2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念及其表示（解析版）

第01講函數(shù)的概念及其表示

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..............................................................1

第二部分：高考真題回顧.........................................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過.......................................................4

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念.....................................................4

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域.....................................................6

角度1：具體函數(shù)的定義域................................................6

角度2：抽象函數(shù)定義域..................................................6

角度3：已知定義域求參數(shù)................................................7

高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式.....................................................9

角度1：湊配法求解析式（注意定義域）....................................9

角度2：換元法求解析式（換元必?fù)Q范圍）.................................10

角度3：待定系數(shù)法.....................................................11

角度4：方程組消去法...................................................12

高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù)......................................................15

角度1：分段函數(shù)求值...................................................15

角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù).........................................16

角度3：分段函數(shù)求值域（最值）.........................................17

高頻考點(diǎn)五：函數(shù)的值域....................................................19

角度1：二次函數(shù)求值域.................................................19

角度2：分式型函數(shù)求值域...............................................20

角度3：根式型函數(shù)求值域...............................................21

角度4：根據(jù)值域求參數(shù).................................................22

第四部分：典型易錯(cuò)題型........................................................27

備注：求函數(shù)解析式容易忽略定義域..........................................27

備注：抽象函數(shù)定義域問題容易忽視了，單獨(dú)一個(gè)“X”的取值范圍叫定義域.......28

第五部分：新定義題（解答題）..................................................29

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、函數(shù)的概念

設(shè)A、8是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集

合5中都有唯一確定的數(shù)/（%）和它對(duì)應(yīng)，那么稱-§為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)，記作

y=/O），A.

其中：工叫做自變量，x的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域

與X的值相對(duì)應(yīng)的/(X)值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{/WIxeA)叫做函數(shù)的值域.

2、同一(相等)函數(shù)

函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

同一(相等)函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等

的依據(jù).

3、函數(shù)的表示

函數(shù)的三種表示法

解析法(最常用)圖象法(解題助手)列表法

就是把變量％,y之間的關(guān)系

就是把x,y之間的關(guān)系繪制就是將變量x,y的取值列成

用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)來表

成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表格，由表格直接反映出兩者

示，通過關(guān)系式可以由X的值

就是相應(yīng)的變量x,y的值.的關(guān)系.

求出y的值.

4、分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函

數(shù).

5、高頻考點(diǎn)結(jié)論

5.1函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：

(1)分式型函數(shù)：分母不等于零.

(2)偶次根型函數(shù)：被開方數(shù)大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R

(4)/(%)=x°的定義域是{X|戶0}.

(5)/(x)=a"(a>0且awl),/(x)=sinx,f(x)=cosx的定義域均為R.

(6)/(x)=log；(a>0且aH1)的定義域?yàn)?0,+℃).

兀

(7)f(x)=tanx的定義域?yàn)閧xlxwE+萬,左eZ}.

5,2函數(shù)求值域

(1)分離常數(shù)法：

ex+d

將形如y=——7(awO)的函數(shù)分離常數(shù)，變形過程為：

ax+b

cbebebe

cx+d_~{ax+b)+d~~^_c「一％,再結(jié)合x的取值范圍確定"的取值范圍，從而確定函

------=------------------=—?--------------

ax+bax+baax+bax+b

數(shù)的值域.

(2)換元法:

如：函數(shù)/(x)=ax+b+{ex+d(ac豐0),可以令t{ex+d(tN0),得到x=’———,函數(shù)/(x)=?x

c

+b+yjcx+d(ac豐0)可以化為y=."+t+b(t>0),接下來求解關(guān)于t的二次函數(shù)的值域問題,

c

求解過程中要注意/的取值范圍的限制.

(3)基本不等式法和對(duì)勾函數(shù)

(4)單調(diào)性法

(5)求導(dǎo)法

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/食)=4'+1嗎》，貝1]/目=.

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，把x=g代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)/(尤)=4*+1082-所以/(；)=42+log2；=2-l=l.

故答案為：1

-ax+1,x<a,

2.(2022?北京,統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=/若Ax)存在最小值，則a的一個(gè)取值為____；

(x—2),x>a.

a的最大值為?

