2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列的概念與簡單表示法

第七章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.7解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)以特殊數(shù)列為主，考查數(shù)

表法、圖象法、解析式法）.列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式以及遞推公式，

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函在選擇題、填空題或解答題中都可能會(huì)出現(xiàn)，

數(shù).難度適中.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.數(shù)列的定義

按照畫確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的畫每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

2.數(shù)列的表示方法

列表法列出表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖象法把點(diǎn)畫色」加畫在平面直角坐標(biāo)系中

數(shù)列的第”項(xiàng)服與它的兩序號(hào)〃之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來

通項(xiàng)公式

解析表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

式法如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那

遞推公式

么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式

3.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)畫有限

項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)廚無限

遞增數(shù)列+11。71dn

遞減數(shù)列%+i|08|〈服其中〃€N*

項(xiàng)與項(xiàng)間的大

小關(guān)系常數(shù)列

從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于

擺動(dòng)數(shù)列

它的前一項(xiàng)的數(shù)列

4.數(shù)列的前〃項(xiàng)和

⑴表示：在數(shù)列｛斯｝中，5〃=|~5可〃1+〃2+一+斯叫做數(shù)列的前幾項(xiàng)和.

fSi，n=l，

(2)為與S〃的關(guān)系：若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為則斯=1?！?/p>

[Sn—Sn-l12.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“Y”，錯(cuò)誤的打“x”)

(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.()

(2)如果數(shù)列｛以｝的前〃項(xiàng)和為S”，則對(duì)任意"WN*,都有a”+i=S,+i—S“()

(3)在數(shù)列｛詼｝中，對(duì)于任意正整數(shù)機(jī)，n,am+n=amn+\,若。i=l,則痣=2.()

(4)任何一個(gè)數(shù)列都有唯一的通項(xiàng)公式.()

答案(l)x(2)4(3)Y(4)X

2.小題熱身

(1)在數(shù)列6，小，2,小，…中，第9個(gè)數(shù)是()

A.3V5B.3

C.V10D.10

答案B

解析觀察題目中的數(shù)列可知，根號(hào)里面的數(shù)是公差為1的等差數(shù)列，即由，第9個(gè)數(shù)為也

=3.故選B.

(2)(多選)已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是()

J2>w為奇數(shù),

詼=(一尸

A.11+1(0，w為偶數(shù)

C.a〃=2sin?D.斯=cos(〃-1)兀+1

答案ABD

解析對(duì)〃=1,2,3,4進(jìn)行驗(yàn)證，斯=2siiri?不符合題意，其他都可能.故選ABD.

（3）（人教A選擇性必修第二冊(cè)4.1練習(xí)T3改編）在數(shù)列｛斯｝中，q=1,斯+1=1+7，則的=

套案-

u木5

1113

解析由題意，令〃=1,可得〃2=1+7=2；令〃=2,可得03=1+7=1+5=5；令〃=3,

4/222

可得。4=1+；=1+3=4令〃=4,可得。5=1+；=1+1=4

23

（4）（人教A選擇性必修第二冊(cè)4.1練習(xí)T1改編）下列從左到右排列的圖形中，小正方形個(gè)數(shù)

構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為斯=.

答案n2

解析由題圖可知，從中間一行向上、向下每經(jīng)過一行，小正方形的數(shù)量減少1,直至減少

F1+Cn—］）1（幾—］）

至I1,所以斯=九+2（九一1）+2（九一2）+...+2x1,所以斯="+2?2=n2.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一利用即與&的關(guān)系求通項(xiàng)公式（多考向探究）

考向1已知S”求an

數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為

14，n=lj

答案a=

n2〃+i，“22

解析當(dāng)〃=1時(shí)，＜21=14,+…+于斯=2〃+5,

十**1=2〃+3（心2）,當(dāng)G2時(shí)，兩式相減得，梟"=（2〃+5）—（2〃+3）=2,化簡得出

14，n=lj

=2/1,又〃1=14不符合上式，所以詼=

2〃+i，〃22.

