從中任意取出3個球，則取出3個球的得分丫的均值E（r）為.

宏口案—7

解析V的可能取值為6,7,8,且尸（丫=6）=，^*=親=5,尸（丫=7）=^^2=4='P（Y=

8）=置CiC?=表5=，1所以得分/的均值E⑺=6乂2彳+7*今4+8*1"=羊48.

14.日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若X~N（/i,o2）,記Pi=P（jU—＜rWXW〃+（7）,

P2=P（/z—2cWXW〃+2Q,尸3=尸〃一3CWXW4+3Q.小明同學(xué)一般情況下都是騎自行車上

學(xué)，路上花費的時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布NQ8,4）.已知小明騎車上學(xué)遲到的概率為

尸0=11色.某天小明的自行車壞了，他打算步行上學(xué)，若步行上學(xué)路上花費的時間（單位：分

鐘）服從正態(tài)分布M35,9）,要使步行上學(xué)遲到的概率不大于尸o,則小明應(yīng)該至少比平時出

門的時間早分鐘.

答案20

解析由小明騎車上學(xué)遲到的概率Po=與色知，小明騎車花費的時間超過〃+3c=18+3x2

=24分鐘才會遲到.若小明步行上學(xué)，要使遲到的概率不大于Po,則步行花費時間應(yīng)小于

35+3義3=44分鐘，故小明應(yīng)該至少比平時出門的時間早44—24=20分鐘.

四、解答題

15.（2023?順德一模）某市市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量不超過w立方米的部分按

4元/立方米收費，超出卬立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了100位市民，

獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，并且前四組頻數(shù)成等差

數(shù)列.

頻率佟且距

h...............?[—

0.2-r—

0.511.522.533.544.5月用水量/立方米

(1)求a,6,c的值及居民月用水量在2?2.5內(nèi)的頻數(shù)；

(2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？(精確到

小數(shù)點后2位)

(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2.5立方

米的人數(shù)記為X,求其分布列及均值.

解(1)：前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，

頻率

所對應(yīng)的昔也成等差數(shù)列，

設(shè)a=0.2+d,6=02+2+c=0.2+3d,

；.0.5x[0.2+(0.2+(/)x2+0.2+2d+0.2+3d+0.1x3]=l,

解得d=0.1,

'.a—0.3,b—OA,c=0.5.

居民月用水量在2?2.5內(nèi)的頻率為0.5x0.5=0.25.

居民月用水量在2?2.5內(nèi)的頻數(shù)為0.25x100=25.

(2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7V0.8,

，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，

87

應(yīng)規(guī)定W=2.5+°,03°-~2.83.

(3)將頻率視為概率，設(shè)A(單位：立方米)代表居民月用水量，

可知尸(AW2.5)=0.7,

由題意，X?8(3,0.7),

P(X=0)=C§x0.33=0.027,

尸(X=1)=C3X0.32X0.7=0.189,

P(X=2)=C?X0.3X0.72=0.441,

P(X=3)=0x0.73=0.343,

；.X的分布列為

X0123

p0.0270.1890.4410.343

：X?8(3,0.7),：,E(X)=np=2A.

16.為了切實維護居民合法權(quán)益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開

展“全民反詐在行動一反詐騙知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該活動的居民中隨機抽取了100名，

他們的競賽成績分布如下表所示：

成績/分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)242240284

(1)求抽取的100名居民競賽成績的平均分1和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值

代表)；

(2)以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民的競賽成績X近似地服從正態(tài)分布N〃，rT2),其中

〃近似為樣本成績平均分1，，近似為樣本成績方差s2,若〃一參賽居民可獲

得“參賽紀(jì)念證書”；若X>〃+2c,參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”.

①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)(結(jié)果

保留整數(shù))；

②試判斷競賽成績?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”.

附：若X?o2),則尸(//—trWXW〃+。戶0.6827,尸2cWXW〃+2o■戶0.9545,—

+3亦0.9973.

解(1)100名居民本次競賽成績的平均分

—242240284

尤=45'礪+55乂而+65x而+75x而+85x而+95*同=75,

2A224028

方差s2=(45—75)2x而+(55—75)2x—+(65—75)2x—+(75—75齊加+(85—75)2x—+

,4

(95-75)2x—=100.

⑵①由于〃近似為樣本成績平均分1,『近似為樣本成績方差52,

所以〃=75,/=100,0-=^/100=10.

由于競賽成績X近似地服從正態(tài)分布N3,冷,

所以參賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書''的概率為P(/z-(7^x^+2(7)=+CT)

P("-ZoWXjt+2。),xO.6827+1x0.9545=0.8186,

3000x0.8186=2455.8=2456,

估計獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)為2456.

②當(dāng)X>〃+2c,即X>95時，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”,

所以競賽成績?yōu)?6分的居民能獲得“反詐先鋒證書”.

B級素養(yǎng)提升練

17.(多選)某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)4=可“2的。4。5(例如10100)，

其中A的各位數(shù)硒t=2,3,4,5)中，出現(xiàn)。的概率為本出現(xiàn)1的概率為京記乂=奧+的

+a4+a5,則當(dāng)程序運行一次時，下列說法正確的是()

A.X服從二項分布

4

B.P(X=1)=乳

Q

C.X的均值E(X)=§

Q

D.X的方差￡>(X)=Q

答案AC

解析由二進制數(shù)A的特點知，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能為0,1,且每個數(shù)位上的數(shù)字互不

影響，X的分布列為P(X=?=Cg[J)?&),k=0,1,2,3,4,故X?8(4,|),故A正確；

2,1、3o28918

P(X=l)=C1x-x[jJ=—,故B錯誤；E(X)=4x§=],故C正確；￡>(X)=4x^x-=-,故D錯

誤.

18.(多選)一個袋子中裝有除顏色外完全相同的1