【答案】0(答案不唯一)1

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù))—+1的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，a=0符合條件，。<0不符合條件，

〃>0時(shí)函數(shù)>=-仆+1沒有最小值，故/a)的最小值只能取丁=(%-2>的最小值，根據(jù)定義域討論可知

-a2+1>0^<-?2+l>(tz-2)2,解得0<?<1.

1,x<0

【詳解】解：若，=0時(shí)，f(x)={/./(%)*=()；

(x-2),x>0

若Q<0時(shí)，當(dāng)％時(shí)，/(%)=-依+1單調(diào)遞增，當(dāng)％f-8時(shí)，/(X)->-00,故/(%)沒有最小值，不符合題

目要求；

若a>0時(shí)，

當(dāng)時(shí)，/(%)=-依+1單調(diào)遞減，/(x)>f(a)=-a2+1,

0(0<a<2)

當(dāng)""時(shí)’2)2

(a>2)

??—>+1>0或—>+1>（tZ—2）2,

解得OvaKl,

綜上可得OWa；

故答案為：0（答案不唯一），1

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念

典型例題

例題1.（2024上?福建福州?高一福建省福清第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個(gè)圖形中，不是以尤為自變量

的函數(shù)的圖象是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)定義作出判斷.

【詳解】根據(jù)函數(shù)定義，在定義域內(nèi)，對(duì)于任意的心只能有唯一確定的，與其對(duì)應(yīng)，ABC滿足要求,

D選項(xiàng)，在定義域內(nèi)對(duì)于x>0,有兩個(gè)確定的y與其對(duì)應(yīng)，D錯(cuò)誤.

故選：D

例題2.（2024上?四川瀘州,高一統(tǒng)考期末）托馬斯說："函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花?"根據(jù)函數(shù)的概念判斷:

下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函數(shù)的是（）

A.y=2xB.y=x+2C.y=YD.y=2x

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,集合M中的元素-1按對(duì)應(yīng)關(guān)系>=2x,在集合N中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，A不是；

對(duì)于B,集合"中的元素4按對(duì)應(yīng)關(guān)系y=x+2,在集合N中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，B不是；

對(duì)于C,集合M中的每個(gè)元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系y=Y,在集合N中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，C是;

對(duì)于D,集合M中的元素-1按對(duì)應(yīng)關(guān)系y=2，，在集合N中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，D不是.

故選：C

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?海南省直轄縣級(jí)單位?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)y=g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)

y=的圖象是如下圖所示，則g(〃2))的值為()

【分析】觀察函數(shù)圖象得了(2),再利用數(shù)表求解即得.

【詳解】觀察函數(shù)y=/(x)的圖象，得〃2)=1,由數(shù)表得g(l)=4,

所以g(f(2))=g(l)=4.

故選：D

2.(多選)(2024上,陜西安康?高一?？计谀?下列各圖中，是函數(shù)y=f(x)圖象的是()

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x值都有唯一的一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，

可看出BD滿足.

故選：BD

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域

角度1：具體函數(shù)的定義域

典型例題

例題1.（2024下?河南?高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)f（x）=logxT^/^^不7?的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{尤|x>l且xW2}B.{x\l<x<2）C.{x\x>2}D.{x|xwl}

【答案】C

【分析】可直接求出函數(shù)的定義域進(jìn)行判斷.

x-1>0

【詳解】由題得,解得X>2,即函數(shù)“X）的定義域?yàn)閧x|x>2}.

-3%+2>0

故選：C

例題2.（2024上?北京東城?高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?

X1WC

【答案】（0,1）口（1,+8）

【分析】根據(jù)分式的分母不為0,對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.

【詳解】

X1WC

fxlnx^O,,

\解得%>0且xw1,

[x>0,

???函數(shù)〃x）=4的定義域?yàn)椋ā?，l）U（l，y）?

xinx

故答案為：（o,i）u（i，H-

角度2：抽象函數(shù)定義域

典型例題

例題1.（2024上?江蘇徐州?高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)>=/（尤）的定義域是[-4,5],則產(chǎn)生竦

的定義域是()

A.[—2,4]B.[—2,6]C.(—2,4]D.(—2,6]

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得/(x-1)滿足-3?x?6,結(jié)合根式的意義即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，(%)的定義域?yàn)閇-4,5],

所以滿足BP-3<x<6,

又x+2>0,即％>-2,

f-3<x<6

所以《。，解得-2<x46.