【通性通法】

已知S,求的步驟

步驟一利用。1=S1，求出s

用〃一1替換S"中的〃得到一個(gè)新的關(guān)系，利用詼=s“一ST(〃N2),求出當(dāng)

步驟二

時(shí)an的表達(dá)式

步驟三檢驗(yàn)n=l時(shí)的表達(dá)式是否可以與幾22的表達(dá)式合并

【鞏固遷移】

1.已知數(shù)歹1」｛斯｝的前“項(xiàng)和5"=r+1,貝I]斯=

2>n=l>

答案〈

[2n—15幾22€N"

解析當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=2；當(dāng)〃22時(shí)，斯=%一5八—i=/+l—1)2+1]=2〃-1.顯然

當(dāng)n=l時(shí)，不滿足上式，

2，n—\?

故a=

n2n~15，n€N*.

考向2已知斯與S〃的關(guān)系求an

例2已知數(shù)列｛斯｝的刖〃項(xiàng)和為5〃.若〃1=2,a〃+i=Sn,貝!Ia100=()

A.297B.298

C.2"D.2100

答案C

=

解析當(dāng)時(shí)，由Cln+lSn①，可得Ctn—Sn-X②，兩式相減得，斯+1—Cln—Clnf所以

an+\=2an,〃22,當(dāng)〃=1時(shí)，ai=S\=a\=2,故數(shù)列｛斯｝從第2項(xiàng)開始，是公比為2的等比

[2，〃=1，

數(shù)列，所以詼=12〃-1>2所以〃1。。=299.故選C.

【通性通法】

S〃與斯關(guān)系問題的解題策略

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.

策略一利用西=s“一SLI(W>2)轉(zhuǎn)化為只含S“，S,T的關(guān)系式，再求解

策略二利用S〃一S〃-I=Q〃(〃》2)轉(zhuǎn)化為只含an，斯-i的關(guān)系式，再求解

【鞏固遷移】

2.（2024.廣東中山一中階段考試）設(shè)S”是數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知m=1，%=一S.ST（〃22）,

貝ll,Cln—,

1，〃=1，

解析依題意得ST—S“=S"-「SG22）,整理得白一4=1,又9=；=1,則數(shù)列是以

MDn-1

1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，因此卷=1+（〃-1）x1=〃，即&=；,???當(dāng)〃22時(shí)，an=—

1，n=l?

1=

Sn&-1=――7-----又當(dāng)〃=1時(shí)，。1,an=\1

及22.

n(?—1)

考點(diǎn)二利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（多考向探究）

考向1累加法

例3（2024?江蘇鎮(zhèn)江一中高三月考）在數(shù)列｛詼｝中，的=2,即+i=%+ln（1+［），則詼=（）

A.2+lnnB.2+（n—l）lnn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

答案A

〃-1-1

解析因?yàn)樗?i—斯=ln—=ln(n+1)—In〃，所以ai=ln2—In1,的一〃2=ln3—In2,

〃4—〃3=ln4—In3,…，an—i=ln〃一In(n—1)(〃22),把以上各式分別相加得斯一?i=lnn

-In1,則斯=2+ln〃(〃22),且〃i=2也適合該式，因此斯=2+ln€N*).故選A.

【通性通法】

形如。八+1—的數(shù)列，利用累加法，即利用公式斯=（〃〃一（即-1—飆-2）+…+（〃2

一〃1）+〃1（〃》2）,即可求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

【鞏固遷移】

1=42=U

3.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足〃1,2,an+2—2an+i+an=2^貝Qioo=

5051

答案

2

解析由已知，得（即+2-飆+1）—（詼+1—〃〃）=］，又〃2—〃1=1，;?數(shù)歹斯｝是首項(xiàng)為1，

、］,、、1Yl1fl_3

公差為］的等差數(shù)列，斯+1—斯=1+］（〃-1）=一］一,???斯一斯—1=2，.〃3-。2=/，〃2-

2層+"+2/、…

a—。1=(斯一斯-i)+…+(〃3—〃2)+(。2—〃1)=5'(2+3+…+〃)，斯=7("22),

Vn

5051

“l(fā)oo——2~,

考向2累乘法

例4（2024?湖北黃岡質(zhì)檢）在數(shù)列｛斯｝中，an^=-^a^nGN*）,且m=4,則數(shù)列｛斯｝的通

項(xiàng)公式為an=.

答案TTiTT

解析由即+尸言即得哭=言，故譽(yù)4…'念=*（62），以上式子累

士,口a12n—3n—2n—12一,“、18、-

乘侍，n7*~~~1=1、?因?yàn)椤?=4,所以斯=/_1、（〃22）.又〃]

的34n—1nn-\-1n（〃十1）n（〃十1）

=4滿足上式，所以a〃=H（幾;1）.