[x>-2

所以函數(shù)y=半義的定義域?yàn)?-2,6].

故選：D.

例題2.(2024上?福建龍巖?高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末)若幕函數(shù)人%)的圖象過點(diǎn)(4,2),則

的定義域是()

f(x)

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【答案】B

【分析】設(shè)〃尤)=丁，根據(jù)幕函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4,2)求出a的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽

2—|J>Q

'，解得即可.

{x>0

【詳解】設(shè)〃尤)=X°,依題意可得4。=2,解得&所以〃制=?，

所以的定義域?yàn)閇0,+")，值域?yàn)閇0,+”)，且〃0)=0，

對(duì)于函數(shù)y=則12一，2。，解得0<xW2,

/(x)[x>0

即函數(shù)y=的定義域是(0,2].

故選：B

角度3:已知定義域求參數(shù)

典型例題

1

例題1.(2024上?吉林通化?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=的定義域是R,則加的取

yjmx1+2/JU+1

值范圍是()

A.0<m<lB.0<m<lC.0<m<lD.0<m<l

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，建立恒成立的不等式，再分類討論求解作答.

【詳解】依題意，VXGR,不等式如2+23+i>o恒成立，

當(dāng)m=0時(shí)，7ra:?+2znx+l=l>0恒成立，則機(jī)=0,

fm>0

當(dāng)機(jī)wO時(shí)，有A/2/八，解得0〈機(jī)<1,則0<相<1,因止匕0Wm<1

[A=4m-4m<0

所以加的取值范圍是

例題2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=V^^瓦石的定義域?yàn)閧x|T〈xwg},則必的值為.

【答案】6

【分析】由定義域得一元二次不等式的解，從而由二次不等式的性質(zhì)可得參數(shù)值.

【詳解】由題意依2+fox+lZO的解是TVxwg,

1,1b

—1+—=----

所以<；",解得。=一3,b=-2,所以ab=6.

-4：?--

、3a

故答案為：6.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?山西太原?高一山西大附中校考期中）已知函數(shù)/'（%）的定義域?yàn)閇2,8],則函數(shù)y的

x-5

定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[4,10]B.[0,6]

C.[4,5）U（5,10]D.[0,5)U(5,6]

【答案】c

【分析】根據(jù)題意得到][2<x-2<8

c,再解不等式組即可.

[九一5c

【詳解】根據(jù)題意可得[[2<x-2<8,

__，解得4<x<10且％。5.

[九一5w0

故選：C

0<m<l.

故選：C

2.（2024上?山西長(zhǎng)治?高一校聯(lián)考期末）函數(shù)"x）=：一2的定義域?yàn)?/p>

【答案】（T0）U[2,”）

【分析】根據(jù)根號(hào)下部分大于等于0建立不等式求解即可.

x-2\x-2>0fx-2<0

【詳解】令1ln（xd+l）、仇則[x+l一>l或[0C<x+l1<l1,解得轉(zhuǎn)2或

所以函數(shù)"X）=的定義域?yàn)椋?1,0）。[2,+。）.

故答案為：（-1,0）32,+。）

x

3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃x）=—e——的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

x+ax+a

【答案】（0,4）

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為無?+公+“#（）在xeR恒成立，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/（x）=———的定義域?yàn)镽，即V+ox+awO在xeR恒成立，

+ax+a

結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，則滿足八=/一4°<0,解得0<。<4,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（0,4）.

故答案為：（0,4）

4.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)1=，.2--+2的定義域?yàn)椴?,1],則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】-1

【分析】函數(shù)定義域滿足依2-X+220,根據(jù)解集結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解得答案.

【詳解】y=Jor2-x+2的定義域滿足:a^-x+2^0,解集為

-=-2+1

故°<0且；,解得。=-1.

-=-2x1

故答案為：-1

高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式

角度1:湊配法求解析式（注意定義域）

典型例題

例題L（2024?江蘇?高一專題練習(xí)）已知/=則函數(shù)〃x）=,/（3）=

【答案】X2+211

【分析】利用換元法可求出了(X),進(jìn)一步可得”3).