【通性通法】

形如§"■=/（〃）的數(shù)列，常令〃分別為1,2,3,...?及一1,代入多乜=/（九），再把所得的（九一

1）個(gè)等式相乘，利用斯=a瑤落…?念（G2）即可求數(shù)列｛飆｝的通項(xiàng)公式.

提醒：利用累乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到詈，漏掉m而導(dǎo)致

錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出斯之后，不注意檢驗(yàn)0是否成立.

【鞏固遷移】

4.數(shù)列｛。〃｝滿足。1=1,即=。1+2〃2+3〃3+…+（九一1）斯-1（〃三2,n€N*）,則恁=.

答案360

解析由題意得斯+1=〃1+2。2+3。3+…+（〃-1）斯—1+九斯①，當(dāng)〃=1時(shí)，。2=〃1,當(dāng)〃22

時(shí)，an=a\-\~2^2+3^3+...+（n—\）an-\②，①一②得an+i—an=nan,所以an+\=（n~\~

1）斯（〃22）,所以〃i=l,詈=1，中=3，竽=4,…，也-=〃，累乘得（心2）,所以

〃2的an-i2

6!…

〃6=-2-=360.

考向3構(gòu)造法

例5（1）在數(shù)列｛斯｝中，已知刃=2,即+I=｛7（“€N*）,則斯的表達(dá)式為_______.

5斯十1

2

答案a,1=6n~5

解析數(shù)列｛◎｝中，由ai=2,a“+i=不%（w€N*）,可得一L=3+J,所以數(shù)列[曰是首項(xiàng)

Jdn~r1〃八+1l^nj

為3,公差為3的等差數(shù)列，所以:=1+3(〃-1)=6"/可得斯=2

zan乙乙on—j

(2)(2024?江西九江模擬)已知數(shù)列｛斯｝中，m=3,斯+i=3a“+2x3"+i,"WN*,則數(shù)列｛斯｝的通

項(xiàng)公式為.

答案斯=(2”-1)x3"

解析由斯+尸3斯+2x3〃+i,得冊(cè)=等+幸?，.??券一爭=2,即數(shù)列用是首項(xiàng)為1,

公差為2的等差數(shù)列，?,學(xué)=2〃-L得斯=(2〃-1)x3".

(3)(2023?四川師大附中二診)已知數(shù)列｛“〃｝滿足曲+尸2斯+；,且｛斯｝的前8項(xiàng)和為761,則0

宏安—■

口木2

解析數(shù)列｛斯｝滿足斯+1=2斯+：,整理得斯+1+92(斯+，若％=—3，則斯=—/,顯

1斯+1+](n1

然不符合題意，所以斯羊一5則——r=2(常數(shù))，所以數(shù)歹忸十,是以。1+]為首項(xiàng)，2為

公比的等比數(shù)列，所以斯+3=(勾+熱"7,整理得斯=。1+0.2"—-.由于前8項(xiàng)和為761,

所以S8=(ai+'x(l+2+…+27)—8*3=(41+3)*^^—4=255(。1+；)—4=761,解得a\

_5

~2-

【通性通法】

數(shù)列中求通項(xiàng)的常見構(gòu)造法

形如an+i=pan+q(p,q可構(gòu)造斯+1+%=°(即+#,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.也可以與類比

為常數(shù),p療0且為1)的遞式a”=pa”-i+q作差，由斯+i—?！?。(即一斯-1),構(gòu)造｛為+i—斯｝

推式為等比數(shù)列，然后利用累加法求通項(xiàng)

當(dāng)p=d時(shí)，兩邊同除以^+1轉(zhuǎn)化為關(guān)于，擾的等差數(shù)列；當(dāng)p,d

形如an+1=pan+

且討1,存0且存1)的遞時(shí)，兩邊可以同除以d11得.1一%八轉(zhuǎn)化為劣+i—

推式

然后利用構(gòu)造法求解

形如斯+1—〃工(ac^O)

b~\~can取倒數(shù)得:-+〃.當(dāng)a—b時(shí)，數(shù)列｝是等差數(shù)列；

〃〃+1ClClnClClnCl

的遞推式

1bc_

當(dāng)47%時(shí)，令為=/，則為+1=：為+7然后利用構(gòu)造法求解

ClfiClCl

【鞏固遷移】

5.（2023?湖南株洲模擬）數(shù)列｛斯｝中，ai=l,斯+i=，^（”eN*）,則高是這個(gè)數(shù)列的第（）

A.100項(xiàng)B.101項(xiàng)

C.102項(xiàng)D.103項(xiàng)

答案A

解析由避+1=）工（〃€N*）,得則/=｝+；（〃-1）=1+%—1）=生?

十2〃八+1ZCl"ClnZCln222

272

*??斯=.+］，令幾+］=］0］，得〃=100.故選A.

6.（2024?浙江諸暨中學(xué)質(zhì)檢）已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,即+1=3斯+2（〃€N*）,則數(shù)列｛斯｝的通

項(xiàng)公式為

答案斯=2?3〃一i—1

解析?.,斯+1=3斯+2,???斯+i+1=3(即+1),?，?=3,又(21+1=2,?,?數(shù)列｛斯+1｝

是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，.??a〃+L=2?3〃-I???斯=2?3〃一1一1.

7.已知在數(shù)列｛斯｝中，。1=得，研11”丫+i

■3〃〃+（2），貝U斯

32

答案師一主

51A1V+122

解析因?yàn)椤?=&，斯+1=可斯+團(tuán)，所以2/1斯+i=gx2%+l,整理得2〃+%〃+i—3=］（2〃斯

424

—3）,所以數(shù)列｛2"詼一3｝是以2〃1-3=—g為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，所以2〃詼-3=11

2,32

x|解得a=2n—y.

3n

考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（多考向探究）

考向1數(shù)列的周期性

例6（2024?哈爾濱質(zhì)檢）已知數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)積為Tn,ai=2且an+i=l—^貝!J72024=

答案1

解析7^2=1—“3=1—；=—1，〃4=1—；=2=。1，…，.,?數(shù)列｛斯｝是周期為3的

數(shù)列.又〃1〃2。3=2乂3<(-1)=—1,且2024=3x674+2,???4024=(-1)674A202342024=1X2XT=

1.

【通性通法】

解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，

進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前W項(xiàng)和.

【鞏固遷移】

8.(2024?江西臨川一中高三質(zhì)檢)無窮數(shù)列｛出｝滿足：只要他=他(0,q€N*),必有他+i=%+

1，則稱｛斯｝為“和諧遞進(jìn)數(shù)列若｛四｝為“和諧遞進(jìn)數(shù)列“，S"為其前〃項(xiàng)和,且01=1,42=

2,6/4=1,恁+々8=6,貝!J的=，52023=-

答案14719

解析因?yàn)閿?shù)列｛""｝是“和諧遞進(jìn)數(shù)列“，且。1=。4=1，<22=2,所以45=。2=2,同理有03=

。6，47=。4=1，。8=45=2,又疑+。8=6,所以。3=。6=4,則數(shù)列｛?！埃篏1=1,(1]=2,的

=4,04=1，。5=2,<26=4,劭=1，。8=2,…，故數(shù)列｛斯｝是以3為周期的數(shù)列，所以$2023

=$674x3+1=(1+2+4)x674+1=4719.

考向2數(shù)列的單調(diào)性

例7已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為0=人一知"("CN*),則/<1”是“數(shù)列｛為｝為遞增數(shù)列”的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若數(shù)列｛?！ǎ秊檫f增數(shù)列，則有a”+i—斯>0,...(〃+Ip—22(〃+1)—/+2為7=2"+1—

22>0,即2〃+1>2%對(duì)任意的〃€N*都成立，于是有即『""I)='，:由2<1可推得衣

但反過來，由義<!不能得到ki,.?.”<「是"數(shù)列｛飆｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選

A.

【通性通法】

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的常用方法

作差比較法根據(jù)斯+1—。〃的符號(hào)判斷數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列

作商比較法根據(jù)斯>0或或<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷

a八

寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，

目標(biāo)函數(shù)法

再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去

【鞏固遷移】

9.(2024?湖北宜昌階段考試)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為呢=(〃+1)(卷)(“€N*),則該數(shù)列()

A.遞增B.遞減

C.先遞增后遞減D.先遞減后遞增

答案C

(〃+1)

解析因?yàn)槟亍?令念>1(介2),則>1,整理得空M竽，解得〃<9,即當(dāng)n<9

Z\W

時(shí)，曲i.同理，令衛(wèi)-=1522),即當(dāng)〃=9時(shí)，。8=〃9.令9-<1(〃22),得〃>9,即當(dāng)〃>9

斯-11

時(shí)，斯<斯.1.綜上，數(shù)列｛斯｝從第1項(xiàng)到第8項(xiàng)遞增，從第9項(xiàng)起遞減，即數(shù)列｛斯｝先遞增后

遞減.故選C.