111

【詳解】令方—=t,貝［|fH—=(x—)~+2=廠+2,

尤XX

所以/⑺=廣+2,所以/(x)=x-+2,

所以"3)=32+2=11

故答案為：x2+2：11.

例題2.(2024上?重慶長(zhǎng)壽?高一重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校校聯(lián)考期末)已知/(6)=尤+a?+b(mb均為常數(shù)),

且F(O)=1J⑴=-2.

(1)求函數(shù)Ax)的解析式；

【答案】(l)/(x)=/-4x+g0)

【分析】(1)由〃。)=1"(1)=-2,代入函數(shù)解析式求出.涉，得函數(shù),⑺的解析式；

【詳解】(1)由/(石)=x+a?+b,得/(?)=(?y+a?+〃，BPf(x)=x2+ax+b(x>0),

由〃0)=l,〃l)=-2,

子f(0)W=b=l,.2解得b=l,

可得

a=-4.

所以f(x)=x2-4x+1(%>0)

角度2：換元法求解析式(換元必?fù)Q范圍)

典型例題

(X+1?1

例題1.(2024?江蘇?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/7=”-2,則〃x)的解析式為()

A./(%)=x2—2x—1B./(1)=尤2—2(%,。)

C./(x)=x2—2x—3(x^1)D./(x)=x2—2x—1)

【答案】D

【分析】根據(jù)換元法求函數(shù)解析式.

【詳解】令f=可得X=—

xf-1

所以/⑺==

因此/(%)的解析式為/(%)=%2—2x-l(xwl).

故選：D.

例題2.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知/(一)=L三，求/(X)的解析式.

1+X1+X

【答案］“上罵(D

1—x1—t

【分析】令"才"-1,則X—,代入函數(shù)解析式可得解.

【詳解】由咤合片，令"曰―壬

[-(L)2

2t?

所以/?)=—%~~~w-l,

1+(尸)2r+1

1+/

7

所以r

【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知/(g(x))的解析式求/(x)解析式的求解，解題的關(guān)鍵是換元法，但是需要主要

定義域的變化，屬于基礎(chǔ)題

角度3：待定系數(shù)法

典型例題

例題1.(2024?江蘇?高一專題練習(xí))已知函數(shù)了(盼是一次函數(shù)，且/"(尤)-2幻=3,則〃5)=()

A.11B.9C.7D.5

【答案】A

【分析】設(shè)〃x)=6+b("0),根據(jù)/"(尤)-2幻=3恒成立可得°,b,然后可解.

【詳解】設(shè)，(%)=依+人(。彳0),

貝!]f[f(x)-2x]—f(<ax+b-2x^=a(<ax+b-2x^+b=3,

整理得-2。卜+。6+。-3=0,

a?—2a=0a=2

所以,解

ab+b—3=。b=l

所以〃x)=2x+l,所以〃5)=2x5+l=ll.

故選：A

例題2.(2024?江蘇,高一專題練習(xí))設(shè)二次函數(shù)“可滿足"0)=1,且〃x+l)-〃x)=4x,求〃尤)的解

析式.

【答案】〃x)=2f—2x+l

【分析】根據(jù)題意設(shè)〃力=加+法+c，由"0)=1求出c,由〃x+1)-『(x)=4x可求得即可得答案.

【詳解】設(shè)二次函數(shù)為〃尤)=?x2+bx+c,

因?yàn)?(。)=1，所以c=l,所以/■(x)=??+bx+l,

又因?yàn)椤皒+D-Axb?,

22

即6Z（X+1）+Z?（X+1）—ax—bx=2ax+a+b=4xf

2a=4a=2

所以解得:

a+b=Ob=-2

所以函數(shù)解析式為〃x)=2x2-2x+l.

角度4：方程組消去法

典型例題

例題1.(2024?江蘇?高一專題練習(xí))已知f(x)滿足3〃x)+2〃l-x)=4x,則/'(x)解析式為.

Q

【答案】/(x)=4.x-|

【分析】用l-x代x得出一個(gè)式子，利用方程思想求解函數(shù)解析式.