10.已知數(shù)列｛斯｝滿足斯+i=2a〃+l,ai=l,若川+4”為遞增數(shù)列,則：的取值范

圍為()

A.)+切)B.《，+co)

C.$，+=o)D.?，+C

答案C

解析因?yàn)樵跀?shù)列｛斯｝中，a?+i=2an+l,ai—1,則有an+i+l=2(a?+l),而ai+l=2,因

此數(shù)歹1｛。”+1｝是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，斯+1=2",即斯=2"—1,則勿="2"—1)

2n+12

-n+4n,因?yàn)閿?shù)列｛久｝為遞增數(shù)列，即V〃eN*,bn+1-b?>0,則A(2-l)-(n+l)+4(n

2〃—32n—32n—1

n2n=—

+1)—[A(2—1)—?+4n]=/l-2—2n+3>0,貝U2>~~，令cn=~~，貝!]cn+1—cn2?+i

2〃—35—2〃3

下L=F]，"WN*,當(dāng)wW2時(shí)，c”+i>c“,當(dāng)時(shí)，cn+1<c?,于是得。3=豆是數(shù)列｛金｝

的最大項(xiàng)，即當(dāng)n=3時(shí)，”且取得最大值看從而得忌，所以力的取值范圍為值，+s).

Zoo\,oJ

故選c.

考向3數(shù)列的最值

例8（2023?四川成都模擬）已知數(shù)列｛詼｝滿足呢=2〃（"+l）E,則數(shù)列｛斯｝的最大項(xiàng)為

（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)

C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

答案D

Qn三1

解析假設(shè)第〃項(xiàng)最大伽22）,則有＜

Cln

卜〃（〃+1）周"＞（〃1）,揩廠，卜碧，

今《‘尸《"又"WN*,所以〃=7,即數(shù)列

2〃（〃+1）信）22（〃+1）（〃+2）的［介至，

｛斯｝的最大項(xiàng)為第7項(xiàng).故選D.

【通性通法】

求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

單調(diào)性法根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷

不等式法利用、（九22）確定最大項(xiàng)，利用（〃22）確定最小項(xiàng)

Cln-Cln+1、。及

【鞏固遷移】

._2

rh

11.（2024?河南洛陽一高質(zhì)檢）若數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)積bn=l—3則。〃的最大值與最小值之

和為（）

A.B.y

7

C.2D.

答案C

解析???數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)積乩=1—契當(dāng)〃=1時(shí)，外號(hào)；當(dāng)心2時(shí)，勿—1=1一,（〃一1）,

出=看=］_2：_］）=2…n+2/2-。當(dāng)”=1時(shí)也適合上式‘?'???=1+2?-9,二當(dāng)

后4時(shí),數(shù)列｛斯｝遞減，且斯＜1；當(dāng)“25時(shí),數(shù)列｛%｝遞減，且斯＞1,故斯的最大值為

“5=3,最小值為〃4=—1，二.〃〃的最大值與最小值之和為2.故選C.

課時(shí)作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固續(xù)

一、單項(xiàng)選擇題

1.若一數(shù)列為1,37,314,321,則398是這個(gè)數(shù)列的()

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)

C.第14項(xiàng)D.第15項(xiàng)

答案D

解析1=37X0,37=37X1,3"=37X2,321=37X3,因此符合題意的一個(gè)通項(xiàng)公式為詼=37(「1),

由375-1)=398,解得〃=15,所以398是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).故選D.

2.(2023?莆田質(zhì)檢)九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，

以解開為勝.在某種玩法中，用斯表示解下〃(〃W9,”6N*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，若

[an+2，〃為奇數(shù),

的=1,且斯+1=,,力/申珈則解下6個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為()

[2斯一1，〃為偶數(shù)，

A.13B.15

C.16D.29

答案B

(an+2，”為奇數(shù)'

解析?Un+1~|g皿??。2=。1+2=3,〃3=2〃2-1=5,。4=〃3+2=7,

[2斯一1，”為偶數(shù)，

fl5=2fl4—1=13,。6=。5+2=15.故選B.

3.若數(shù)列｛。〃｝滿足(11=2.2=2,且斯+2=|?！?1—?jiǎng)t｛〃”｝的刖100項(xiàng)和為()

A.67B.68

C.134D.167

答案B

解析因?yàn)?1=2(72=2,所以0=2,42=1,因?yàn)??！?2=%+1—斯|，所以數(shù)列的項(xiàng)依次為2,

1,1,0,1,1,0,所以從第2項(xiàng)起，3項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，所以｛斯｝的前100項(xiàng)和為2+33x(l

+1+0)=68.故選B.

n+1

4.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為an+1=Sn+2,的=2,則S“=()

A.(n+l)-2"B.

C.巾2'-1D.n-2n

答案D

解析因?yàn)樗?i=S〃+2〃+i,則S〃+i—5〃=5〃+2叫于是得需一爭=1,因此數(shù)列卷｝是公差

為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)￡=1,則:=l+（w—1）x1,所以S；=w-2".故選D.

5.（2024?山東濟(jì)南萊蕪第一中學(xué)質(zhì)檢）已知數(shù)列｛詼｝的前”項(xiàng)和S“滿足S5=Sn+l（n€N*）,且

41=2,那么〃7=()

A.128B.16

C.32D.64

答案D

1

解析因?yàn)閿?shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和&滿足s1s1=S"+1（“€N*）,的=2,所以S,+1=2S”即笑=

2,所以數(shù)列｛S〃｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以S〃=2x2〃-1=2".所以當(dāng)兒22時(shí),

斯=S〃一S〃-1=2〃一2〃r=2"-i.所以s=26=64.故選D.

6.（2024?吉林四平實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段考試）已知數(shù)列｛斯｝滿足4ii=l,斯一斯+1=〃斯斯+15CN*）,

貝IJ斯=()

"2—〃一〃+2

A.-—B.2

22

?n2-n%2-〃+2

答案D

解析由題意，得一■——~—n,則當(dāng)及22時(shí)，；一」~=n—L———~~=n—2,…，；一

：=1,所以]—:=]+2+…+(〃―1)=〃2〃(心2),所以]=〃2"+]="即an

a\ana\zanzz

22

=~--丁^(〃22),當(dāng)九=1時(shí)，〃i=l適合此式，所以斯----.故選D.

n—n~\-2n—n-r2

7.(2024?河南信陽模擬)在數(shù)列｛斯｝中，的=1,向量。=(man),b=(an+ifn+1),且aJ_b,

則“100=()

100100

A.99B?一99

C.100D.-100

答案D

解析因?yàn)椤?（〃，斯），力=（即+1，n+1）,且a_L"所以〃斯+1+5+1）斯=0,所以萼1■+1

n

所以詈=一彳，詈=—今…，署=—喘以上各式左右分別相乘，得呼=—100,因?yàn)榈?1,

a\1〃2Z〃99VV

所以aioo=-100.故選D.

f（3—a）ri—2，，

8.已知數(shù)列｛斯｝滿足斯=｛-，且｛斯｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

[an5，〃>6,

是（）

A.（竽,3）

C.（1,3）

答案D

3~a>0，a<3，

解析若｛斯｝是遞增數(shù)列，則<，即《，解得2<〃<3,即實(shí)數(shù)〃的取值

。7>。6'層>6（31。）—2，

范圍是（2,3）.故選D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）

A.｛1+3/1｝B.｛3"-2"+2｝

C.{2n~n}D.{(-3f)

答案AC

解析令。"=1+3”，則斯+i—a,i=l+3（n+1）—（1+3n）=3>0,是遞增數(shù)列，A符合題意；

令a〃=3"—2"+2,則°i=—5,。2=—7,B不符合題意；令斯=2"—〃，則斯+i—斯=2"+1—2"

—1=2"—1>0,C符合題意；令詼=（一3）"，則0=-3,的=-27,D不符合題意.故選AC.