【詳解】由3〃x)+2〃l—x)=4x①

用l-x代尤可得，3/(l-x)+2/(x)=4(l-x)②

Q

由3x①-2x②可得：/(x)=4.x-|

Q

故答案為：/(x)=4x--

例題2.(2024?江蘇?高一專題練習(xí))已知2〃司+(-￡|=201,求函數(shù)“X)的解析式.

【答案】小)=%4+:1+康?

【分析】通過構(gòu)造方程組的方法來求得/'(X)的解析式.

【詳解】2"x)+.—￡|=2x+l①，

以替換x,得2/1-」+/3=二+1②，

X\XyX

2

①x2-②得：3f(x)=4X+1H—,

419

所以“力=5%+§+￡.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024?江蘇?高一專題練習(xí))已知函數(shù)(y則的解析式為()

A./(x)=x2-2xB./(x)=x2-x

C./(x)=x2+xD.〃x)=f+2x

【答案】D

【分析】根據(jù)條件，通過配湊即可求出結(jié)果.

［詳解］因?yàn)?(二］=(工］-1=(1-1)2+--2=(--1)2+2(--1),

\XJ\X)XXXX

所以f(x)=x2+2x.

故選：D.

2.(2024?江蘇?高一專題練習(xí))已知/(?+l)=x+2?,則〃x)=()

A./(x)=%2B./(x)=x2-l(x>l)

C./(A:)=X2-1(X>0)D./(%)=X2+1(X>1)

【答案】B

【分析】利用換元法直接求解即可.

【詳解】令?+l=r,t>\,則五=/-1,尤=(/—1『，

所以/(0=(^-1)2+2(r-1)=?2-1(r>1).

所以〃尤)的解析式為：/(x)=x2-l(x>l)

故選：B.

3.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)滿足方程2〃x)+d￡j=2x,xeR且"0,則：

(1)/(D=;(2)/(?=.

【答案】|"E(xeR,x#0)

【分析】令x=l可得/(1);用:替換心再解方程組可得答案.

【詳解】令X=1可得：2/(1)+/(1)=2,所以

由2〃x)+=2x(xw0)①得，2“￡|+/⑺=彳②，

聯(lián)立①②可得：—-(xeR,xy：0).

故答案為：①"I；②/(%)="——-(XGR,X^0).

33%

4.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足2〃x)-〃-力=3/，貝4(力=

【答案】%3

【解析】由題意利用方程思想求得函數(shù)的解析式即可.

【詳解】因?yàn)?〃x）-〃一尤）=3尤3,

所以2〃T）—〃x）=-3d,

同除以2得“T）一i打（到=-13，

兩式相加可得;〃彳）=:%3,即〃力=彳3.

故答案為：X3.

【點(diǎn)睛】求函數(shù)解析式常用方法：

⑴待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可用待定系數(shù)法；

⑵換元法：已知復(fù)合函數(shù)/（g（x））的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；

⑶方程法：已知關(guān)于/（X）與?￡］或/（一X）的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組,

通過解方程組求出/（X）.

5.（2024?江蘇?高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式

（1）設(shè)函數(shù)“X）是一次函數(shù)，且滿足/（〃尤））=16尤+5,求的解析式

⑵設(shè)滿足2〃x）+3/匕/4x—,求的解析式

【答案】（l）/（x）=4x+l或〃x）=-4.x-g

（2）/（X）=-yX+-^

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

（2）利用消元法求函數(shù)解析式.

【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)“X）的解析式為〃尤）=米+6（b0）,

貝|J/(/(x))=k^kx+b)+b=k2x+kb+b=16x+5,

k=-4

k2=16k=4

所以，解得或b=2

kb+b=5

3

所以〃x)=4x+l或〃x)=-4x4.

(2)由2/(x)+3/f4x--①，

得2/R1+3/(X)=：T②，

2x①-3x②得5〃x)=-llx+3,

即/(司=一巳工+互.

6.(2024?江蘇?高一專題練習(xí))(1)已知“X)是一次函數(shù)，且滿足3〃尤+1)-〃x)=2x+9,求〃x)的解

析式；

(2)己知f(6+l)=x+2五，求的解析式；

【答案】Cl)/(x)=x+3；(2)/(x)=x2-l(x>l)

【分析】(1)設(shè)出〃制=6+方(。*0),根據(jù)題目條件得到方程組，求出a=l,b=3,得到函數(shù)解析式;

(2)換元法求出函數(shù)解析式，注意自變量取值范圍.

【詳解】(1)由題意，設(shè)函數(shù)為〃力=奴+6(。工0),

3/(x+l)-/(x)=2x+9,

.,.3a(x+l)+36—6:一6=2%+9,

-?,f2a=2

即2依+3々+26=2犬+9,由怛等式性質(zhì)，得?八，

[3a+2b=9

?'.62—1,〃=3,

二所求函數(shù)解析式為/(x)=%+3

(2)令/=6+1,貝卜21,x=(t-l)2,

因?yàn)?(?+l)=x+24,所以/(?)=(?-l)2+2(r-l)=r2-l,

所以〃尤)=尤?-1(尤21).

高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù)

角度1:分段函數(shù)求值

典型例題

\x+a,x<l

例題1.(2024上?江西南昌?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=?…/(1)=2,則/(2)=()

[log42-a,x>l

31

A.—B.—1C.D.0

22

【答案】c

【分析】由題意首先將X=1代入得a的值，進(jìn)一步將x=2代入即可求解.

【詳解】由題意/(D=2=l+a,解得a=l,

所以〃2)=log422T-1=；-1=一；.

故選：C.

/、fx+l,x<0

例題2.(2024上?河北石家莊?高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(元)=1/(尤_6)尤>0'則

/(1)=.

【答案】-4

【分析]由〃1)=〃1-6)=/(-5)=T,從而可求解.

【詳解】由題意知當(dāng)尤>0,/(x)=/(x-6),則〃=6)=〃—5),

所以5)=-5+1=-4.

故答案為：-4.

角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)

典型例題

3%+i_]%>]

例題1.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=,；-；o?且/(m)=-2,則〃祖+6)=()

—log3(X+J)—2,x<l,

A.-16B.16C.26D.27

【答案】c

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)〃叱/時(shí)，/?(%)=-2=3m+'-1=—2n3""i=-l=>me0,

當(dāng)機(jī)<1時(shí)，/(〃z)=—2n—log3(m+5)—2=—2nm=T,

所以/(m+6)=〃2)=3=-1=26,

故選：C

23八

—Cl—XH--,X<0-/-j\-

例題2.(2024上?江蘇常州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=<x若//[=Q，則實(shí)數(shù)，的

logix-2,x>0L13人

、3

值為________.

【答案】-2

【分析】利用分段函數(shù)求解即可.

【詳解】/Q^=l-2=-l,f=/(-l)=-a-l-3=<

z,a——2.

故答案為：-2

角度3：分段函數(shù)求值域（最值）

典型例題

例題1.（2024上?河南南陽?高一校聯(lián)考期末）函數(shù)/（%）=['的值域?yàn)椋ǎ?/p>

'7[x+3,-3<x<0

A.[―1,-Ko）B.[3,+8）C.1,0]D.[-1,3]

【答案】D

【分析】法一，根據(jù)題意，分別求出當(dāng)0WXW3時(shí)與當(dāng)-3Wx<0時(shí)的最值，即可得到分段函數(shù)的值域；法

二，畫出的草圖，數(shù)形結(jié)合可求出值域；

【詳解】法一：因?yàn)閥=f-4x+3=（x-2）2-l且0VxV3,

所以當(dāng)x=2時(shí)，ynun=-1,當(dāng)X=0時(shí)，y?1ax=3;

當(dāng)-3Wx<0時(shí)，0Wx+3<3,

（9一4尤+30<x<3

所以函數(shù)“'）=x+3,-3==。一的最小值為.最大值為3'故函數(shù),⑺的值域?yàn)?3].

法二：畫出Ax）的草圖，如圖所示，由圖象可知函數(shù)/（x）的最小值為T,最大值為3,故函數(shù)了（元）的值域

為[-1,3].