10.（2024.江蘇淮安一中質(zhì)檢）已知數(shù)列｛詼｝滿足ai=—g，a?+i=l—^~（n€N*）,記數(shù)列｛斯｝

的前〃項(xiàng)和為S?,則（）

2

A.俏=§

RST3

口.?3〃+3、3n一$

C.519=19

D.ctn—111（"22,nWN）

答案ABD

解析由41=—[，斯+1=1-J，得〃2=1—；=3,"3=1—；=弓，故A正確；又44=1—；=

Zan41〃23〃3

j=ai,所以數(shù)列｛斯｝是以3為周期的周期數(shù)列，所以S3H3一$3〃=。3〃+1+。3〃+2+的“+3=。1

1919

+〃2+。3=不，故B正確；S19=(〃l+〃2+〃3)+(〃4+〃5+〃6)+…+(。16+。17+418)+〃19=不乂6

—3=孝，故C錯(cuò)誤因?yàn)樗?1—￡=用三（〃22）'斯+尸1-2=1〃八一1________T

an-\—\斯-i—l

詼-L1-]

所以斯-1?！ㄋ?1—斯-1，,_1l（w22）,故D正確.故選ABD.

斯—1斯—1-1

三、填空題

11.在數(shù)列｛?！ǎ校琣i=L。2=3,斯=斯-1+」一(w23),則/=.

2

答案T2

解析因?yàn)椤?=1,12=3,詼=1+」一(〃23),所以〃3=。2+'=4,〃4=〃3+'=4+5=￥;,

2J3

an-2。

113.155

恁=以+t鬲=9+4=適.

12.（2024.湖北荊州中學(xué)月考）S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,且log2（S〃+l）=w+l，則數(shù)列｛斯｝

的通項(xiàng)公式為

J3，n—1，

答案

an[2n>心2

解析由log2(S,+l)="+l,得S〃+l=2"+i,當(dāng)”=1時(shí)，ai=5i=3；當(dāng)時(shí)，%=SL

3'n=l'

S〃—1=2",顯然當(dāng)〃=1時(shí)，不滿足上式.所以數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為斯

T，及22.

13.（2024?四川綿陽中學(xué)質(zhì)檢）已知數(shù)列｛魅｝滿足的=28,0”,「=2’則與的最小值為

姣安48

口木5

a2828

解析由斯+L斯=2〃，。1=28,可得川一九十28,1,設(shè)危）=x+不可

知本）在（0,2幣）上單調(diào)遞減，在（2幣，+oo）上單調(diào)遞增，又“WN*,且全=號(hào)修=竽，?肅

的最小值為號(hào)48.

14.在數(shù)列｛〃〃｝中，41=1,?！ㄔ?3=1，則10g5〃l+10g5〃2+…+log5G2023=.

答案0

解析因?yàn)樗顾?3=1，所以斯+3斯+6=1，所以詼+6=?！?，所以｛斯｝是周期為6的周期數(shù)列，

所以Iog5〃l+log5〃2+3+log5〃2023=log5（ai423a2023）=log5[（〃ia2-〃6）337，〃l],又因?yàn)椤?。4=。2。5

=〃3〃6=1，所以〃1〃2…。6=1，所以原式=log5（1337xl）=log51=0.

四、解答題

21

15.記S〃為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，坊為數(shù)列｛S〃｝的前〃項(xiàng)積，已知三+7=2.

⑴求數(shù)列｛勿｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

解⑴將S尸臺(tái)(G2)代入器+上=2,得瓷1+上=2(G2),整理得與一"I=3(G2).

又當(dāng)”=1時(shí),可得2尹11=2,即2旨+總1=2,得當(dāng)=3=所以數(shù)列｛與｝是貽3為首項(xiàng),［1為公差

的等差數(shù)列，

所以^n=|+(?—l)x|=1n+l.

⑵由⑴得與=聚+1,將其代入春+/=2,得S"=

zOn"nn-V1

I,、,〃+2n-\-11

當(dāng)"z2時(shí)'an=Sn-Sn-l=~^—^-=~n(w+1),

3

又當(dāng)〃=1時(shí)，〃i=Si=］,不滿足上式，

所以斯

素養(yǎng)提演

16.(多選)若數(shù)列｛斯｝滿足：對(duì)任意正整數(shù)〃，｛為+1—詼｝為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列｛詼｝為“差遞

減數(shù)列給出下列數(shù)列｛a.｝(”eN*),其中是“差遞減數(shù)歹「的是()

A.斯a”=〃2+1

答案CD

解析對(duì)于A,若斯=3小則斯+i—斯=3(〃+1)—3〃=3,所以｛斯