故選：D

—X2+12x+20,0W無<8,

例題2.（2024上?四川達(dá)州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃無）=48，則/'（"的最大值是

46+——,x>8

()

A.60B.58C.56D.52

【答案】C

【分析】分0?xv8和無28兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳角軍】當(dāng)。<%<8時(shí)，/（x）=—x2+12x+20=—（X—6）2+56,

此時(shí)“￡LX=/（6）=56,

JQ

當(dāng)犬28時(shí)，f（x）=46H--在[8,+<句上單調(diào)遞減，

x

此時(shí)〃"詼="8)=52,

綜上所述，/?_=/(6)=56.

故選：C.

練透核心考點(diǎn)

-1,x>0

1.(2024上?云南大理?高一統(tǒng)考期末)已知〃x)=2x+3,g(x)=0,x=0,則函數(shù)y=〃x)-g(x)的值

1,x<0

域?yàn)?)

A.(-oo,3)B.(-oo,3]C.(3,+co)D.[3,+oo)

【答案】A

—2x—3,x>0

【分析】先得到y(tǒng)=〃x)-g(x)=k，x=o,再作出其圖象求解.

2x+3,x<0

—2x-3,x>0

【詳解】解：由題意得:y=〃x"（x）=<0,x=0

2x+3,x<0

其圖象，如圖所示：

由圖象知：函數(shù)y的值域?yàn)椋?*3）,

故選：A

[log.xx>01

2.（2024?陜西西安,統(tǒng)考一模）已知函數(shù),則/（/（））=（）

[9,x<02

A.-B.|C.—D.2

422

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，依次代入計(jì)算即得.

flOgnX,X>01I

【詳解】函數(shù)/（無）=￡,則/（）=bg<0,

所以/(f(1))=f(log31)=9*=(3*尸=1.

故選：A

e\x<l

3.(多選)(2024上?山東濟(jì)寧?高一統(tǒng)考期末)已知/(x)=若〃x)=2,則x所有可能的

lnx+l,x>2

值是()

A.-1B.In2C.1D.e

【答案】BD

【分析】利用函數(shù)/(X)的解析式，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】由已知可得

fex=2(x2+1=2，nx+l=2

U1或il<x<2或京2'

解得x=ln2,^x=e.

故選：BD

.1

X—

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃x)=1-無4°的值域?yàn)開____.

log2(x+2),x>0

【答案】(。，；u(i,+⑹

【分析】分別計(jì)算出分段函數(shù)每段函數(shù)取值范圍后取并集即可得.

11I

【詳解】當(dāng)XM0時(shí),0</(X)=4A2<42=-,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log2(x+2)>l,

所以/(X)的值域?yàn)椋琔(l,+s).

故答案為：(。，；U(1,+⑹.

高頻考點(diǎn)五：函數(shù)的值域

角度1:二次函數(shù)求值域

典型例題

例題L(2024上?上海?高一?？计谀?函數(shù)〃x)=2d-4x+7,xe[-l,8]的最小值是.

【答案】5

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椤▁)=2f—以+7的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=l,

又xe[-l,8],所以/(X)的最小值是〃1)=2-4+7=5.

故答案為：5.

例題2.(2024上?湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末)已知二次函數(shù)滿足了(x-l)=2f—7x+6.

⑴求〃元)的解析式.

(2)求“X)在[0,2]上的值域.

【答案】①/(0=2尤2—3X+1

「11

(2)--3

_O

【分析】(])令=貝Ux=/+1,利用換元法代入可求得“X)的解析式；

(2)由(1)可得函數(shù)/■(*)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

【詳解】(1)令x-l=t,貝!]x=r+l,

f(t)=2(t+l)2-7(t+l)+6=2t2-3t+l,f(x)=2x2-3x+l.

(2)因?yàn)椤▁)=2x2—3x+l=2]x—j,

a「31「3一

所以的圖象對(duì)稱軸為x=；,在0q上遞減，在-,2上遞增，

/Wrain=/(|}=-^〃XLX=〃2)=3,

即的值域?yàn)?

|_O

角度2：分式型函數(shù)求值域

典型例題

2r+1

例題1.(2024上?山西太原?高一山西大附中?？计谥?函數(shù)y=二三的值域是()

x-3

A.